Ejemplo 3.10: Puerta corredera (rodadura y deslizamiento)

Una puerta corredera de masa \(m\) cuelga de dos rodillos \(A\) y \(B\), de radio \(r_c\), que ruedan sobre un carril horizontal. El coeficiente de resistencia a la rodadura de los rodillos es \(\rho\) y el coeficiente de rozamiento seco entre los rodillos y el carril es \(\mu\). El centro de masas \(G\) de la puerta está centrado entre los rodillos, y el tirador \(P\) está a una distancia \(h\) por debajo del carril, a la misma altura que \(G\). Calcular la fuerza horizontal \(F\) que hay que aplicar en el tirador para abrir la puerta (hacia la derecha) si:

1. Los dos rodillos funcionan correctamente y ruedan.

2. Uno de los rodillos está bloqueado y desliza en lugar de rodar.

Datos: \(m = 125\) kg, \(l = 1\) m, \(h = 2.25\) m, \(r_c = 50\) mm, \(\mu = 0.2\), \(\rho = 5\) mm, \(g = 9.81\) m/s².

(Adaptado del problema 7-17 de [CFCC01].)

Solución

Se supone que la puerta se mueve lentamente (sin efectos de inercia) y que el rozamiento en los ejes de los rodillos es despreciable.

Fuerza resistente de cada rodillo. Sobre cada rodillo el carril ejerce una fuerza normal \(N\) y una fuerza tangencial \(T\), opuesta al avance.

• Si el rodillo rueda, su eje no ejerce par sobre él, así que el momento de \(T\) respecto al eje equilibra el momento de resistencia a la rodadura: \(T\, r_c = \rho N\), es decir, \(T = \dfrac{\rho}{r_c} N = 0.1\, N\).

• Si el rodillo está bloqueado, desliza sobre el carril y la fuerza de rozamiento es \(T = \mu N = 0.2\, N\).

En ambos casos, \(T\) actúa a la altura del carril y se transmite a la puerta a través del eje del rodillo.

Equilibrio de la puerta. Con \(\hat{i}\) hacia la derecha, las ecuaciones son:

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum F_x = 0: &\quad F - T_A - T_B = 0 \\ \sum F_y = 0: &\quad N_A + N_B - mg = 0 \\ \sum M_G = 0: &\quad -l\,N_A + l\,N_B + h\left( T_A + T_B \right) = 0 \end{aligned} \end{split}\]

La fuerza \(F\) está a la altura de \(G\) y no da momento respecto a él. Las fuerzas tangenciales, a una altura \(h\) por encima, tienden a volcar la puerta, y cargan el rodillo \(A\) (el trasero) y descargan el \(B\):

\[ N_A - N_B = \frac{h}{l}\, F, \qquad N_A = \frac{1}{2}\left( mg + \frac{h}{l}F \right), \qquad N_B = \frac{1}{2}\left( mg - \frac{h}{l}F \right) \]

1. Los dos rodillos ruedan. \(T_A + T_B = \frac{\rho}{r_c}(N_A + N_B) = \frac{\rho}{r_c}\, mg\), que no depende del reparto de cargas:

\[ F = \frac{\rho}{r_c}\, mg = 0.1 \cdot 125 \cdot 9.81 = 122.6~\text{N} \]

2a. Rodillo \(A\) bloqueado. \(T_A = \mu N_A\) y \(T_B = \frac{\rho}{r_c} N_B\):

\[ F = \frac{\mu}{2}\left( mg + \frac{h}{l}F \right) + \frac{\rho}{2r_c}\left( mg - \frac{h}{l}F \right) \quad\rightarrow\quad F = \frac{\left( \mu + \frac{\rho}{r_c} \right) \frac{mg}{2}}{1 - \left( \mu - \frac{\rho}{r_c} \right)\frac{h}{2l}} = \frac{0.3 \cdot 613.1}{1 - 0.1 \cdot 1.125} = 207.3~\text{N} \]

2b. Rodillo \(B\) bloqueado. \(T_A = \frac{\rho}{r_c} N_A\) y \(T_B = \mu N_B\):

\[ F = \frac{\left( \mu + \frac{\rho}{r_c} \right) \frac{mg}{2}}{1 + \left( \mu - \frac{\rho}{r_c} \right)\frac{h}{2l}} = \frac{0.3 \cdot 613.1}{1 + 0.1 \cdot 1.125} = 165.3~\text{N} \]

Es peor que se bloquee el rodillo \(A\): al tirar de la puerta, la transferencia de carga lo carga a él, y es el que tiene más fuerza normal.

(Con \(g = 10\) m/s², como en la fuente, se obtienen \(125\), \(211\) y \(169\) N.)

Comprobación de que los rodillos ruedan en el caso 1. Un rodillo rueda sin deslizar si la fuerza tangencial necesaria cabe en el cono de rozamiento: \(T = \frac{\rho}{r_c}N \le \mu N\), es decir, \(\frac{\rho}{r_c} = 0.1 \le \mu = 0.2\). ✓