Ejemplo 3.2: Disco accionado por un pistón

En el mecanismo de la figura, un pistón \(P\), guiado horizontalmente, mueve un disco a través de una biela \(PQ\). El disco gira alrededor de su centro \(O\), y en el instante considerado el pasador \(Q\) está en la vertical de \(O\) y la biela forma \(45^\circ\) con la horizontal. ¿Qué fuerza \(F\) debe ejercer el pistón para que el disco tenga una aceleración angular de \(1000\) rpm/s en sentido horario?

Datos: pistón y biela de masa despreciable; disco de masa \(M = 1\) kg y diámetro \(20\) cm; longitud de la biela \(L = 40\sqrt{2}\) cm. Despreciar el rozamiento.

Solución

Cinemática. La aceleración angular, en unidades del SI, es:

\[ \alpha = 1000~\frac{\text{rev}}{\text{min}\cdot\text{s}} \cdot \frac{2\pi~\text{rad}}{1~\text{rev}} \cdot \frac{1~\text{min}}{60~\text{s}} = 104.72~\text{rad/s}^2 \quad (\text{horario}) \]

Esfuerzos de inercia. Sólo el disco tiene masa. Como gira alrededor de su centro de masas, \(\vec{a}_G = \vec{0}\) y no hay fuerza de inercia: sólo un par de inercia, opuesto a \(\alpha\) (antihorario):

\[ I_G = \frac{1}{2} M R^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0.1^2 = 0.005~\text{kg·m}^2, \qquad |M_{in}| = I_G\, \alpha = 0.005 \cdot 104.72 = 0.5236~\text{N·m} \]

Observa que este resultado no depende de la velocidad angular del disco: el disco gira alrededor de su centro de masas, y la biela y el pistón no tienen masa.

Biela. Sin masa ni cargas, es un elemento de dos fuerzas: la fuerza \(F_b\) que transmite tiene la dirección \(PQ\), a \(45^\circ\).

Disco. Tomando momentos respecto a \(O\) (así no aparece la reacción del eje), el momento de la fuerza de la biela debe equilibrar el par de inercia. La distancia de \(O\) a la recta \(PQ\) es \(d = R \sin 45^\circ\) (el ángulo entre \(OQ\), vertical, y la biela es \(45^\circ\)):

\[ F_b\, R \sin 45^\circ = I_G\, \alpha \quad\rightarrow\quad F_b = \frac{0.5236}{0.1 \cdot \sin 45^\circ} = 7.405~\text{N} \]

La biela trabaja a compresión: empuja al pasador \(Q\) hacia arriba y a la derecha, lo que da un momento horario respecto a \(O\), como debe ser para acelerar el disco en sentido horario.

Pistón. Recibe la fuerza \(F\), la reacción de la guía \(N\) (vertical) y la fuerza de la biela (a \(45^\circ\), hacia abajo y a la izquierda). Su equilibrio de fuerzas da:

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum F_x = 0: &\quad F - F_b \cos 45^\circ = 0 \quad\rightarrow\quad F = 7.405 \cdot \cos 45^\circ = 5.24~\text{N} \\ \sum F_y = 0: &\quad N - F_b \sin 45^\circ = 0 \quad\rightarrow\quad N = 5.24~\text{N} \end{aligned} \end{split}\]

Combinando las expresiones, \(F = I_G\,\alpha / R\): con la biela a \(45^\circ\) y el pasador en la vertical de \(O\), la fuerza del pistón es la misma que si actuara tangencialmente sobre el borde del disco. La longitud de la biela no interviene.

Reacción en el eje del disco. Como el disco no tiene fuerza de inercia, \(\vec{F}_{O} = -\vec{F}_b = -(5.24\,\hat{i} + 5.24\,\hat{j})\) N.