Centros Instantáneos de Rotación

Centros Instantáneos de Rotación#

El método de los centros instantáneos de rotación (CIR) es un método gráfico para obtener velocidades, alternativo al polígono de velocidades de Análisis de Velocidad. Es especialmente útil para hallar la velocidad de un punto concreto, o la relación entre las velocidades angulares de dos eslabones, sin resolver el mecanismo completo.

Definición#

En cada instante, un eslabón con movimiento plano que no se está trasladando tiene un punto con velocidad nula: el eslabón está girando alrededor de ese punto en ese instante. Para encontrarlo, partimos de la velocidad de cualquier punto \(A\) del eslabón y buscamos un punto \(I\) tal que \(\vec{v}_I = \vec{v}_A + \vec{\omega} \times \vec{r}_{AI} = \vec{0}\). Multiplicando ambos lados por \(\hat{k} \times\) y usando \(\hat{k} \times (\hat{k} \times \vec{r}) = -\vec{r}\) para vectores del plano:

\[ \hat{k} \times \vec{v}_A - \omega\,\vec{r}_{AI} = \vec{0} \qquad\rightarrow\qquad \vec{r}_{AI} = \frac{\hat{k} \times \vec{v}_A}{\omega} \]

Es decir, \(I\) está en la recta que pasa por \(A\) perpendicular a \(\vec{v}_A\), a una distancia \(|\vec{v}_A|/|\omega|\) de \(A\). Si \(\omega = 0\) (traslación pura), está en el infinito. Como \(\vec{v}_I = \vec{0}\), la velocidad de cualquier otro punto \(P\) del eslabón es simplemente:

\[ \vec{v}_P = \vec{\omega} \times \vec{r}_{IP}, \qquad |\vec{v}_P| = |\omega|\,\overline{IP} \]

como si el eslabón estuviera articulado en \(I\). Esto tiene tres consecuencias prácticas:

  • La velocidad de cada punto del eslabón es perpendicular a la recta que lo une con el CIR, y su módulo es proporcional a su distancia al CIR.

  • Si se conocen las direcciones de las velocidades de dos puntos de un eslabón, su CIR está en la intersección de las perpendiculares a ellas trazadas por cada punto.

  • Localizado el CIR, la velocidad de un solo punto da la velocidad angular del eslabón y, con ella, la velocidad de cualquier otro punto.

La siguiente animación muestra estas ideas sobre un sólido triangular:

En este instante el sólido gira alrededor de su CIR, $I$: la velocidad de cada punto es perpendicular a la recta que lo une con $I$ (pulsa «Reiniciar» para repetir la oscilación).
Si conocemos la dirección de $\vec{v}_A$, el CIR está en la perpendicular a ella trazada por $A$.
Lo mismo para $\vec{v}_B$: el CIR está también en la perpendicular trazada por $B$.
El CIR está en la intersección de las dos perpendiculares.
El módulo de la velocidad es proporcional a la distancia al CIR: a lo largo de la recta $IC$ todas las velocidades son paralelas, y sus extremos están alineados con $I$.

En general, para dos eslabones cualesquiera \(j\) y \(k\), su centro instantáneo \(I_{jk}\) es el punto (de ambos eslabones, o de sus prolongaciones imaginarias) que tiene la misma velocidad en los dos eslabones en ese instante. Visto desde el eslabón \(j\), el eslabón \(k\) gira alrededor de \(I_{jk}\). Los centros en los que uno de los eslabones es la bancada (\(I_{1k}\)) se llaman absolutos, y el resto, relativos.

Advertencia

El CIR es un punto de velocidad nula, pero no de aceleración nula: su posición cambia de un instante a otro. Por tanto, no se puede usar para calcular aceleraciones como si el eslabón girara alrededor de un pivote fijo.

Número de centros instantáneos#

Hay un centro instantáneo por cada pareja de eslabones, incluida la bancada. Un mecanismo con \(N\) eslabones tiene:

\[ n_{CIR} = C(N, 2) = \frac{N(N-1)}{2} \]

Por ejemplo, un cuadrilátero articulado tiene \(4 \cdot 3 / 2 = 6\) centros: \(I_{12}, I_{13}, I_{14}, I_{23}, I_{24}\) e \(I_{34}\). Se recomienda escribirlos todos en una tabla, e ir tachándolos a medida que se encuentran.

CIRs inmediatos#

Algunos centros se localizan directamente observando los pares:

  • Par de rotación: el centro del pasador es un punto de ambos eslabones con la misma velocidad, luego es su centro \(I_{jk}\).

  • Corredera sobre una guía recta: todos los puntos de la corredera se mueven paralelos a la guía respecto al otro eslabón, así que su centro está en el infinito, en la dirección perpendicular a la guía. Cualquier recta perpendicular a la guía «pasa» por él.

  • Corredera sobre una guía curva: en el centro de curvatura de la guía.

  • Rodadura sin deslizamiento: en el punto de contacto, donde ambos cuerpos tienen la misma velocidad.

  • Contacto con deslizamiento (levas, dientes de engranajes): en algún punto de la normal común a ambas superficies en el punto de contacto. Esto da una recta, no un punto: su posición exacta necesita una segunda recta, del teorema de Kennedy.

Par de rotación: el CIR $I_{jk}$ está en el centro del pasador.
Deslizadera recta: el CIR está en el infinito, en la dirección perpendicular a la guía.
Deslizadera curva: el CIR está en el centro de curvatura de la guía.
Rodadura sin deslizamiento: el CIR está en el punto de contacto; la velocidad de cada punto del disco es proporcional a su distancia a él.

Teorema de Kennedy#

El resto de centros se hallan con el teorema de Aronhold-Kennedy (o teorema de los tres centros):

Los tres centros instantáneos de tres cuerpos cualesquiera con movimiento plano están en una misma recta.

Demostración. Sean los cuerpos 1, 2 y 3, con 1 como referencia (fija), y supongamos conocidos \(I_{12}\) e \(I_{13}\). Su centro común \(I_{23}\) tiene la misma velocidad como punto del cuerpo 2, que gira alrededor de \(I_{12}\), y como punto del cuerpo 3, que gira alrededor de \(I_{13}\). Como punto del cuerpo 2, su velocidad es perpendicular a la recta \(I_{12}I_{23}\); como punto del cuerpo 3, es perpendicular a \(I_{13}I_{23}\). Ambas velocidades solo pueden ser el mismo vector si ambas direcciones coinciden, así que \(I_{12}\), \(I_{13}\) e \(I_{23}\) deben estar alineados. Sobre esa recta, \(I_{23}\) es el punto en el que coinciden también los módulos: \(\omega_2\,\overline{I_{12}I_{23}} = \omega_3\,\overline{I_{13}I_{23}}\).

Cuerpos 2 y 3 articulados a la tierra (1) en $I_{12}$ e $I_{13}$, girando con $\omega_2$ y $\omega_3$. ¿Dónde está $I_{23}$?
Un punto cualquiera $P$: como punto del cuerpo 2, su velocidad es perpendicular a $I_{12}P$; como punto del 3, perpendicular a $I_{13}P$. No coinciden.
Ambas direcciones solo coinciden si $P$ está sobre la recta $I_{12}I_{13}$: las dos son perpendiculares a ella.
Sobre esa recta, $I_{23}$ es el punto donde coinciden también los módulos: $\omega_2\,\overline{I_{12}I_{23}} = \omega_3\,\overline{I_{13}I_{23}}$.
Arrastra el punto $P$ (naranja) para ver qué pasa según su posición: las dos velocidades solo coinciden en $I_{23}$.

Para localizar un centro desconocido \(I_{jk}\), se aplica el teorema dos veces, con dos terceros cuerpos distintos \(m\) y \(n\) cuyos otros centros sean conocidos: \(I_{jk}\) está en la recta \(I_{jm}I_{mk}\) y también en la recta \(I_{jn}I_{nk}\), así que está en su intersección.

Una forma sencilla de elegir las rectas es un polígono auxiliar, con un vértice por eslabón y un lado (o diagonal) por cada centro conocido. Un centro desconocido es una diagonal que cierra dos triángulos cuyos otros lados ya son conocidos; cada triángulo da una recta. El nuevo centro pasa a ser un lado conocido, y se repite el proceso hasta completar la tabla:

Se dibuja un vértice por eslabón (1 = tierra).
Cada CIR conocido es un lado: se unen sus dos vértices. Aquí, los cuatro CIRs inmediatos de un cuadrilátero articulado.
Un CIR desconocido, como $I_{13}$, es una diagonal (en rojo) que cierra dos triángulos de lados conocidos.
Cada triángulo es una recta (Kennedy): triángulos 1-2-3 y 1-4-3, rectas $I_{12}I_{23}$ y $I_{14}I_{34}$. $I_{13}$ está en su intersección.
$I_{13}$ pasa a ser un lado conocido, y se repite: $I_{24}$ cierra los triángulos 2-1-4 y 2-3-4.

La figura muestra el procedimiento para un cuadrilátero articulado: a) los cuatro CIRs inmediatos, b) \(I_{13}\) con los triángulos 1-2-3 y 1-4-3, y c) \(I_{24}\) con los triángulos 2-1-4 y 2-3-4.

fig_kennedy.jpg

El ejemplo 1, más abajo, repite el procedimiento paso a paso de forma interactiva.

Análisis de velocidades con centros instantáneos#

Con un centro absoluto#

Si se conoce la velocidad de un punto de un eslabón, su centro absoluto da la velocidad angular del eslabón y la velocidad de cualquier otro punto. En el cuadrilátero articulado de la figura, \(\vec{v}_A\) se conoce por la manivela, y el eslabón 3 gira alrededor de \(I_{13}\), así que:

\[ |\omega_3| = \frac{|\vec{v}_A|}{\overline{I_{13}A}}, \qquad |\vec{v}_B| = |\omega_3|\,\overline{I_{13}B}, \qquad |\vec{v}_C| = |\omega_3|\,\overline{I_{13}C} \]

con cada velocidad perpendicular a la recta que une \(I_{13}\) con su punto. Gráficamente, las velocidades de los puntos del eslabón 3 son proporcionales a sus distancias a \(I_{13}\), así que se pueden trasladar trazando arcos con centro en \(I_{13}\) (puntos \(B'\) y \(C'\) de la figura) hasta la recta \(I_{13}A\), donde la proporcionalidad es un simple triángulo.

fig_cirs.jpg

Con un centro relativo: relación de velocidades angulares#

El centro relativo \(I_{24}\) de dos eslabones es un punto que tiene la misma velocidad como punto del eslabón 2 (que gira alrededor de \(I_{12}\)) y como punto del eslabón 4 (que gira alrededor de \(I_{14}\)):

\[ \vec{v}_{I_{24}} = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{I_{12}I_{24}} = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{I_{14}I_{24}} \qquad\rightarrow\qquad \frac{\omega_4}{\omega_2} = \frac{\overline{I_{12}I_{24}}}{\overline{I_{14}I_{24}}} \]

ya que los tres centros \(I_{12}\), \(I_{14}\) e \(I_{24}\) están alineados (Kennedy). Este teorema de la relación de velocidades angulares relaciona directamente los eslabones de entrada y salida, sin calcular nada en el acoplador. En cuanto a los sentidos de giro:

  • Si \(I_{24}\) cae fuera del segmento \(I_{12}I_{14}\), ambos eslabones giran en el mismo sentido.

  • Si cae entre \(I_{12}\) e \(I_{14}\), giran en sentidos opuestos.

El mismo razonamiento vale para cualquier pareja de eslabones. Para una corredera, que se traslada, el centro relativo con el eslabón de entrada es un punto del eslabón de entrada que se mueve exactamente igual que la corredera, así que da directamente la velocidad de salida. Se muestra en la siguiente construcción para un biela-manivela, donde el centro de la corredera con la bancada, \(I_{14}\), está en el infinito:

Ejemplos paso a paso#

Ejemplo 1: cuadrilátero articulado#

Se buscan todos los CIRs del cuadrilátero articulado de la figura y, con ellos, las velocidades. Datos: \(O_2 = (0, 0)\), \(O_4 = (4, 0)\), \(\overline{O_2A} = 1.2\), \(\overline{AB} = 3.5\), \(\overline{O_4B} = 3\); el punto \(C\) del acoplador está a \(2\) de \(A\), formando \(30^\circ\) con \(AB\); \(\omega_2 = 1\) rad/s antihorario. Mueve la manivela para ver cómo cambian los centros con la posición del mecanismo; nótese que \(I_{13}\) se va al infinito cuando los eslabones 2 y 4 son paralelos, y que los valores numéricos se recalculan en cada posición.

$N = 4$ eslabones → $4\cdot 3/2 = 6$ CIRs. Manivela 2 con $\omega_2 = 1$ rad/s antihorario. El polígono auxiliar (arriba a la derecha) se completa a la vez que la construcción.
1. CIRs inmediatos, en los pares de rotación. Tierra-manivela: $I_{12}=O_2$.
2. Manivela-acoplador: $I_{23}=A$.
3. Acoplador-balancín: $I_{34}=B$.
4. Balancín-tierra: $I_{14}=O_4$. Faltan $I_{13}$ e $I_{24}$.
5. $I_{13}$, primera recta: triángulo 1-2-3, recta $I_{12}I_{23}$.
6. Segunda recta: triángulo 1-4-3, recta $I_{14}I_{34}$. $I_{13}$ está en la intersección.
7. $I_{24}$, primera recta: triángulo 2-1-4, recta $I_{12}I_{14}$.
8. Segunda recta: triángulo 2-3-4, recta $I_{23}I_{34}$. $I_{24}$ está en la intersección.
9. El acoplador 3 gira alrededor de $I_{13}$: $\omega_3 = v_A / \overline{I_{13}A}$, y cada punto tiene velocidad perpendicular a su radio desde $I_{13}$.
10. $I_{24}$ es común a 2 y 4: $\omega_2\,\overline{I_{12}I_{24}} = \omega_4\,\overline{I_{14}I_{24}}$, es decir, $\omega_4 = \omega_2\,\overline{I_{12}I_{24}}/\overline{I_{14}I_{24}}$. Fuera del segmento $I_{12}I_{14}$: mismo sentido.

Ejemplo 2: corredera sobre una barra móvil#

Mecanismo de retorno rápido: la manivela 2 arrastra la corredera 3 (articulada en \(A\)), que desliza sobre la barra 4, que gira alrededor de \(O_4\). Datos: \(O_2 = (0, 0)\), \(O_4 = (0, -3)\), \(\overline{O_2A} = 1.8\), barra de longitud \(6.4\); \(\omega_2 = 1\) rad/s antihorario. Uno de los CIRs está en el infinito, y basta con aplicar la regla de la corredera recta: cualquier recta perpendicular a la barra 4 «pasa» por él.

Manivela 2, corredera 3 (articulada en $A$) que desliza sobre la barra 4, que gira alrededor de $O_4$. $N = 4$ → 6 CIRs.
1. CIRs inmediatos. Tierra-manivela: $I_{12}=O_2$.
2. Manivela-corredera: $I_{23}=A$.
3. Barra-tierra: $I_{14}=O_4$.
4. La corredera desliza sobre 4: $I_{34}$ está en el infinito, perpendicular a la barra 4.
5. $I_{13}$, primera recta: triángulo 1-2-3, recta $I_{12}I_{23}$.
6. Segunda recta: triángulo 1-4-3, recta por $I_{14}$ hacia $I_{34}$, es decir, perpendicular a la barra 4.
7. $I_{24}$, primera recta: triángulo 2-1-4, recta $I_{12}I_{14}$.
8. Segunda recta: triángulo 2-3-4, recta por $I_{23}$ perpendicular a la barra 4.
9. $\omega_4 = \omega_2\,\overline{I_{12}I_{24}}/\overline{I_{14}I_{24}}$. La velocidad de deslizamiento es la diferencia entre $\vec{v}_{A_2}$ y $\vec{v}_{A_4}$, a lo largo de la barra.
10. Cuando $I_{24}$ cae entre $O_2$ y $O_4$, la barra gira al revés que la manivela (mueve la manivela para verlo). Por eso la ida y la vuelta tienen distinta duración.

Los ejemplos Ejemplo 2.14: Centros instantáneos de un cuadrilátero articulado y Ejemplo 2.15: Suspensión de bicicleta (método gráfico) aplican el método a dos problemas de examen.

Resumen#

  • El CIR de un sólido es el punto de velocidad nula: todo el sólido gira a su alrededor en ese instante.

  • Hay \(N(N-1)/2\) CIRs. Los inmediatos se ven en los pares; una corredera recta lo tiene en el infinito.

  • Teorema de Kennedy: los CIRs de tres cuerpos están alineados. Dos rectas dan un CIR.

  • Polígono auxiliar: cada CIR nuevo es una diagonal que cierra dos triángulos conocidos.

  • Velocidades: con un CIR absoluto (\(v = \omega\, r\)), o con uno relativo (relación \(\omega_4/\omega_2\)).

  • Los CIRs cambian con la posición, y no sirven para calcular aceleraciones.