Análisis de Aceleración

Contenido

Análisis de Aceleración#

Este es el paso final y más complejo, ya que requiere los resultados del análisis de posición y velocidad.

Método de la Aceleración Relativa#

La ecuación fundamental es análoga a la de velocidades, pero con más componentes. Para dos puntos del mismo eslabón rígido (ver Cinemática de puntos y sólidos rígidos): $$ \vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}, \qquad \vec{a}_{B/A} = \underbrace{\vec{\alpha} \times \vec{r}_{AB}}_{\vec{a}^t_{B/A}} + \underbrace{\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}_{AB})}_{\vec{a}^n_{B/A} \,=\, -\omega^2\,\vec{r}_{AB}} $$ Cada término de aceleración absoluta ($\vec{a}_A, \vec{a}B$) y relativa ($\vec{a}{B/A}$) se descompone en una componente **normal** y una **tangencial**: $$ (\vec{a}_B^n + \vec{a}_B^t) = (\vec{a}_A^n + \vec{a}_A^t) + (\vec{a}_{B/A}^n + \vec{a}_{B/A}^t) $$ Para cada término:

La componente normal depende de la velocidad angular (calculada en el paso anterior): su módulo es $a^n = \omega^2 L$ y su dirección es paralela al eslabón, apuntando siempre hacia el centro de rotación. Es totalmente conocida.
La componente tangencial depende de la aceleración angular (que suele ser la incógnita): su módulo es $a^t = |\alpha| L$ y su dirección es siempre perpendicular al eslabón. Se conoce su dirección, pero no su módulo.

Método Analítico#

El procedimiento es el mismo que para velocidades (ver Análisis de Velocidad), siguiendo los mismos caminos a través de los eslabones:

Resolver primero los problemas de posición y velocidad: todos los ángulos, vectores de posición y velocidades angulares deben ser conocidos.
Escribir la aceleración de los puntos de interés siguiendo los eslabones, con la ecuación de aceleraciones relativas para cada eslabón rígido (y la ecuación de Coriolis de más abajo para los pares deslizantes). De nuevo, hay que buscar puntos a los que se pueda llegar por dos caminos distintos.
Calcular todas las componentes normales (y términos de Coriolis), que solo dependen de magnitudes conocidas.
Identificar las incógnitas: las aceleraciones angulares $\alpha_n\,\hat{k}$ y las aceleraciones de deslizamiento en guías rectas, cada una de ellas un único escalar.
Igualar ambas expresiones y proyectar sobre $\hat{i}$ y $\hat{j}$, para obtener un sistema de ecuaciones lineal, y resolverlo. Las aceleraciones angulares positivas son antihorarias.

Para un cuadrilátero articulado, derivando la ecuación de lazo de velocidades $\vec{\omega}_2 \times \vec{L}_2 + \vec{\omega}_3 \times \vec{L}_3 = \vec{\omega}_4 \times \vec{L}_4$ se obtiene la ecuación de lazo de aceleraciones:

\[ \vec{\alpha}_2 \times \vec{L}_2 - \omega_2^2\,\vec{L}_2 + \vec{\alpha}_3 \times \vec{L}_3 - \omega_3^2\,\vec{L}_3 = \vec{\alpha}_4 \times \vec{L}_4 - \omega_4^2\,\vec{L}_4 \]

que no es más que $\vec{a}_A + \vec{a}_{B/A} = \vec{a}_B$. Al proyectarla sobre los ejes, las incógnitas $\alpha_3$ y $\alpha_4$ aparecen multiplicadas por la misma matriz $\mathbf{J}$ que en el problema de velocidades, y el resto de términos son conocidos:

\[\begin{split} \mathbf{J} \begin{pmatrix} \alpha_3 \\ \alpha_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_2\,\alpha_2\sin\theta_2 + L_2\,\omega_2^2\cos\theta_2 + L_3\,\omega_3^2\cos\theta_3 - L_4\,\omega_4^2\cos\theta_4 \\ -L_2\,\alpha_2\cos\theta_2 + L_2\,\omega_2^2\sin\theta_2 + L_3\,\omega_3^2\sin\theta_3 - L_4\,\omega_4^2\sin\theta_4 \end{pmatrix} \end{split}\]

Es una propiedad general: los problemas de velocidades y aceleraciones de un mecanismo siempre comparten la misma matriz de coeficientes, que solo depende de su posición. El ejemplo Ejemplo 2.1: Análisis cinemático de un mecanismo de cuatro barras resuelve este problema paso a paso.

Método Gráfico: Polígono de Aceleraciones#

El polígono de aceleraciones (o cinema de aceleraciones) dibuja a escala las ecuaciones de aceleraciones, partiendo de un origen $O_a$ que representa la aceleración nula. Para el cuadrilátero articulado, la ecuación a dibujar es:

\[ \underbrace{\vec{a}^n_A + \vec{a}^t_A}_{\text{conocidas}} + \underbrace{\vec{a}^n_{B/A}}_{\text{conocida}} + \underbrace{\vec{a}^t_{B/A}}_{\perp AB} = \underbrace{\vec{a}^n_B}_{\text{conocida}} + \underbrace{\vec{a}^t_B}_{\perp O_4B} \]

Calcular todos los vectores conocidos a partir de los resultados del análisis de velocidades: $a^n_A = \omega_2^2\,\overline{O_2A}$ (de $A$ hacia $O_2$), $a^t_A = |\alpha_2|\,\overline{O_2A}$ (perpendicular a $O_2A$), $a^n_{B/A} = \omega_3^2\,\overline{AB}$ (de $B$ hacia $A$) y $a^n_B = \omega_4^2\,\overline{O_4B}$ (de $B$ hacia $O_4$).
Lado izquierdo: desde $O_a$, dibujar $\vec{a}^n_A$ y $\vec{a}^t_A$ uno a continuación del otro (su suma es $\vec{a}_A$), después $\vec{a}^n_{B/A}$, y por el extremo de este último trazar una recta perpendicular a $AB$, la dirección de la incógnita $\vec{a}^t_{B/A}$.
Lado derecho: desde $O_a$, dibujar $\vec{a}^n_B$, y por su extremo trazar una recta perpendicular a $O_4B$, la dirección de la incógnita $\vec{a}^t_B$.
Cerrar el polígono: la intersección de ambas rectas es el extremo de $\vec{a}_B$. Se miden a escala $a^t_{B/A}$ y $a^t_B$, y se obtienen $|\alpha_3| = a^t_{B/A}/\overline{AB}$ y $|\alpha_4| = a^t_B/\overline{O_4B}$. Sus sentidos se deducen de los sentidos de las componentes tangenciales.

El polígono de la figura anterior (a la derecha) se construyó así para un biela-manivela, cuya corredera se mueve sobre una guía recta, por lo que $\vec{a}_B$ es horizontal y no tiene componente normal.

Igual que el polígono de velocidades, el de aceleraciones también tiene la propiedad de homología: las aceleraciones de todos los puntos de un eslabón, relativas a uno de ellos, se obtienen multiplicando sus vectores de posición por los mismos factores ($\alpha$ y $\omega^2$), así que los puntos $a$, $b$, $c$ del eslabón 3 en el polígono de aceleraciones forman un triángulo semejante a $ABC$. A diferencia del polígono de velocidades, no está girado $90^\circ$, sino un ángulo que depende de la relación entre $\alpha_3$ y $\omega_3^2$.

Aceleración de Coriolis#

Esta componente de la aceleración aparece solo en condiciones muy específicas: cuando un punto se desliza a lo largo de un eslabón que, a su vez, está girando. Este es el caso de mecanismos como el de retorno rápido del Ejemplo 2.3: Análisis cinemático de un mecanismo de retorno rápido y la inversión de la manivela-corredera del Ejemplo 2.4: Análisis cinemático de un mecanismo biela-manivela invertido. Su origen se deduce en Cinemática de puntos y sólidos rígidos.

La ecuación de aceleración relativa entre un punto P en la corredera y un punto coincidente Q en el eslabón ranurado o de guía giratorio es: $$ \vec{a}_P = \vec{a}_Q + (\vec{a}_{P/Q})_{rel} + \vec{a}_{Cor} $$ Donde $(\vec{a}{P/Q}){rel}$ es la aceleración de deslizamiento del punto P a lo largo de la guía (según la propia guía, si es recta). El término de Coriolis se calcula como: $$ \vec{a}_{Cor} = 2 \vec{\omega} \times \vec{v}_{rel} $$ Donde:

$\vec{\omega}$ es la velocidad angular del eslabón que contiene la guía y gira.
$\vec{v}_{rel}$ es la velocidad de deslizamiento de la corredera a lo largo de la guía.

Su módulo es $2|\omega|\,v_{rel}$, y la dirección del vector de Coriolis se obtiene girando el vector de velocidad relativa $\vec{v}_{rel}$ 90° en la misma dirección que $\vec{\omega}$. La no inclusión de este término en los mecanismos que lo requieren es uno de los errores más comunes en el análisis de aceleración.

Es práctica común nombrar un punto con una letra seguida del número del cuerpo que se está considerando. Según la numeración de la Figura, tendríamos $P_3$ para el punto cuando se considera como parte de la corredera, y $P_4$ como parte de la barra. Así, la aceleración de Coriolis se puede expresar como $\vec{a}_{Cor} = 2 \vec{\omega}_4 \times \vec{v}_{P_3/P_4}$.

En el método analítico, las incógnitas de esta ecuación suelen ser la aceleración angular del eslabón ranurado (dentro de $\vec{a}_{P_4}$) y el módulo de la aceleración de deslizamiento (con la dirección conocida de la guía). En el polígono de aceleraciones (figura anterior, a la derecha), el término de Coriolis es un vector totalmente conocido, que se dibuja antes de la recta con la dirección de la aceleración de deslizamiento desconocida.