Ejemplo 2.4: Análisis cinemático de un mecanismo biela-manivela invertido#
Análisis de posición#
La figura muestra un mecanismo de biela-manivela invertido. En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 60^{\circ}\) con la horizontal, calcule la posición de la corredera con respecto al punto A, los ángulos que los eslabones 3 y 4 forman con la horizontal, y las coordenadas del punto C.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 0.45;\, \overline{AC} = 1.7;\, \overline{O_4B} = 0.7855, \overline{O_2O_4} = L_1 = 1.30 \text{ m};\) el ángulo \(\gamma\) que forman los eslabones 3 y 4 es de \(90^\circ\).
Análisis de Posición (Método Gráfico)#
El objetivo es construir el mecanismo a escala para medir las incógnitas: la distancia de la corredera al punto A (\(\overline{AB}\)), los ángulos \(\theta_3\) y \(\theta_4\), y las coordenadas del punto C.
Datos de Construcción:#
Eslabón 1 (Bastidor): Distancia \(\overline{O_2O_4} = L_1 = 1.30 \text{ m}\)
Eslabón 2 (Manivela): \(L_2 = \overline{O_2A} = 0.45 \text{ m}\).
Eslabón 3 (Acoplador): El punto C está a una distancia \(\overline{AC} = 1.7 \text{ m}\) de A.
Eslabón 4 (Balancín): La distancia perpendicular desde \(O_4\) a la ranura es \(h = \overline{O_4B} = 0.7855 \text{ m}\).
Ángulo de Entrada: \(\theta_2 = 60^\circ\).
Restricción Geométrica: El ángulo entre la línea \(AC\) (eslabón 3) y la línea \(O_4B\) (eslabón 4) es de \(90^\circ\).
Procedimiento de Construcción:#
Establecer el bastidor: Localizar el pivote \(O_2\) en el origen (0,0) y el pivote \(O_4\) en \((L_1, 0)\).
Posicionar la manivela: Dibujar el eslabón 2 desde \(O_2\) con longitud \(L_2=0.45\) y ángulo \(\theta_2=60^\circ\) para encontrar el punto A.
Dibujar la ranura (Eslabón 3):
Dibujar una circunferencia con centro \(O_4\) y radio \(h = 0.7855\).
Dibujar una línea recta que parta de A y sea tangente a esta circunferencia. Esto define la dirección del eslabón 3 y su ángulo \(\theta_3\). Hay dos tangentes posibles, elegir la que corresponde a la figura.
Localizar el punto B: El punto B es el punto de tangencia entre la línea y la circunferencia.
Localizar el punto C: Sobre la línea que pasa por A y B, medir una distancia \(\overline{AC} = 1.7\) desde A para encontrar C.
Determinar el eslabón 4: Dibujar la línea que conecta \(O_4\) y B. Su ángulo es \(\theta_4\).
Medición de resultados: Medir del dibujo la distancia \(\overline{AB}\), los ángulos \(\theta_3\) y \(\theta_4\), y las coordenadas de C.
Análisis de Posición (Método Analítico)#
Formulación del Lazo Vectorial#
Consideramos el triángulo formado por los puntos \(O_2, O_4, A\). La distancia entre \(O_4\) y A, \(d_{O_4A}\), se puede calcular con la ley de los cosenos: \( d_{O_4A}^2 = L_1^2 + L_2^2 - 2L_1L_2\cos\theta_2 \) En el triángulo rectángulo \(O_4BA\), tenemos: \( d_{O_4A}^2 = (\overline{O_4B})^2 + (\overline{AB})^2 = h^2 + (\overline{AB})^2 \) Igualando ambas expresiones, podemos despejar la distancia \(\overline{AB}\) (posición de la corredera con respecto a A): \( \overline{AB} = \sqrt{L_1^2 + L_2^2 - 2L_1L_2\cos\theta_2 - h^2} \)
Resolviendo para \(\theta_3\) y \(\theta_4\)#
Calcular el ángulo \(\alpha = \angle AO_4O_2\): Usando la ley de los senos en el triángulo \(O_2O_4A\): \( \frac{\sin\alpha}{L_2} = \frac{\sin\theta_2}{d_{O_4A}} \implies \alpha = \arcsin\left(\frac{L_2\sin\theta_2}{d_{O_4A}}\right) \)
Calcular el ángulo \(\beta = \angle AO_4B\): Usando el triángulo rectángulo \(O_4BA\): \( \cos\beta = \frac{\overline{O_4B}}{d_{O_4A}} = \frac{h}{d_{O_4A}} \implies \beta = \arccos\left(\frac{h}{d_{O_4A}}\right) \)
Calcular \(\theta_3\) y \(\theta_4\): Observando la geometría del mecanismo: \( \theta_4 = 180^\circ - (\alpha + \beta) \) Como \(\vec{O_4B}\) es perpendicular a la línea AC (eslabón 3): \( \theta_3 = \theta_4 - 90^\circ \)
Cálculo de las Coordenadas del Punto C#
\( \vec{R}_C = \vec{R}_A + \vec{R}_{AC} \)
\(x_C = L_2\cos\theta_2 + \overline{AC}\cos\theta_3\)
\(y_C = L_2\sin\theta_2 + \overline{AC}\sin\theta_3\)
Cálculo Numérico:
Datos Iniciales:
\(L_1 = 1.3 \text{ m}\)
\(L_2 = 0.45 \text{ m}\)
\(\overline{AC} = 1.7 \text{ m}\)
\(h = \overline{O_4B} = 0.7855 \text{ m}\)
\(\theta_2 = 60^\circ\)
1. Calcular la distancia \(d_{O_4A}\) y la posición de la corredera \(\overline{AB}\): \( d_{O_4A}^2 = 1.3^2 + 0.45^2 - 2(1.3)(0.45)\cos(60^\circ) = 1.69 + 0.2025 - 0.585 = 1.3075 \) \( d_{O_4A} = \sqrt{1.3075} \approx 1.143 \text{ m} \) \( \overline{AB} = \sqrt{d_{O_4A}^2 - h^2} = \sqrt{1.3075 - 0.7855^2} = \sqrt{0.6904} \approx 0.831 \text{ m} \)
2. Calcular el ángulo del vector \(\vec{R}_{O_4A}\) (\(\phi\)) y el ángulo \(\beta\): El ángulo \(\phi\) es el del vector que va de \(O_4\) a A. \( \phi = \arctan\left(\frac{y_A - y_{O_4}}{x_A - x_{O_4}}\right) = \arctan\left(\frac{L_2\sin\theta_2}{L_2\cos\theta_2 - L_1}\right) = \arctan\left(\frac{0.45\sin(60^\circ)}{0.45\cos(60^\circ) - 1.3}\right) \) \( \phi = \arctan\left(\frac{0.3897}{-1.075}\right) \approx 160.05^\circ \) El ángulo \(\beta\) es del triángulo rectángulo \(O_4BA\). \( \beta = \arccos\left(\frac{h}{d_{O_4A}}\right) = \arccos\left(\frac{0.7855}{1.143}\right) \approx 46.59^\circ \)
3. Calcular \(\theta_3\) y \(\theta_4\): De la geometría, se observa que el ángulo del eslabón 4, \(\theta_4\), es la suma de los ángulos \(\phi\) y \(\beta\) (considerando el cuadrante). La configuración de la figura corresponde a: \( \theta_4 = \phi - \beta = 160.05^\circ - 46.59^\circ = 113.46^\circ \) Y el ángulo del eslabón 3 (la ranura) es perpendicular al eslabón 4: \( \theta_3 = \theta_4 - 90^\circ = 113.46^\circ - 90^\circ = 23.46^\circ \)
4. Calcular las Coordenadas del Punto C: \( x_C = L_2\cos\theta_2 + \overline{AC}\cos\theta_3 = 0.45\cos(60^\circ) + 1.7\cos(23.46^\circ) = 0.225 + 1.559 = 1.784 \text{ m} \) \( y_C = L_2\sin\theta_2 + \overline{AC}\sin\theta_3 = 0.45\sin(60^\circ) + 1.7\sin(23.46^\circ) = 0.3897 + 0.677 = 1.067 \text{ m} \)
Resultados Finales de Posición:
Posición de la corredera: \(\mathbf{\overline{AB} = 0.831 \text{ m}}\)
Ángulo del eslabón 3: \(\mathbf{\theta_3 = 23.46^\circ}\)
Ángulo del eslabón 4: \(\mathbf{\theta_4 = 113.46^\circ}\)
Coordenadas de C: (1.784, 1.067) m
Análisis de velocidad#
En el mismo instante (\(\theta_2 = 60^\circ\)), la manivela gira con \(\vec{\omega}_2 = 2\,\hat{k}\) rad/s (sentido antihorario). Calcule las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4, la velocidad de la varilla (eslabón 3) relativa al manguito del eslabón 4, y la velocidad del punto C.
Datos del análisis de posición (en metros), con \(\hat{u} = \cos\theta_3\,\hat{i} + \sin\theta_3\,\hat{j} = 0.9173\,\hat{i} + 0.3981\,\hat{j}\) el vector unitario a lo largo de la varilla, de A hacia C:
Resolución#
La varilla (eslabón 3) desliza dentro del manguito del eslabón 4, que la mantiene siempre perpendicular a \(O_4B\). Como el ángulo entre ambos eslabones nunca cambia, siempre giran juntos:
El punto A pertenece a la manivela, que gira alrededor del pivote fijo \(O_2\):
Para cerrar el lazo, consideramos el punto B en el centro del manguito, por dos caminos:
\(B_3\), el punto de la varilla (eslabón 3) que está en B en este instante. Pertenece al mismo eslabón rígido que A:
\[ \vec{v}_{B_3} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB} \]\(B_4\), el centro del manguito, que pertenece al eslabón 4 y gira alrededor de \(O_4\):
\[ \vec{v}_{B_4} = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O_4B} \]
Ambos puntos son coincidentes, pero pertenecen a eslabones que deslizan uno respecto al otro, así que sus velocidades difieren en la velocidad de deslizamiento, que tiene la dirección de la varilla:
Sustituyendo, con \(\omega\,\hat{k} \times \vec{r}_{AB} = \omega\,(-0.3308\,\hat{i} + 0.7623\,\hat{j})\) y \(\omega\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B} = \omega\,(-0.7206\,\hat{i} - 0.3127\,\hat{j})\):
que da un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, \(\omega\) y \(v_{rel}\):
Así, \(\vec{\omega}_3 = \vec{\omega}_4 = -0.870\,\hat{k}\) rad/s (sentido horario), y \(\vec{v}_{B_3/B_4} = -1.219\,\hat{u}\) m/s: la varilla se mueve respecto al manguito en la dirección de C hacia A, es decir, la distancia \(\overline{AB}\) crece a 1.219 m/s.
Por último, la velocidad del punto C, que pertenece a la varilla:
Análisis de aceleración#
En el mismo instante, la aceleración angular de la manivela es \(\vec{\alpha}_2 = 1\,\hat{k}\) rad/s² (sentido antihorario). Calcule las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4, la aceleración de la varilla relativa al manguito, y la aceleración del punto C.
Resolución#
Como con las velocidades, \(\vec{\alpha}_3 = \vec{\alpha}_4 = \alpha\,\hat{k}\). La aceleración de A es:
Las ecuaciones de aceleraciones de los puntos \(B_3\) y \(B_4\) son:
y, como \(B_3\) desliza sobre el eslabón 4, que gira, su relación incluye el término de Coriolis:
donde la aceleración de deslizamiento \(a_{rel}\) tiene la dirección de la varilla, porque el manguito es recto. Los términos conocidos son (\(\omega^2 = 0.7573\) rad²/s²):
El módulo del término de Coriolis es \(2\,|\omega_4|\,|v_{rel}| = 2.122\) m/s², y su dirección es la de \(\vec{v}_{rel}\) girada \(90^\circ\) en el sentido de \(\omega_4\). Igualando ambas expresiones de \(\vec{a}_{B_3}\):
y proyectando sobre ambos ejes:
Así, \(\vec{\alpha}_3 = \vec{\alpha}_4 = 2.693\,\hat{k}\) rad/s² (sentido antihorario) y la aceleración relativa de la varilla es \(-0.228\,\hat{u}\) m/s². Nótese que, sin el término de Coriolis, el resultado sería completamente distinto: olvidarlo es el error más habitual en este tipo de mecanismos.
Por último, la aceleración del punto C: