Ejemplo 3.2

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Ejemplo 3.2#

El mecanismo de transferencia de cinta transportadora que se muestra en la figura empuja cajas con una masa de 80 kg desde una cinta transportadora a otra. El eslabón motor gira a una velocidad constante de \(\omega_2=40~rpm\) en sentido antihorario. Para realizar un análisis cinemático y dinámico completo del mecanismo, utilizaremos todos los métodos de análisis estudiados en la asignatura. Realizaremos el análisis en una posición dada por \(\theta_2 =350^{\circ }\). Calcular las fuerzas de reacción y el par motor necesario para llevar dicho movimiento.

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Apartado 1: Cálculo de velocidades#

Para el problema de velocidades identificamos primero una subcadena de 4 barras, y planteamos la ecuación de velocidades relativas entre los puntos A y B:

\( {\vec{v} }_B ={\vec{v} }_A +{\vec{v} }_{A/B} \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{v} }_B\):

\( {\vec{v} }_B ={\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} \)

% definir la incógnita w4k, el vector w4, rO4B y finalmente experesar vB
syms w4k real
w4=[0 0 w4k];
rO4B=[1.174 2.761 0];
vB=cross(w4,rO4B);

- Para \({\vec{v} }_A\):

\( {\vec{v} }_A ={\vec{\omega} }_2 \times {\vec{r} }_{O2A} \)

% definir el vector w2, rO2A y finalmente experesar vA
w2=[0 0 40*2*pi/60];
rO2A=[cosd(350) sind(350) 0];
vA=cross(w2,rO2A);

- Para \({\vec{v} }_{B/A}\):

\( {\vec{v} }_{B/A} ={\vec{\omega} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} \)

% definir la incógnita w3k, el vector w3, rAB y finalmente experesar vB_A
syms w3k real
w3=[0 0 w3k];
rAB=[3.889 0.934 0];
vB_A=cross(w3,rAB);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_v1 = solve(vB==vA+vB_A,w3k, w4k);
w3k = subs(sol_v1.w3k);
w4k = subs(sol_v1.w4k);

Ahora pasamos a analizar la barra 5 y planteamos la ecuación de velocidades relativas entre los puntos C y D:

\( {\vec{v} }_D ={\vec{v} }_C +{\vec{v} }_{D/C} \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{v} }_D\):

\( {\vec{v} }_D =v_D \hat{i} \)

% definir la incógnita vDi, el vector vD
syms vDi real
vD=[vDi 0 0];

- Para \({\vec{v} }_C\):

\( {\vec{v} }_C ={\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4C} \)

% El vector w4 ya es conocido, y rO4C lo obtenmos de GeoGebra: 
rO4C=[0.831 5.942 0];
vC=cross(w4,rO4C);

- Para \({\vec{v} }_{D/C}\):

\( {\vec{v} }_{D/C} ={\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{CD} \)

% definir la incógnita w5k, el vector w5, rCD y finalmente experesar vD_C
syms w5k real
w5=[0 0 w5k];
rCD=[-6.431 -0.942 0];
vD_C=cross(w5,rCD);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_v2 = solve(vD==vC+vD_C,w5k, vDi);
w5k = subs(sol_v2.w5k);
vDi = subs(sol_v2.vDi);

Apartado 2: Cálculo de aceleraciones#

Aceleraciones de los puntos A,B, C y D#

Para el problema de aceleraciones procedemos de la misma forma, primero entre los puntos A y B:

\( {\vec{a} }_B ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{A/B} \)

que descomponiendo, nos da:

\( {\vec{a} }_B^n +{\vec{a} }_B^t ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{A/B}^n +{\vec{a} }_{A/B}^t \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{a} }_B^n\):

\( {\vec{a} }_B^n ={\vec{\omega} }_4 \times ({\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} ) \)

% Expresar aBn
aBn=cross(w4,cross(w4,rO4B));

- Para \({\vec{a} }_B^t\):

\( {\vec{a} }_B^t ={\vec{\alpha} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} \)

% definir la incógnita af4k, el vector af4, experesar aBt
syms af4k real
af4=[0 0 af4k];
aBt=cross(af4,rO4B);

- Para \({\vec{a} }_A\):

\( {\vec{a} }_A ={\vec{a} }_A^n ={\vec{\omega} }_2 \times ({\vec{\omega} }_2 \times {\vec{r} }_{O2A} ) \)

% Expresar aA
aA=cross(w2,cross(w2,rO2A));

- Para \({\vec{a} }_{B/A}^n\):

\( {\vec{a} }_{B/A}^n ={\vec{\omega} }_3 \times ({\vec{\omega} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} ) \)

% Expresar aB_An
aB_An=cross(w3,cross(w3,rAB));

- Para \({\vec{a} }_{B/A}^t\):

\( {\vec{a} }_{B/A}^t ={\vec{\alpha} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} \)

% definir la incógnita af3k, el vector af3, experesar aB_At
syms af3k real
af3=[0 0 af3k];
aB_At=cross(af3,rAB);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_ac1 = solve(aBn+aBt==aA+aB_An+aB_At,af3k, af4k);
% Display the solutions:
af3k = subs(sol_ac1.af3k);
af4k = subs(sol_ac1.af4k);

Ahora pasamos a analizar la barra 5 y planteamos la ecuación de aceleraciones relativas entre los puntos C y D:

\( {\vec{a} }_D ={\vec{a} }_C +{\vec{a} }_{D/C} \)

descomponiendo:

\( {\vec{a} }_D ={\vec{a} }_C^n +{\vec{a} }_C^t +{\vec{a} }_{D/C}^n +{\vec{a} }_{D/C}^t \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{a} }_D\):

\( {\vec{a} }_D =a_D \hat{i} \)

syms aDi real
aD=[aDi 0 0];

- Para \({\vec{a} }_C^n\):

\( {\vec{a} }_C^n ={\vec{\omega} }_4 \times ({\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4C} ) \)

aCn=cross(w4,cross(w4,rO4C));

- Para \({\vec{a} }_C^t\):

\( {\vec{a} }_C^t ={\vec{\alpha} }_4 \times {\vec{r} }_{O4C} \)

aCt=cross(af4,rO4C);

- Para \({\vec{a} }_{D/C}^n\):

\( {\vec{a} }_{D/C}^n ={\vec{\omega} }_5 \times ({\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{CD} ) \)

aD_Cn=cross(w5,cross(w5,rCD));

- Para \({\vec{a} }_{D/C}^t\):

\( {\vec{a} }_{D/C}^t ={\vec{\alpha} }_5 \times {\vec{r} }_{CD} \)

syms af5k real
af5=[0 0 af5k];
aD_Ct=cross(af5,rCD);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_ac2 = solve(aD==aCn+aCt+aD_Cn+aD_Ct,aDi, af5k);
aDi = subs(sol_ac2.aDi);
af5k = subs(sol_ac2.af5k);

Aceleraciones de los c.d.g.#

- Para \({\vec{a} }_{G2} ={\vec{a} }_{G2}^n\) necesitamos \({\vec{r} }_{O2G2}\):

rO2G2=rO2A/2;
aG2=cross(w2,cross(w2,rO2G2));

- Para \({\vec{a} }_{G3} ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{G3/A}^n +{\vec{a} }_{G3/A}^t\) necesitamos \({\vec{r} }_{AG3}\):

rAG3=rAB/2;
aG3=subs(aA+cross(w3,cross(w3,rAG3))+cross(af3,rAG3));

- Para \({\vec{a} }_{G4} ={\vec{a} }_{G4}^n +{\vec{a} }_{G4}^t\) necesitamos \({\vec{r} }_{O4G4}\):

rO4G4=[0.668 2.901 0];
aG4=subs(cross(w4,cross(w4,rO4G4))+cross(af4,rO4G4));

- Para \({\vec{a} }_{G5} ={\vec{a} }_C^n +{\vec{a} }_C^t +{\vec{a} }_{G5/C}^n +{\vec{a} }_{G5/C}^t\) necesitamos \({\vec{r} }_{CG5}\):

rCG5=rCD/2;
aG5=subs(aCn+aCt+cross(w5,cross(w5,rCG5))+cross(af5,rCG5));

- Para \({\vec{a} }_{G6} ={\vec{a} }_D\) basta con evaluar \({\vec{a} }_D\):

aG6=subs(aD);

Apartado 3: Dinámica aplicando el principio de D’Alembert#

En este aparado calcluaremos las fuerzas de reacción y el par motor a partir del equilibrio estático de cada sólido que compone el mecanismo incluyendo las fuerzas y momentos de inercia según el principio de D’Alemembert. Masas (en kg) e inercias (en kgm2, referidas al centro de masas): \(m_2=15.31\), \(m_3=61.26\), \(m_4=154.75\), \(m_5=99.54\), \(m_6=85\), \(I_2=1.278\), \(I_3=81.68\), \(I_4=495.76\), \(I_5=358.479\). Considerar que los centros de masas de los eslabones se ubican en: el punto medo del segmento \(O_2A\), el punto medio del segmento \(AB\), el baricentro del triángulo \(O_4BC\), el punto medio del segmento \(CD\) y el punto \(D\).