Determinación del número de Grados de Libertad (GDL)#
Fórmula de Grübler para Mecanismos Planos#
Es un método sistemático para hallar el número de GDL.
Con:
\(G\): Grados de Libertad totales.
\(N\): Número de eslabones, incluyendo la bancada.
\(p_{I}, p_{II}\): Número de juntas de grado I y II.
Discusión de la fórmula:
Cada cuerpo plano libre tiene 3 GDL, por tanto, los \(N-1\) eslabones móviles tienen \(3(N-1)\) GDL.
Cada junta de grado I (como R o P) que conecta dos eslabones, restringe 2 GDL.
Cada junta de grado II (como una leva) que conecta dos eslabones, restringe 1 GDL.
Fórmula General de Kutzbach#
La fórmula de Grübler es un caso particular de la fórmula de Kutzbach, que es más general y se aplica tanto a mecanismos planos como espaciales.
Para mecanismos planos: Es idéntica a la de Grübler. \(G = 3(N-1) - 2p_I - p_{II}\)
Para mecanismos espaciales (3D): \(G = 6(N-1) - \sum_{i=1}^{5} (6-i)p_i = 6(N-1) - 5p_1 - 4p_2 - 3p_3 - 2p_4 - 1p_5\) Donde un cuerpo libre en el espacio tiene 6 GDL, y \(p_i\) es el número de juntas que permiten \(i\) grados de libertad. Por ejemplo, una junta de revolución (\(p_1\)) restringe 5 GDL.
Aplicación práctica de la fórmula#
Numera todos los eslabones: La bancada es la #1, etc.
Identifica los pares cinemáticos: Distingue entre grado I y grado II.
Aplica la fórmula: \(G=3(N-1) -2 p_{I} - p_{II}\)
Opciones de numeración#
Es habitual encontrar más de una forma de numerar eslabones y juntas, pero ambas acaban siendo equivalentes. Por ejemplo:
La corredera se modela como un eslabón adicional, con dos juntas de grado I.
No se cuenta el bloque como eslabón, pero sí una junta de grado II.
Juntas con más de dos eslabones#
Una articulación que une \(k\) eslabones cuenta como \(k-1\) juntas simples. Cuando en una misma junta concurren más de dos barras, hay que analizar cómo se mueven entre sí. Por ejemplo:
Articulación con tres barras.
Existen dos juntas de revolución (grado I).
Excepciones y Casos Problemáticos#
La fórmula de Grübler/Kutzbach puede fallar en ciertos casos:
Ligaduras redundantes: A veces, un mecanismo tiene más restricciones de las necesarias para producir un movimiento determinado. La fórmula puede predecir 0 o menos GDL, pero el mecanismo se mueve debido a una geometría muy específica (por ejemplo, un mecanismo de paralelogramo con 5 barras). Estas restricciones extra no son independientes.
Grados de libertad pasivos o locales: Algunos mecanismos pueden tener movimientos locales (como una bola que rueda en una pista) que no afectan al movimiento global del mecanismo. La fórmula puede contar estos GDL, llevando a un resultado incorrecto para la movilidad principal.
Criterio de métodos numéricos#
En formulaciones de sistemas multicuerpo para el análisis de máquinas y mecanismos, existe una alternativa más avanzada al método de Grübler:
Se basa en la matriz Jacobiana de las restricciones.
Funciona para mecanismos 2D y 3D.
Detecta configuraciones singulares (¡Grübler falla!). Este método no se estudiará en este curso introductorio.