Relación de Velocidades y Número de Dientes: Método de las Fracciones Continuas#
El problema de la discretización#
Como se ha visto, la relación de velocidades en los engranajes viene dada por la ecuación:
\(i = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{Z_1}{Z_2}\)
Puesto que los números de dientes son números enteros, no podemos obtener cualquier relación de velocidades, sino solo un número discreto de ellas. Además, este cociente entre números enteros no puede ser cualquiera, porque habitualmente existe una limitación en el máximo y mínimo número de dientes que podemos emplear (por ejemplo, \(Z_{\min} = 20\) para evitar socavado sin corrección y \(Z_{\max} = 100\) por limitaciones de espacio o coste).
Aproximación mediante fracciones continuas#
Para aproximar una relación de velocidades dada (que puede ser irracional o tener muchos decimales) podemos utilizar el método de las fracciones continuas, que proporciona las mejores aproximaciones racionales sucesivas.
Ejemplo práctico: aproximar \(\pi/10\)#
Supongamos que queremos aproximar una relación de velocidades de \(i = \pi/10 = 0.31415926...\)
Paso 1: Expresamos el número como fracción continua mediante divisiones sucesivas:
\(0.31415926 = \frac{314.15926}{1000} = \frac{1}{\frac{1000}{314.15926}}\)
Continuamos desarrollando:
\(= \frac{1}{3 + \frac{57.5224}{314.15926}} = \frac{1}{3 + \frac{1}{\frac{314.15926}{57.5224}}}\)
\(= \frac{1}{3 + \frac{1}{5 + \frac{26.5472}{57.5224}}} = \frac{1}{3 + \frac{1}{5 + \frac{1}{\frac{57.5224}{26.5472}}}}\)
\(= \frac{1}{3 + \frac{1}{5 + \frac{1}{2 + \frac{4.428}{26.5472}}}} = \frac{1}{3 + \frac{1}{5 + \frac{1}{2 + \frac{1}{5.99...}}}}\)
Paso 2: Las sucesivas aproximaciones (convergentes) son:
Fracción continua |
Fracción simple |
Valor decimal |
Error relativo |
|---|---|---|---|
\(\frac{1}{3}\) |
\(\frac{1}{3}\) |
\(0.3333\) |
\(6.10\%\) |
\(\frac{1}{3+\frac{1}{5}}\) |
\(\frac{5}{16}\) |
\(0.3125\) |
\(0.528\%\) |
\(\frac{1}{3+\frac{1}{5+\frac{1}{2}}}\) |
\(\frac{11}{35}\) |
\(0.3143\) |
\(0.040\%\) |
\(\frac{1}{3+\frac{1}{5+\frac{1}{2+\frac{1}{5}}}}\) |
\(\frac{60}{191}\) |
\(0.314136\) |
\(0.007\%\) |
Soluciones prácticas con restricciones de dientes#
Las soluciones posibles a nuestro problema, si no se puede bajar de 20 dientes (para evitar socavado), serán múltiplos de las fracciones obtenidas:
Fracción \(\frac{1}{3}\):
\(\frac{20}{60}\), \(\frac{21}{63}\), \(\frac{22}{66}\), \(\frac{23}{69}\), …
Fracción \(\frac{5}{16}\):
\(\frac{20}{64}\), \(\frac{25}{80}\), \(\frac{30}{96}\), …
Fracción \(\frac{11}{35}\):
\(\frac{22}{70}\), \(\frac{33}{105}\), \(\frac{44}{140}\), …
Fracción \(\frac{60}{191}\):
\(\frac{60}{191}\), \(\frac{120}{382}\), …
Decisión final: Si, por ejemplo, no pudiéramos sobrepasar los 100 dientes (por limitaciones de espacio), la solución óptima sería:
\(Z_1 = 22, \quad Z_2 = 70 \quad \Rightarrow \quad i = \frac{70}{22} = \frac{35}{11} = 0.31429\)
con un error relativo de solo 0.040%, que es excelente para aplicaciones industriales.
Ventajas del método#
Proporciona las mejores aproximaciones racionales en cada paso (convergentes).
Permite elegir la solución óptima según las restricciones de diseño (\(Z_{\min}\), \(Z_{\max}\)).
Es especialmente útil cuando se requieren relaciones de transmisión irracionales (como \(\pi\), \(\sqrt{2}\), número áureo, etc.) en aplicaciones especiales (astronómicas, instrumentación de precisión).