Ejercicio 3 de examen 2026

Ejercicio 3 de examen 2026#

El mecanismo de la figura se emplea para elevar objetos. El eslabón motor (O2A) gira a una velocidad constante de 60 rpm en sentido antihorario. En la siguiente página se proporciona el cinema de aceleraciones parcialmente resuelto. Se debe realizar un análisis de velocidades y aceleraciones, así como la identificación de las fuerzas de inercia en una posición dada por \(\theta_2 =36.5^{\circ }\), para lo que se pide:

image_0.png

  1. Determinar con qué cadena cinemática se corresponde, el número de grados de libertad y si el eslabón 2 puede actuar como manivela, justificando las respuestas

  2. Calcular la velocidad del punto E.

  3. Representar el cinema de velocidades completo del mecanismo

  4. A partir del cinema de aceleraciones, determinar las aceleraciones angulares de todos los sólidos.

  5. Calcular las aceleraciones de los centros de gravedad de los eslabones y las fuerzas de inercia que originan.

  6. Calcular la distancia P cuando el valor de \(\theta_2\) pasa a ser 90º.

Datos:#

clear, clc
% Angulos (deg):
theta2=36.5; phi=95.6; eta=118.6; alpha=10.6; beta=19.7; delta=252.6; 
% Distancias (cm):
p=121.5; h=37.7; r1=55.7; r2=26.3; r3=41.6; r4=44.5; rO4D=59; r5=44.8;
% masas (kg):
m2=2; m3=6; m4=15; m5=7.5; m6=10;

Apartado 1: Cadena cinemática#

Se trata de una cadena Watt II ya que uno de los eslabones ternarios es tierra (1) y está conectado con el otro (4). Como es sabido, este tipo de mecanismos posee un grado de libertad, algo que se puede verificar fácilmente mediante el criterio de Grubler: N=6; P1=7; P2=0 => G=3*(6-1)-2*7-0=1. Finalmente, para saber si el eslabón 2 puede realizar revoluciones completas aplicamos la Ley de Grashoff a la subcadena 1,2,3 y 4. De esta forma tenemos que r2+r1 =26.3+55.7=82 es menor que r3+r4=41.6+44.5=86.1, lo que asegura que sí puerde realizar revoluciones completas, actuando como manivela.

Apartado 2: Cálculo de velocidades#

Para el problema de velocidades identificamos primero una subcadena de 4 barras, y planteamos la ecuación de velocidades relativas entre los puntos A y B:

\( {\vec{v} }_B ={\vec{v} }_A +{\vec{v} }_{A/B} \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{v} }_B\):

\( {\vec{v} }_B ={\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} \)

% definir la incógnita w4k, el vector w4, rO4B y finalmente experesar vB
syms w4k real
w4=[0 0 w4k];
rO4B=r4*[cosd(alpha) sind(alpha) 0];
vB=cross(w4,rO4B);

- Para \({\vec{v} }_A\):

\( {\vec{v} }_A ={\vec{\omega} }_2 \times {\vec{r} }_{O2A} \)

% definir el vector w2, rO2A y finalmente experesar vA
w2=[0 0 60*2*pi/60];
rO2A=r2*[cosd(theta2) sind(theta2) 0];
vA=cross(w2,rO2A);

- Para \({\vec{v} }_{B/A}\):

\( {\vec{v} }_{B/A} ={\vec{\omega} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} \)

% definir la incógnita w3k, el vector w3, rAB y finalmente experesar vB/A
syms w3k real
w3=[0 0 w3k];
rAB=r3*[cosd(95.6) sind(95.6) 0];
vB_A=cross(w3,rAB);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_v1 = solve(vB==vA+vB_A,w3k, w4k);
w3k = subs(sol_v1.w3k);
w4k = subs(sol_v1.w4k);

Ahora pasamos a analizar la barra 5 y planteamos la ecuación de velocidades relativas entre los puntos D y E:

\( {\vec{v} }_E ={\vec{v} }_D +{\vec{v} }_{E/D} \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{v} }_E\):

\( {\vec{v} }_E =v_E \hat{j} \)

% definir la incógnita vEj, el vector vE
syms vEj real
vE=[0 vEj 0];

- Para \({\vec{v} }_D\):

\( {\vec{v} }_D ={\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4D} \)

% El vector w4 ya es conocido, y rO4D es dato: 
rO4D=rO4D*[cosd(alpha+beta) sind(alpha+beta) 0];
vD=cross(w4,rO4D);

- Para \({\vec{v} }_{E/D}\):

\( {\vec{v} }_{E/D} ={\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} \)

% definir la incógnita w5k, el vector w5, rDE y finalmente experesar vE/D
syms w5k real
w5=[0 0 w5k];
rDE=r5*[cosd(72.6) sind(72.6) 0];
vE_D=cross(w5,rDE);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_v2 = solve(vE==vD+vE_D,w5k, vEj);
w5k = subs(sol_v2.w5k);
vEj = subs(sol_v2.vEj);

Mostramos resultados:#

fprintf('vAi=%3.2f vAj=%3.2f (m/s)\n', vA(1)/100,vA(2)/100)

vAi=-0.98 vAj=1.33 (m/s)

vB=double(subs(vB));
fprintf('vBi=%3.2f vBj=%3.2f (m/s)\n', vB(1)/100,vB(2)/100)

vBi=-0.26 vBj=1.40 (m/s)

fprintf('vEj=%3.2f (m/s)\n', vEj/100)

vEj=1.33 (m/s)

fprintf('w3k=%3.2f (rad/s)\n', double(subs(w3k)))

w3k=-1.74 (rad/s)

fprintf('w4k=%3.2f (rad/s)\n', double(subs(w4k)))

w4k=3.20 (rad/s)

fprintf('w5k=%3.2f (rad/s)\n', double(subs(w5k)))

w5k=-2.23 (rad/s)

Apartado 3: Cinema de velocidades#

Resolvemos gráficamente las ecuaciones de velocidades relativas:

\( {\vec{v} }_B ={\vec{v} }_A +{\vec{v} }_{A/B} \)

\( {\vec{v} }_{E/D} ={\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} \)

partiendo del dato conocido \(|v_A |=|\omega_2 |\cdot \bar{O_2 A}\), que es perpendicular a \(\bar{O_2 A}\) y en sentido acorde a \({\vec{\omega} }_2\), y sabiendo que podemos conocer \({\vec{\omega} }_4\) a partir de \({\vec{v} }_B\) para proceder a calcular \({\vec{v} }_D\):

image_1.png

Apartado 4: Cálculo de aceleraciones#

Este apartado se puede resolver fácilmente de forma gráfica aplicando correctamente la escala proporcionada. Además, se verifica que los resultados coinciden con los obtenidos aplicando las siguientes ecuaciones.

Aceleraciones de los puntos A,B, C y D#

Para el problema de aceleraciones procedemos de la misma forma, primero entre los puntos A y B:

\( {\vec{a} }_B ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{A/B} \)

que descomponiendo, nos da:

\( {\vec{a} }_B^n +{\vec{a} }_B^t ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{A/B}^n +{\vec{a} }_{A/B}^t \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{a} }_B^n\):

\( {\vec{a} }_B^n ={\vec{\omega} }_4 \times ({\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} ) \)

% Expresar aBn
aBn=cross(w4,cross(w4,rO4B));

- Para \({\vec{a} }_B^t\):

\( {\vec{a} }_B^t ={\vec{\alpha} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} \)

% definir la incógnita af4k, el vector af4, experesar aBt
syms af4k real
af4=[0 0 af4k];
aBt=cross(af4,rO4B);

- Para \({\vec{a} }_A\):

\( {\vec{a} }_A ={\vec{a} }_A^n ={\vec{\omega} }_2 \times ({\vec{\omega} }_2 \times {\vec{r} }_{O2A} ) \)

% Expresar aA
aA=cross(w2,cross(w2,rO2A));

- Para \({\vec{a} }_{B/A}^n\):

\( {\vec{a} }_{B/A}^n ={\vec{\omega} }_3 \times ({\vec{\omega} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} ) \)

% Expresar aB_An
aB_An=cross(w3,cross(w3,rAB));

- Para \({\vec{a} }_{B/A}^t\):

\( {\vec{a} }_{B/A}^t ={\vec{\alpha} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} \)

% definir la incógnita af3k, el vector af3, experesar aB_At
syms af3k real
af3=[0 0 af3k];
aB_At=cross(af3,rAB);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_ac1 = solve(aBn+aBt==aA+aB_An+aB_At,af3k, af4k);
% Display the solutions:
af3k = subs(sol_ac1.af3k);
af4k = subs(sol_ac1.af4k);

Ahora pasamos a analizar la barra 5 y planteamos la ecuación de aceleraciones relativas entre los puntos D y E:

\( {\vec{a} }_E ={\vec{a} }_D +{\vec{a} }_{E/D} \)

descomponiendo:

\( {\vec{a} }_E ={\vec{a} }_D^n +{\vec{a} }_D^t +{\vec{a} }_{E/D}^n +{\vec{a} }_{E/D}^t \)

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.

- Para \({\vec{a} }_E\):

\( {\vec{a} }_E =a_E \hat{j} \)

syms aEj real
aE=[0 aEj 0];

- Para \({\vec{a} }_D^n\):

\( {\vec{a} }_D^n ={\vec{\omega} }_4 \times ({\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4D} ) \)

aDn=cross(w4,cross(w4,rO4D));

- Para \({\vec{a} }_D^t\):

\( {\vec{a} }_D^t ={\vec{\alpha} }_4 \times {\vec{r} }_{O4D} \)

aDt=cross(af4,rO4D);

- Para \({\vec{a} }_{E/D}^n\):

\( {\vec{a} }_{E/D}^n ={\vec{\omega} }_5 \times ({\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} ) \)

aE_Dn=cross(w5,cross(w5,rDE));

- Para \({\vec{a} }_{E/D}^t\):

\( {\vec{a} }_{E/D}^t ={\vec{\alpha} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} \)

syms af5k real
af5=[0 0 af5k];
aE_Dt=cross(af5,rDE);

Ahora sí resolvemos la ecuación:

sol_ac2 = solve(aE==aDn+aDt+aE_Dn+aE_Dt,aEj, af5k);
aEj = subs(sol_ac2.aEj);
af5k = subs(sol_ac2.af5k);

Soluciones:#

fprintf('aEj=%3.2f (m/s2)\n', aEj/100)

aEj=-12.82 (m/s2)

image_2.png

Para el método gráfico:

% Print results:
fprintf('aA=%3.4f\n', norm(aA)/100)

aA=10.3828

fprintf('aBAn=%3.4f\n', norm(double(subs(aB_An)))/100)

aBAn=1.2620

fprintf('aBAn=%3.4f\n', norm(double(subs(aB_An)))/100)

aBAn=1.2620

fprintf('aBn=%3.4f\n', norm(double(subs(aBn)))/100)

aBn=4.5526

fprintf('aDn=%3.4f\n', norm(double(subs(aDn)))/100)

aDn=6.0361

fprintf('aDt=%3.4f\n', norm(double(subs(aDt)))/100)

aDt=8.2479

fprintf('aBt=%3.4f\n', norm(double(subs(aBt)))/100)

aBt=6.2209

fprintf('aEDn=%3.4f\n', norm(double(subs(aE_Dn)))/100)

aEDn=2.2222

fprintf('aEDt=%3.4f\n', norm(double(subs(aE_Dt)))/100)

aEDt=1.7970

fprintf('a3=%3.4f\n', double(af3k))

a3=-11.8173

fprintf('a4=%3.4f\n', double(af4k))

a4=-13.9795

fprintf('a5=%3.4f\n', double(af5k))

a5=-4.0111

Apartado 5: Cálculo de Las fuerzas de inercia#

A partir del principio de D’Alembert, podemos calculas las fuerzas de inercia como \({\vec{F} }_{in} =m\cdot (-{\vec{a} }_G )\) . Por tanto, antes que nada, necesitamos calcular las aceleraciones de los c.d.g. algo que podemos realizar gráficamente a partir del cinema de aceleraciones del apartado anterior, o mediante las siguientes expresiones:

Aceleraciones de los c.d.g.#

- Para \({\vec{a} }_{G2} ={\vec{a} }_{G2}^n\) necesitamos \({\vec{r} }_{O2G2}\):

rO2G2=rO2A/2;
aG2=cross(w2,cross(w2,rO2G2))/100;

- Para \({\vec{a} }_{G3} ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{G3/A}^n +{\vec{a} }_{G3/A}^t\) necesitamos \({\vec{r} }_{AG3}\):

rAG3=rAB/2;
aG3=double(subs(aA+cross(w3,cross(w3,rAG3))+cross(af3,rAG3)))/100;

- Para \({\vec{a} }_{G4} ={\vec{a} }_{G4}^n +{\vec{a} }_{G4}^t\) necesitamos \({\vec{r} }_{O4G4}\):

rO4G4=[31.58 12.67 0]; % Graficamente (cm)
aG4=double(subs(cross(w4,cross(w4,rO4G4))+cross(af4,rO4G4)))/100;

- Para \({\vec{a} }_{G5} ={\vec{a} }_C^n +{\vec{a} }_C^t +{\vec{a} }_{G5/C}^n +{\vec{a} }_{G5/C}^t\) necesitamos \({\vec{r} }_{CG5}\):

rCG5=rDE/2;
aG5=double(subs(aDn+aDt+cross(w5,cross(w5,rCG5))+cross(af5,rCG5)))/100;

- Para \({\vec{a} }_{G6} ={\vec{a} }_E\) basta con evaluar \({\vec{a} }_E\):

aG6=double(subs(aE))/100;

Fuerzas de inercia:#

Aplicamos la ecuación anterior a cada sólido:

Fin2=-aG2*m2;
Fin3=-aG3*m3;
Fin4=-aG4*m4;
Fin5=-aG5*m5;
Fin6=-aG6*m6;

Y mostramos los resultados:

fprintf('Fin2i=%3.2f Fin2j=%3.2f (N)\n', Fin2(1), Fin2(2))

Fin2i=8.35 Fin2j=6.18 (N)

fprintf('Fin3i=%3.2f Fin3j=%3.2f (N)\n', Fin3(1), Fin3(2))

Fin3i=35.03 Fin3j=39.38 (N)

fprintf('Fin4i=%3.2f Fin4j=%3.2f (N)\n', Fin4(1), Fin4(2))

Fin4i=21.89 Fin4j=85.66 (N)

fprintf('Fin5i=%3.2f Fin5j=%3.2f (N)\n', Fin5(1), Fin5(2))

Fin5i=3.94 Fin5j=86.22 (N)

fprintf('Fin6i=%3.2f Fin6j=%3.2f (N)\n', Fin6(1), Fin6(2))

Fin6i=-0.00 Fin6j=128.24 (N)

Apartado 6: Nueva posición del mecanismo#

Este apartado se resuelve fácilmente de manera gráfica:

image_3.png