Ejemplo 2.2 - Análisis de cinemático de un mecanismo biela-manivela#
Análisis de Posición#
La figura muestra un mecanismo de biela-manivela. Para el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 30^{\circ}\) con la horizontal, calcule la posición de la corredera y el ángulo que el eslabón 3 forma con la horizontal.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 0.25;\,\overline{AB} = 0.6;\,y_B = 0.25;\)
Análisis de posición por el Método Gráfico#
El objetivo es construir la configuración del mecanismo a escala para el instante \(\theta_2 = 30^\circ\) y medir las incógnitas de posición: la coordenada horizontal de la corredera (\(x_B\)) y el ángulo del acoplador (\(\theta_3\)).
Datos de Construcción:#
Eslabón 2 (Manivela): \(L_2 = \overline{O_2A} = 0.25 \text{ m}\)
Eslabón 3 (Acoplador): \(L_3 = \overline{AB} = 0.6 \text{ m}\)
Eje de la Corredera: La corredera se mueve sobre una línea horizontal a una altura constante \(y_B = 0.25 \text{ m}\).
Ángulo de Entrada: \(\theta_2 = 30^\circ\).
Procedimiento de Construcción:#
Establecer el origen: El pivote fijo \(O_2\) se coloca en el origen de coordenadas (0,0).
Posicionar la manivela (Eslabón 2): Desde \(O_2\), se dibuja el eslabón 2 con su longitud \(L_2 = 0.25 \text{ m}\) y el ángulo de entrada \(\theta_2 = 30^\circ\). El extremo de este vector es la posición de la junta A.
Dibujar la guía de la corredera: Se dibuja la línea horizontal que define la trayectoria de la corredera B. Esta línea está a una altura constante \(y = 0.25 \text{ m}\).
Localizar la junta B (Cierre del lazo):
Restricción del Acoplador: El punto B debe estar a una distancia \(L_3 = 0.6 \text{ m}\) de A. Geométricamente, esto es una circunferencia con centro A y radio 0.6.
Restricción de la Corredera: El punto B debe estar sobre la línea \(y = 0.25\).
Resolver la ambigüedad de configuración: La intersección de la circunferencia (centro A, radio \(L_3\)) y la línea (\(y=0.25\)) da dos posibles soluciones para el punto B. Se debe elegir la que corresponde a la configuración mostrada en la figura del problema.
Medición de resultados: Con el mecanismo completamente dibujado, las cantidades deseadas se miden directamente desde el software gráfico:
Coordenadas del punto B: \((x_B, y_B)\).
Ángulo del acoplador, \(\theta_3\): El ángulo del segmento AB con la horizontal.
Análisis de posición por el Método Analítico#
El objetivo es encontrar expresiones para las incógnitas (\(x_B\) y \(\theta_3\)) en función de los parámetros conocidos.
Formulación del Lazo Vectorial#
Modelamos el mecanismo como una cadena vectorial abierta. La posición del punto B se puede expresar partiendo del origen \(O_2\): \( \vec{R}_B = \vec{R}_A + \vec{R}_{AB} \) Donde:
\(\vec{R}_A = L_2(\cos\theta_2 \hat{i} + \sin\theta_2 \hat{j})\)
\(\vec{R}_{AB} = L_3(\cos\theta_3 \hat{i} + \sin\theta_3 \hat{j})\)
\(\vec{R}_B = x_B \hat{i} + y_B \hat{j}\) (con \(y_B\) constante)
Descomponemos la ecuación vectorial en sus componentes escalares (x e y):
Componente x: \( x_B = L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 \quad (\text{Ecuación 1}) \)
Componente y: \( y_B = L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 \quad (\text{Ecuación 2}) \)
Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: \(\theta_3\) y \(x_B\).
Resolviendo para \(\theta_3\) y \(x_B\)#
Resolver para \(\theta_3\): De la Ecuación 2, podemos despejar \(\sin\theta_3\): \( \sin\theta_3 = \frac{y_B - L_2\sin\theta_2}{L_3} \) Esto nos dará dos valores posibles para \(\theta_3\), ya que \(\theta_{3,2} = 180^\circ - \theta_{3,1}\). Debemos elegir la solución que corresponde a la configuración del dibujo. Una vez conocido \(\sin\theta_3\), podemos encontrar \(\cos\theta_3 = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta_3}\), donde el signo depende del cuadrante en que se encuentre \(\theta_3\).
Resolver para \(x_B\): Una vez que tenemos el valor correcto de \(\theta_3\) (y por tanto, de \(\cos\theta_3\)), lo sustituimos en la Ecuación 1 para encontrar la posición de la corredera: \( x_B = L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 \)
El cálculo se realiza para las dos configuraciones posibles.
Datos Iniciales:
Longitudes: \(L_2=0.25 \text{ m}, L_3=0.6 \text{ m}\)
Posición vertical de la corredera: \(y_B = 0.25 \text{ m}\)
Ángulo de entrada: \(\theta_2 = 30^\circ\)
Cálculo de \(\theta_3\): Usando la Ecuación 2: \( \sin\theta_3 = \frac{0.25 - 0.25\sin(30^\circ)}{0.6} = \frac{0.25 - 0.25 \cdot 0.5}{0.6} = \frac{0.125}{0.6} \approx 0.2083 \) Esto da dos posibles soluciones para \(\theta_3\):
Solución 1: \(\theta_{3,1} = \arcsin(0.2083) \approx 12.02^\circ\). Esta corresponde a la configuración de la figura.
Solución 2: \(\theta_{3,2} = 180^\circ - 12.02^\circ = 167.98^\circ\). Esta corresponde a la otra configuración posible del mecanismo.
Cálculo de \(x_B\) (para la Solución 2): Se elige la segunda solución para \(\theta_3\). Primero, calculamos el coseno para este ángulo: \( \cos(167.98^\circ) \approx -0.9781 \) Ahora, usamos la Ecuación 1: \( x_B = 0.25\cos(30^\circ) + 0.6\cos(167.98^\circ) = 0.25 \cdot 0.866 + 0.6 \cdot (-0.9781) \) \( x_B = 0.2165 - 0.5868 = -0.3703 \text{ m} \)
Resultados Finales de Posición (Solución 2):
Ángulo del acoplador: \(\mathbf{\theta_3 = 167.98^\circ}\)
Posición de la corredera: \(\mathbf{x_B = -0.3703 \text{ m}}\)
Análisis de velocidad#
En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 30^{\circ}\) con la horizontal, su velocidad angular es \(\vec{\omega}_2 = 1\hat{k}\) rad/s, y su aceleración es \(\vec{\alpha}_2 = 1\hat{k}\) rad/s². Calcule la velocidad de la corredera y la velocidad angular del eslabón 3.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 0.25;\, \overline{AB} = 0.6;\, y_B = 0.25\). Ángulo del eslabón 3 con la horizontal, del análisis de posición: \(\theta_3 = 167.98^{\circ}\).
Resolución (Cálculos en Matlab)#
Para este ejemplo, realizaremos los cálculos usando Matlab en un script que puede ser descargado desde este enlace. Empezamos creando variables para los datos dados:
clear, clc
O2A = 0.25; AB = 0.6;
th2 = 30; th3 = 167.98;
w2 = [0 0 1]; af2 = [0 0 1];
El mecanismo tiene un grado de libertad, correspondiente a \(\vec{\omega}_2\). Usamos este dato conocido para calcular la velocidad del punto A:
\(\vec{v}_A = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}\)
A partir de los datos geométricos, calculamos \(\vec{r}_{O2A}\):
rO2A = O2A * [cosd(th2) sind(th2) 0];
Por lo tanto,
\(\vec{v}_A = 1\hat{k} \times (0.2165\hat{i} + 0.125\hat{j}) = -0.125\hat{i} + 0.2165\hat{j}\)
vA = cross(w2, rO2A);
A continuación, nos centramos en el punto B. Analizándolo como parte del eslabón 3, podemos establecer la ecuación de velocidad relativa entre A y B:
\(\vec{v}_{B3} = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}\)
con \(\vec{v}_A\) conocida y \(\vec{v}_{B/A} = \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}\), donde conocemos la dirección pero no la magnitud de \(\vec{\omega}_3\).
syms w3k real
w3 = [0 0 w3k];
rAB = AB * [cosd(th3) sind(th3) 0];
vB_A = cross(w3, rAB);
vB3 = vA + vB_A;
Ahora analizamos el punto B como parte del eslabón 4 (la corredera). Al ser una corredera, sabemos que su dirección debe ser a lo largo del eje de deslizamiento, que en este caso es horizontal:
\(\vec{v}_{B4} = v_B\hat{i}\)
syms vBi real
vB4 = [vBi 0 0];
Como hay una junta de revolución en B, podemos igualar las dos expresiones:
sol_v1 = solve(vB3 == vB4, w3k, vBi);
w3k = double(sol_v1.w3k);
vBi = double(sol_v1.vBi);
fprintf('w3k=%0.3f vBi=%0.3f\n', w3k, vBi)
w3k=0.369 vBi=-0.171
Cinema de Velocidad#
El cinema de velocidad para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores.
Análisis de aceleración#
En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 30^{\circ}\) con la horizontal, su velocidad angular es \(\vec{\omega}_2 = 1\hat{k}\) rad/s, y su aceleración es \(\vec{\alpha}_2 = 1\hat{k}\) rad/s². Calcule la aceleración de la corredera y la aceleración angular del eslabón 3.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 0.25;\, \overline{AB} = 0.6;\, y_B = 0.25\). Ángulo del eslabón 3 con la horizontal (del análisis de posición): \(\theta_3 = 167.98^{\circ}\), y su velocidad angular \(\vec{\omega}_3 = 0.369\) rad/s.
Resolución (Cálculos en Matlab)#
El procedimiento para calcular las aceleraciones del mecanismo es similar al de las velocidades. Empezamos con el punto A ya que tenemos información sobre él. Calculamos \(\vec{a}_A\) a partir de sus componentes normal y tangencial:
\(\vec{a}_A = \vec{a}_A^n + \vec{a}_A^t = \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}) + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O2A}\)
aA = cross(w2, cross(w2, rO2A)) + cross(af2, rO2A);
Ahora, analizando el punto B como parte del eslabón 3, tenemos:
\(\vec{a}_{B3} = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}\)
que, al descomponer, da:
\(\vec{a}_{B3} = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}^n + \vec{a}_{B/A}^t\)
donde la aceleración de A es conocida, y podemos expresar las componentes de la aceleración relativa a partir de la información disponible:
Para \(\vec{a}_{B/A}^n\), todo es conocido. Por lo tanto: \(\vec{a}_{B/A}^n = \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB})\)
aB_An = cross(w3, cross(w3, rAB));
Para \(\vec{a}_{B/A}^t\), podemos operar y expresarla en términos de la incógnita \(\vec{\alpha}_3\), de la que solo conocemos su dirección: \(\vec{a}_{B/A}^t = \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AB}\)
syms af3k real
af3 = [0 0 af3k];
aB_At = cross(af3, rAB);
Lo que nos deja con:
aB3 = aA + aB_An + aB_At;
Por otro lado, si consideramos el punto B como parte del eslabón 4, tenemos:
\(\vec{a}_{B4} = a_B\hat{i}\)
syms aBi real
aB4 = [aBi 0 0];
Finalmente, si igualamos ambas expresiones, tenemos:
sol_ac1 = solve(aB3 == aB4, af3k, aBi);
af3k = double(subs(sol_ac1.af3k));
aBi = double(subs(sol_ac1.aBi));
fprintf('af3k=%0.3f aBi=%0.3f\n', af3k, aBi)
af3k=0.127 aBi=-0.277
Cinema de Aceleración#
El cinema de aceleración para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores.