## Ejemplo 2.2 - Análisis de cinemático de un mecanismo biela-manivela ### Análisis de Posición La figura muestra un mecanismo de biela-manivela. Para el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 30^{\circ}$ con la horizontal, calcule la posición de la corredera y el ángulo que el eslabón 3 forma con la horizontal. ![figBM.jpeg](./figs/figBM.jpeg) Datos: Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 0.25;\,\overline{AB} = 0.6;\,y_B = 0.25;$ --- ### Análisis de posición por el Método Gráfico El objetivo es construir la configuración del mecanismo a escala para el instante $\theta_2 = 30^\circ$ y medir las incógnitas de posición: la coordenada horizontal de la corredera ($x_B$) y el ángulo del acoplador ($\theta_3$). #### Datos de Construcción: * **Eslabón 2 (Manivela):** $L_2 = \overline{O_2A} = 0.25 \text{ m}$ * **Eslabón 3 (Acoplador):** $L_3 = \overline{AB} = 0.6 \text{ m}$ * **Eje de la Corredera:** La corredera se mueve sobre una línea horizontal a una altura constante $y_B = 0.25 \text{ m}$. * **Ángulo de Entrada:** $\theta_2 = 30^\circ$. #### Procedimiento de Construcción: 1. **Establecer el origen:** El pivote fijo $O_2$ se coloca en el origen de coordenadas (0,0). 2. **Posicionar la manivela (Eslabón 2):** Desde $O_2$, se dibuja el eslabón 2 con su longitud $L_2 = 0.25 \text{ m}$ y el ángulo de entrada $\theta_2 = 30^\circ$. El extremo de este vector es la posición de la junta A. 3. **Dibujar la guía de la corredera:** Se dibuja la línea horizontal que define la trayectoria de la corredera B. Esta línea está a una altura constante $y = 0.25 \text{ m}$. 4. **Localizar la junta B (Cierre del lazo):** * **Restricción del Acoplador:** El punto B debe estar a una distancia $L_3 = 0.6 \text{ m}$ de A. Geométricamente, esto es una circunferencia con centro A y radio 0.6. * **Restricción de la Corredera:** El punto B debe estar sobre la línea $y = 0.25$. 5. **Resolver la ambigüedad de configuración:** La intersección de la circunferencia (centro A, radio $L_3$) y la línea ($y=0.25$) da dos posibles soluciones para el punto B. Se debe elegir la que corresponde a la configuración mostrada en la figura del problema. 6. **Medición de resultados:** Con el mecanismo completamente dibujado, las cantidades deseadas se miden directamente desde el software gráfico: * Coordenadas del punto B: $(x_B, y_B)$. * Ángulo del acoplador, $\theta_3$: El ángulo del segmento AB con la horizontal. --- ### Análisis de posición por el Método Analítico El objetivo es encontrar expresiones para las incógnitas ($x_B$ y $\theta_3$) en función de los parámetros conocidos. #### Formulación del Lazo Vectorial Modelamos el mecanismo como una cadena vectorial abierta. La posición del punto B se puede expresar partiendo del origen $O_2$: $ \vec{R}_B = \vec{R}_A + \vec{R}_{AB} $ Donde: * $\vec{R}_A = L_2(\cos\theta_2 \hat{i} + \sin\theta_2 \hat{j})$ * $\vec{R}_{AB} = L_3(\cos\theta_3 \hat{i} + \sin\theta_3 \hat{j})$ * $\vec{R}_B = x_B \hat{i} + y_B \hat{j}$ (con $y_B$ constante) Descomponemos la ecuación vectorial en sus componentes escalares (x e y): * **Componente x:** $ x_B = L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 \quad (\text{Ecuación 1}) $ * **Componente y:** $ y_B = L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 \quad (\text{Ecuación 2}) $ Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $\theta_3$ y $x_B$. #### Resolviendo para $\theta_3$ y $x_B$ 1. **Resolver para $\theta_3$:** De la Ecuación 2, podemos despejar $\sin\theta_3$: $ \sin\theta_3 = \frac{y_B - L_2\sin\theta_2}{L_3} $ Esto nos dará dos valores posibles para $\theta_3$, ya que $\theta_{3,2} = 180^\circ - \theta_{3,1}$. Debemos elegir la solución que corresponde a la configuración del dibujo. Una vez conocido $\sin\theta_3$, podemos encontrar $\cos\theta_3 = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta_3}$, donde el signo depende del cuadrante en que se encuentre $\theta_3$. 2. **Resolver para $x_B$:** Una vez que tenemos el valor correcto de $\theta_3$ (y por tanto, de $\cos\theta_3$), lo sustituimos en la Ecuación 1 para encontrar la posición de la corredera: $ x_B = L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 $ --- El cálculo se realiza para las dos configuraciones posibles. * **Datos Iniciales:** * Longitudes: $L_2=0.25 \text{ m}, L_3=0.6 \text{ m}$ * Posición vertical de la corredera: $y_B = 0.25 \text{ m}$ * Ángulo de entrada: $\theta_2 = 30^\circ$ * **Cálculo de $\theta_3$:** Usando la Ecuación 2: $ \sin\theta_3 = \frac{0.25 - 0.25\sin(30^\circ)}{0.6} = \frac{0.25 - 0.25 \cdot 0.5}{0.6} = \frac{0.125}{0.6} \approx 0.2083 $ Esto da dos posibles soluciones para $\theta_3$: * **Solución 1:** $\theta_{3,1} = \arcsin(0.2083) \approx 12.02^\circ$. Esta corresponde a la configuración de la figura. * **Solución 2:** $\theta_{3,2} = 180^\circ - 12.02^\circ = 167.98^\circ$. Esta corresponde a la otra configuración posible del mecanismo. * **Cálculo de $x_B$ (para la Solución 2):** Se elige la segunda solución para $\theta_3$. Primero, calculamos el coseno para este ángulo: $ \cos(167.98^\circ) \approx -0.9781 $ Ahora, usamos la Ecuación 1: $ x_B = 0.25\cos(30^\circ) + 0.6\cos(167.98^\circ) = 0.25 \cdot 0.866 + 0.6 \cdot (-0.9781) $ $ x_B = 0.2165 - 0.5868 = -0.3703 \text{ m} $ * **Resultados Finales de Posición (Solución 2):** * Ángulo del acoplador: $\mathbf{\theta_3 = 167.98^\circ}$ * Posición de la corredera: $\mathbf{x_B = -0.3703 \text{ m}}$ ### Análisis de velocidad En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 30^{\circ}$ con la horizontal, su velocidad angular es $\vec{\omega}_2 = 1\hat{k}$ rad/s, y su aceleración es $\vec{\alpha}_2 = 1\hat{k}$ rad/s². Calcule la velocidad de la corredera y la velocidad angular del eslabón 3. Datos: Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 0.25;\, \overline{AB} = 0.6;\, y_B = 0.25$. Ángulo del eslabón 3 con la horizontal, del análisis de posición: $\theta_3 = 167.98^{\circ}$. #### Resolución (Cálculos en Matlab) Para este ejemplo, realizaremos los cálculos usando Matlab en un script que puede ser descargado desde {download}`este enlace <../TMM-sphinx-EN/_static/scripts/ejemplo2_02.mlx>`. Empezamos creando variables para los datos dados: ```matlab clear, clc O2A = 0.25; AB = 0.6; th2 = 30; th3 = 167.98; w2 = [0 0 1]; af2 = [0 0 1]; ``` El mecanismo tiene un grado de libertad, correspondiente a $\vec{\omega}_2$. Usamos este dato conocido para calcular la velocidad del punto A: $\vec{v}_A = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}$ A partir de los datos geométricos, calculamos $\vec{r}_{O2A}$: ```matlab rO2A = O2A * [cosd(th2) sind(th2) 0]; ``` Por lo tanto, $\vec{v}_A = 1\hat{k} \times (0.2165\hat{i} + 0.125\hat{j}) = -0.125\hat{i} + 0.2165\hat{j}$ ```matlab vA = cross(w2, rO2A); ``` A continuación, nos centramos en el punto B. Analizándolo como parte del eslabón 3, podemos establecer la ecuación de velocidad relativa entre A y B: $\vec{v}_{B3} = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}$ con $\vec{v}_A$ conocida y $\vec{v}_{B/A} = \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}$, donde conocemos la dirección pero no la magnitud de $\vec{\omega}_3$. ```matlab syms w3k real w3 = [0 0 w3k]; rAB = AB * [cosd(th3) sind(th3) 0]; vB_A = cross(w3, rAB); vB3 = vA + vB_A; ``` Ahora analizamos el punto B como parte del eslabón 4 (la corredera). Al ser una corredera, sabemos que su dirección debe ser a lo largo del eje de deslizamiento, que en este caso es horizontal: $\vec{v}_{B4} = v_B\hat{i}$ ```matlab syms vBi real vB4 = [vBi 0 0]; ``` Como hay una junta de revolución en B, podemos igualar las dos expresiones: ```matlab sol_v1 = solve(vB3 == vB4, w3k, vBi); w3k = double(sol_v1.w3k); vBi = double(sol_v1.vBi); fprintf('w3k=%0.3f vBi=%0.3f\n', w3k, vBi) ``` ```matlabTextOutput w3k=0.369 vBi=-0.171 ``` #### Cinema de Velocidad El cinema de velocidad para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores. ### Análisis de aceleración En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 30^{\circ}$ con la horizontal, su velocidad angular es $\vec{\omega}_2 = 1\hat{k}$ rad/s, y su aceleración es $\vec{\alpha}_2 = 1\hat{k}$ rad/s². Calcule la aceleración de la corredera y la aceleración angular del eslabón 3. Datos: Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 0.25;\, \overline{AB} = 0.6;\, y_B = 0.25$. Ángulo del eslabón 3 con la horizontal (del análisis de posición): $\theta_3 = 167.98^{\circ}$, y su velocidad angular $\vec{\omega}_3 = 0.369$ rad/s. #### Resolución (Cálculos en Matlab) El procedimiento para calcular las aceleraciones del mecanismo es similar al de las velocidades. Empezamos con el punto A ya que tenemos información sobre él. Calculamos $\vec{a}_A$ a partir de sus componentes normal y tangencial: $\vec{a}_A = \vec{a}_A^n + \vec{a}_A^t = \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}) + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O2A}$ ```matlab aA = cross(w2, cross(w2, rO2A)) + cross(af2, rO2A); ``` Ahora, analizando el punto B como parte del eslabón 3, tenemos: $\vec{a}_{B3} = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}$ que, al descomponer, da: $\vec{a}_{B3} = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}^n + \vec{a}_{B/A}^t$ donde la aceleración de A es conocida, y podemos expresar las componentes de la aceleración relativa a partir de la información disponible: - Para $\vec{a}_{B/A}^n$, todo es conocido. Por lo tanto: $\vec{a}_{B/A}^n = \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB})$ ```matlab aB_An = cross(w3, cross(w3, rAB)); ``` - Para $\vec{a}_{B/A}^t$, podemos operar y expresarla en términos de la incógnita $\vec{\alpha}_3$, de la que solo conocemos su dirección: $\vec{a}_{B/A}^t = \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AB}$ ```matlab syms af3k real af3 = [0 0 af3k]; aB_At = cross(af3, rAB); ``` Lo que nos deja con: ```matlab aB3 = aA + aB_An + aB_At; ``` Por otro lado, si consideramos el punto B como parte del eslabón 4, tenemos: $\vec{a}_{B4} = a_B\hat{i}$ ```matlab syms aBi real aB4 = [aBi 0 0]; ``` Finalmente, si igualamos ambas expresiones, tenemos: ```matlab sol_ac1 = solve(aB3 == aB4, af3k, aBi); af3k = double(subs(sol_ac1.af3k)); aBi = double(subs(sol_ac1.aBi)); fprintf('af3k=%0.3f aBi=%0.3f\n', af3k, aBi) ``` ```matlabTextOutput af3k=0.127 aBi=-0.277 ``` #### Cinema de Aceleración El cinema de aceleración para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores.