Ejemplo 2.1 Análisis cinemático de un Mecanismo de Cuatro Barras#
Análisis de Posición#
La figura muestra un mecanismo de 4 barras. En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 135^{\circ}\) con la horizontal, calcule las coordenadas del punto C y los ángulos que los eslabones 3 y 4 forman con la horizontal, \(\theta_3\) y \(\theta_4\).
Datos del Mecanismo#
Longitudes de los eslabones, en metros:
\(\overline{O_2A} = 0.2\)
\(\overline{AB} = 0.6\)
\(\overline{O_4B} = 0.5\)
\(\overline{O_2O_4} = 0.5\)
\(\overline{AC} = 0.4\)
Análisis de posición por el método gráfico#
El objetivo es construir la configuración del mecanismo a escala para el instante \(\theta_2 = 135^\circ\) y medir las coordenadas y ángulos solicitados.
Datos de Construcción:#
Eslabón 1 (Bastidor): \(L_1 = \overline{O_2O_4} = 0.5 \text{ m}\)
Eslabón 2 (Manivela): \(L_2 = \overline{O_2A} = 0.2 \text{ m}\)
Eslabón 3 (Acoplador): \(L_3 = \overline{AB} = 0.6 \text{ m}\)
Eslabón 4 (Balancín): \(L_4 = \overline{O_4B} = 0.5 \text{ m}\)
Punto de Interés C: Situado en el acoplador, con \(\overline{AC} = 0.4 \text{ m}\) y un ángulo fijo de \(30^\circ\) en sentido antihorario con respecto al segmento AB.
Procedimiento de Construcción:#
Establecer el bastidor (Eslabón 1)
Se define un sistema de coordenadas global. El pivote fijo \(O_2\) se sitúa en el origen (0,0).
El segundo pivote fijo \(O_4\) se sitúa en (0.5, 0), estableciendo la longitud y posición del eslabón fijo.
Posicionar la manivela (Eslabón 2)
Desde \(O_2\), se dibuja el eslabón 2 con su longitud \(L_2 = 0.2 \text{ m}\) y el ángulo de entrada \(\theta_2 = 135^\circ\). El extremo de este vector es la posición de la junta A.
Las coordenadas de A se pueden calcular directamente para verificación: \(A = (L_2 \cos\theta_2, L_2 \sin\theta_2)\).
Localizar la junta B (Cierre del lazo)
Restricción del Acoplador: El punto B debe estar a una distancia \(L_3 = 0.6 \text{ m}\) de A. Geométricamente, esto es una circunferencia con centro A y radio 0.6.
Restricción del Balancín: El punto B también debe estar a una distancia \(L_4 = 0.5 \text{ m}\) de \(O_4\). Geométricamente, esto es una circunferencia con centro \(O_4\) y radio 0.5.
Resolver la ambigüedad de configuración
La intersección de las dos circunferencias del paso anterior da dos posibles soluciones para el punto B. Estas dos soluciones definen las dos configuraciones (o ramas) del mecanismo:
Configuración Abierta: Generalmente la que tiene el ángulo \(\angle O_4BA\) más grande (el “codo” hacia afuera).
Configuración Cruzada: La que tiene el ángulo \(\angle O_4BA\) más pequeño (el “codo” hacia adentro).
Se elige la solución superior para B, que corresponde a la configuración abierta.
Localizar el punto de interés C
El punto C forma un triángulo rígido ABC con el eslabón acoplador.
Se dibuja el segmento AB, que define la orientación del acoplador.
Se construye el vector \(\vec{AC}\) con una magnitud de 0.4 m, girado \(30^\circ\) en sentido antihorario con respecto a la dirección del vector \(\vec{AB}\). El extremo de este vector es el punto C.
Medición de resultados
Con el mecanismo completamente dibujado, las cantidades deseadas se miden directamente desde el software gráfico:
Coordenadas del punto C: \((x_C, y_C)\).
Ángulo del acoplador, \(\theta_3\): El ángulo del segmento AB con la horizontal.
Ángulo del balancín, \(\theta_4\): El ángulo del segmento \(O_4B\) con la horizontal.
El siguiente modelo de GeoGebra muestra el resultado de realizar este proceso:
Análisis de posición por el método analítico#
El objetivo es encontrar expresiones para las incógnitas (\(\theta_3\), \(\theta_4\), y las coordenadas de C) en función de los parámetros conocidos.
Formulación del Lazo Vectorial#
Modelamos el mecanismo como una cadena cerrada de vectores de posición. Partiendo de \(O_2\) y volviendo a \(O_2\), la suma de los vectores debe ser cero. \( \vec{L}_2 + \vec{L}_3 - \vec{L}_4 - \vec{L}_1 = 0 \) Reordenamos la ecuación para aislar los vectores con las incógnitas: \( \vec{L}_2 + \vec{L}_3 = \vec{L}_1 + \vec{L}_4 \) Ahora, descomponemos esta ecuación vectorial en sus componentes escalares (x e y):
Componente x (real): \( L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 = L_1 + L_4\cos\theta_4 \quad (\text{Ecuación 1}) \)
Componente y (imaginaria): \( L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 = L_4\sin\theta_4 \quad (\text{Ecuación 2}) \)
Tenemos un sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas, \(\theta_3\) y \(\theta_4\).
Resolviendo para \(\theta_3\) y \(\theta_4\)#
Una forma de resolver el sistema es usando la Ecuación de Freudenstein, que relaciona los ángulos de entrada y salida: \( K_1\cos\theta_3 + K_2\cos\theta_2 + K_3 = \cos(\theta_2 - \theta_3) \) Donde las constantes \(K_1, K_2, K_3\) dependen solo de las longitudes de los eslabones:
\(K_1 = L_1 / L_2\)
\(K_2 = L_1 / L_4\)
\(K_3 = (L_2^2 - L_3^2 + L_4^2 + L_1^2) / (2L_2L_4)\)
Resolver el sistema para \(\theta_3\) y \(\theta_4\) lleva a una ecuación de la forma \(A\cos\theta_3 + B\sin\theta_3 = C\), que tiene soluciones estándar. Las soluciones finales son: \( \theta_4 = 2 \arctan\left(\frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\right) \) \( \theta_3 = \arctan\left(\frac{L_4\sin\theta_4 - L_2\sin\theta_2}{L_1 + L_4\cos\theta_4 - L_2\cos\theta_2}\right) \) Donde:
\(A = \cos\theta_2 - K_1 - K_2\cos\theta_2 + K_3\)
\(B = -2\sin\theta_2\)
\(C = K_1 - (K_2+1)\cos\theta_2 + K_3\)
El signo \(\pm\) en la raíz cuadrada nos da las dos soluciones correspondientes a las configuraciones abierta y cruzada.
Cálculo de las Coordenadas del Punto C#
Una vez que se calculan \(\theta_3\) y \(\theta_4\):
Coordenadas de A:
\(x_A = L_2\cos\theta_2\)
\(y_A = L_2\sin\theta_2\)
Coordenadas de C: El punto C está en el eslabón 3. Su posición está definida por el vector \(\vec{R}_C = \vec{R}_A + \vec{R}_{AC}\). El vector \(\vec{R}_{AC}\) tiene una magnitud constante de 0.4 m y un ángulo que es el ángulo del eslabón 3 (\(\theta_3\)) más el ángulo fijo de \(30^\circ\) (\(\delta_3\)).
\(x_C = x_A + \overline{AC}\cos(\theta_3 + \delta_3)\)
\(y_C = y_A + \overline{AC}\sin(\theta_3 + \delta_3)\)
A continuación, se realiza el cálculo numérico detallado. Como ya es sabido, el sistema tiene dos soluciones matemáticas, que corresponden a dos montajes físicos diferentes del mecanismo.
1. Las Dos Configuraciones Posibles:
Al resolver las ecuaciones del lazo vectorial, se encuentran dos soluciones válidas:
Solución 1: Configuración Abierta
Esta es la configuración que se muestra en la figura, donde el polígono \(O_2ABO_4\) es convexo y los eslabones no se cruzan.
Los ángulos son: \(\mathbf{\theta_3 \approx 34.18^\circ}\) y \(\mathbf{\theta_4 \approx 106.86^\circ}\).
Esta es la solución correcta que coincide con GeoGebra.
Solución 2: Configuración Cruzada
En esta configuración, el eslabón acoplador (AB) cruzaría el bastidor (\(O_2O_4\)).
Los ángulos son: \(\theta_3 \approx -59.04^\circ\) y \(\theta_4 \approx 228.21^\circ\).
Esta solución, aunque matemáticamente válida, no corresponde a la figura del problema.
2. Cálculo de Coordenadas para la Configuración Abierta:
Usamos los ángulos de la configuración correcta (la abierta) para los cálculos.
Datos Iniciales:
Longitudes: \(L_1=0.5, L_2=0.2, L_3=0.6, L_4=0.5, \overline{AC}=0.4\)
Ángulos: \(\theta_2 = 135^\circ\), \(\delta_3 = 30^\circ\)
Coordenadas de A:
\(x_A = L_2\cos\theta_2 = 0.2 \cos(135^\circ) = -0.1414 \text{ m}\)
\(y_A = L_2\sin\theta_2 = 0.2 \sin(135^\circ) = 0.1414 \text{ m}\)
\(A = (-0.1414, 0.1414)\)
Coordenadas de C: El ángulo absoluto del vector \(\vec{AC}\) es \(\theta_3 + \delta_3 = 34.18^\circ + 30^\circ = 64.18^\circ\).
\(x_C = x_A + \overline{AC}\cos(\theta_3 + \delta_3) = -0.1414 + 0.4\cos(64.18^\circ) = -0.1414 + 0.1742 = 0.0328 \text{ m}\)
\(y_C = y_A + \overline{AC}\sin(\theta_3 + \delta_3) = 0.1414 + 0.4\sin(64.18^\circ) = 0.1414 + 0.3601 = 0.5015 \text{ m}\)
\(C = (0.0328, 0.5015)\)
3. Resultados Finales Verificados:
\(\theta_3 = 34.18^\circ\)
\(\theta_4 = 106.86^\circ\)
Coordenadas de C: (0.0328, 0.5015) m
Análisis de Velocidad#
En el instante en que \(\theta_2 = 135^{\circ}\), la velocidad angular del eslabón de entrada es \(\vec{\omega}_2 = 2\hat{k}\) rad/s. Calcule la velocidad del punto C y la velocidad angular del eslabón 4.
Datos del análisis de posición: \(\theta_3 = 34.18^{\circ};\, \theta_4 = 106.86^{\circ}\) \(\vec{r}_{O2A} = -0.141\hat{i} + 0.141\hat{j}\) \(\vec{r}_{AB} = 0.496\hat{i} + 0.337\hat{j}\) \(\vec{r}_{O4B} = -0.145\hat{i} + 0.478\hat{j}\) \(\vec{r}_{AC} = 0.174\hat{i} + 0.360\hat{j}\)
Resolución#
Comenzamos encontrando la velocidad del punto A: \(\vec{v}_A = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A} = 2\hat{k} \times (-0.141\hat{i} + 0.141\hat{j}) = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j}\) m/s.
Ahora escribimos la ecuación de velocidad relativa para el punto B: \(\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}\) \(\vec{v}_B = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} + \omega_3\hat{k} \times (0.496\hat{i} + 0.337\hat{j})\) \(\vec{v}_B = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} - 0.337\omega_3\hat{i} + 0.496\omega_3\hat{j}\) \(\vec{v}_B = (-0.282 - 0.337\omega_3)\hat{i} + (-0.282 + 0.496\omega_3)\hat{j}\)
También expresamos \(\vec{v}_B\) desde el eslabón 4: \(\vec{v}_B = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4B} = \omega_4\hat{k} \times (-0.145\hat{i} + 0.478\hat{j})\) \(\vec{v}_B = -0.478\omega_4\hat{i} - 0.145\omega_4\hat{j}\)
Igualando las dos expresiones para \(\vec{v}_B\): \(-0.282 - 0.337\omega_3 = -0.478\omega_4\) \(-0.282 + 0.496\omega_3 = -0.145\omega_4\)
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones para \(\omega_3\) y \(\omega_4\): \(0.478\omega_4 - 0.337\omega_3 = 0.282\) \(0.145\omega_4 + 0.496\omega_3 = 0.282\)
Esto da: \(\omega_3 = 0.328\) rad/s \(\omega_4 = 0.821\) rad/s
Entonces, \(\vec{\omega}_3 = 0.328\hat{k}\) rad/s y \(\vec{\omega}_4 = 0.821\hat{k}\) rad/s.
Finalmente, calculamos la velocidad del punto C: \(\vec{v}_C = \vec{v}_A + \vec{v}_{C/A} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AC}\) \(\vec{v}_C = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} + 0.328\hat{k} \times (0.174\hat{i} + 0.360\hat{j})\) \(\vec{v}_C = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} - 0.118\hat{i} + 0.057\hat{j}\) \(\vec{v}_C = -0.400\hat{i} - 0.225\hat{j}\) m/s.
Diagrama cinemático de Velocidad (Cinema)#
El siguiente modelo de GeoGebra muestra el cinema de velocidad del mecanismo.
Nótese que para calcular la velocidad del punto C, se puede usar el concepto de homología entre el cinema de velocidad y el mecanismo (una rotación de \(90^\circ\) y escalado). De esta manera, es posible encontrar el punto \(c\) en el cinema de velocidad, que define el extremo de un vector que parte de \(O_v\) y que determina la velocidad de C, \(\vec{v}_C\). Este punto se encuentra a una distancia \(\overline{ac}=\frac{\overline{ab}}{\overline{AB}}\overline{AC}\) en el segmento \(ab\), y luego se gira 30 grados en sentido antihorario, como se hizo para obtener el punto C en la construcción del mecanismo.
Análisis de aceleración#
En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 135^{\circ}\) con la horizontal, su velocidad angular es \(\vec{\omega}_2 = 2\hat{k}\) rad/s, y su aceleración es \(\vec{\alpha}_2 = -1.5\hat{k}\) rad/s². Calcule la aceleración del punto C y la aceleración angular del eslabón 4.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 0.2;\, \overline{AB} = 0.6;\, \overline{O_4 B} = 0.5;\, \overline{O_2 O_4} = 0.5;\, \overline{AC} = 0.4\). Ángulos de los eslabones 3 y 4 con la horizontal (del análisis de posición): \(\theta_3 = 34.18^{\circ};\, \theta_4 = 106.86^{\circ}\). Y sus velocidades (del análisis de velocidad): \(\vec{\omega}_3 = 0.328\hat{k}\) rad/s; \(\vec{\omega}_4 = 0.821\hat{k}\) rad/s.
Resolución#
El procedimiento para calcular las aceleraciones del mecanismo es similar al de las velocidades. Empezamos con el punto A ya que tenemos información sobre él. Calculamos \(\vec{a}_A\) a partir de sus componentes normal y tangencial:
\(\vec{a}_A = \vec{a}_A^n + \vec{a}_A^t = \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}) + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O2A}\) \(\vec{a}_A = 2\hat{k} \times (2\hat{k} \times (-0.141\hat{i} + 0.141\hat{j})) - 1.5\hat{k} \times (-0.141\hat{i} + 0.141\hat{j}) = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j}\)
Ahora, analizando el punto B como parte del eslabón 3, tenemos:
\(\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}\)
que, al descomponer, da:
\(\vec{a}_B^n + \vec{a}_B^t = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}^n + \vec{a}_{B/A}^t\)
donde la aceleración de A es conocida, y podemos expresar las componentes de la aceleración relativa a partir de la información disponible:
Para \(\vec{a}_{B/A}^n\), todo es conocido. Por lo tanto: \(\vec{a}_{B/A}^n = \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}) = -0.053\hat{i} - 0.036\hat{j}\)
Para \(\vec{a}_{B/A}^t\), podemos operar y expresarla en términos de la incógnita \(\vec{\alpha}_3\), de la que solo conocemos su dirección: \(\vec{a}_{B/A}^t = \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AB} = \alpha_3\hat{k} \times (0.496\hat{i} + 0.337\hat{j}) = -0.337\alpha_3\hat{i} + 0.496\alpha_3\hat{j}\)
Por otro lado, si consideramos el punto B como parte del eslabón 4, tenemos:
Para \(\vec{a}_B^n\), de la que conocemos todo: \(\vec{a}_B^n = \vec{\omega}_4 \times (\vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4B}) = 0.098\hat{i} - 0.324\hat{j}\)
Para \(\vec{a}_B^t\), de la que no conocemos \(\vec{\alpha}_4\): \(\vec{a}_B^t = \vec{\alpha}_4 \times \vec{r}_{O4B} = \alpha_4\hat{k} \times (-0.145\hat{i} + 0.478\hat{j}) = -0.478\alpha_4\hat{i} - 0.145\alpha_4\hat{j}\)
Finalmente, si igualamos ambas expresiones, tenemos:
\(0.098\hat{i} - 0.324\hat{j} - 0.478\alpha_4\hat{i} - 0.145\alpha_4\hat{j} = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j} - 0.053\hat{i} - 0.036\hat{j} - 0.337\alpha_3\hat{i} + 0.496\alpha_3\hat{j}\)
De donde es posible obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, \(\alpha_3\) y \(\alpha_4\), una vez que descomponemos en \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\):
\(0.098 - 0.478\alpha_4 = 0.777 - 0.053 - 0.337\alpha_3\) \(-0.324 - 0.145\alpha_4 = -0.353 - 0.036 + 0.496\alpha_3\)
cuya solución nos da:
\(\alpha_3 = 0.427\) \(\alpha_4 = -1.007\)
que, conociendo la dirección, podemos expresar en forma vectorial:
\(\vec{\alpha}_3 = 0.427\hat{k}\) rad/s²; \(\vec{\alpha}_4 = -1.007\hat{k}\) rad/s²
Finalmente, para calcular la aceleración del punto C, aplicamos aceleraciones relativas entre C y A:
\(\vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{a}_{C/A}^n + \vec{a}_{C/A}^t = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j} + \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AC}) + \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AC}\) \(\vec{a}_C = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j} + 0.328\hat{k} \times (0.328\hat{k} \times (0.174\hat{i} + 0.360\hat{j})) + 0.427\hat{k} \times (0.174\hat{i} + 0.360\hat{j}) = 0.605\hat{i} - 0.318\hat{j}\) m/s²
Cinema de Aceleración#
El siguiente modelo de GeoGebra muestra el cinema de aceleración del mecanismo.
Nótese que para calcular la aceleración del punto C, se puede usar el concepto de homología entre el cinema de aceleración y el mecanismo (una rotación de \(180^\circ\) y escalado). De esta manera, es posible encontrar el punto \(c'\) en el cinema de aceleración, que define el extremo de un vector que parte de \(O_a\) y que determina la aceleración de C, \(\vec{a}_C\). Este punto se encuentra a una distancia \(\overline{a'c'}=\frac{\overline{a'b'}}{\overline{AB}}\overline{AC}\) en el segmento \(a'b'\), y luego se gira 30 grados en sentido antihorario, como se hizo para obtener el punto C en la construcción del mecanismo.