## Ejemplo 2.1 Análisis cinemático de un Mecanismo de Cuatro Barras
### Análisis de Posición
La figura muestra un mecanismo de 4 barras. En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 135^{\circ}$ con la horizontal, calcule las coordenadas del punto C y los ángulos que los eslabones 3 y 4 forman con la horizontal, $\theta_3$ y $\theta_4$.
#### Datos del Mecanismo
Longitudes de los eslabones, en metros:
* $\overline{O_2A} = 0.2$
* $\overline{AB} = 0.6$
* $\overline{O_4B} = 0.5$
* $\overline{O_2O_4} = 0.5$
* $\overline{AC} = 0.4$
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### Análisis de posición por el método gráfico
El objetivo es construir la configuración del mecanismo a escala para el instante $\theta_2 = 135^\circ$ y medir las coordenadas y ángulos solicitados.
#### Datos de Construcción:
* **Eslabón 1 (Bastidor):** $L_1 = \overline{O_2O_4} = 0.5 \text{ m}$
* **Eslabón 2 (Manivela):** $L_2 = \overline{O_2A} = 0.2 \text{ m}$
* **Eslabón 3 (Acoplador):** $L_3 = \overline{AB} = 0.6 \text{ m}$
* **Eslabón 4 (Balancín):** $L_4 = \overline{O_4B} = 0.5 \text{ m}$
* **Punto de Interés C:** Situado en el acoplador, con $\overline{AC} = 0.4 \text{ m}$ y un ángulo fijo de $30^\circ$ en sentido antihorario con respecto al segmento AB.
#### Procedimiento de Construcción:
1. **Establecer el bastidor (Eslabón 1)**
* Se define un sistema de coordenadas global. El pivote fijo $O_2$ se sitúa en el origen (0,0).
* El segundo pivote fijo $O_4$ se sitúa en (0.5, 0), estableciendo la longitud y posición del eslabón fijo.
2. **Posicionar la manivela (Eslabón 2)**
* Desde $O_2$, se dibuja el eslabón 2 con su longitud $L_2 = 0.2 \text{ m}$ y el ángulo de entrada $\theta_2 = 135^\circ$. El extremo de este vector es la posición de la junta A.
* Las coordenadas de A se pueden calcular directamente para verificación: $A = (L_2 \cos\theta_2, L_2 \sin\theta_2)$.
3. **Localizar la junta B (Cierre del lazo)**
* **Restricción del Acoplador:** El punto B debe estar a una distancia $L_3 = 0.6 \text{ m}$ de A. Geométricamente, esto es una circunferencia con centro A y radio 0.6.
* **Restricción del Balancín:** El punto B también debe estar a una distancia $L_4 = 0.5 \text{ m}$ de $O_4$. Geométricamente, esto es una circunferencia con centro $O_4$ y radio 0.5.
4. **Resolver la ambigüedad de configuración**
* La intersección de las dos circunferencias del paso anterior da dos posibles soluciones para el punto B. Estas dos soluciones definen las dos configuraciones (o ramas) del mecanismo:
* **Configuración Abierta:** Generalmente la que tiene el ángulo $\angle O_4BA$ más grande (el "codo" hacia afuera).
* **Configuración Cruzada:** La que tiene el ángulo $\angle O_4BA$ más pequeño (el "codo" hacia adentro).
* Se elige la solución superior para B, que corresponde a la configuración abierta.
5. **Localizar el punto de interés C**
* El punto C forma un triángulo rígido ABC con el eslabón acoplador.
* Se dibuja el segmento AB, que define la orientación del acoplador.
* Se construye el vector $\vec{AC}$ con una magnitud de 0.4 m, girado $30^\circ$ en sentido antihorario con respecto a la dirección del vector $\vec{AB}$. El extremo de este vector es el punto C.
6. **Medición de resultados**
* Con el mecanismo completamente dibujado, las cantidades deseadas se miden directamente desde el software gráfico:
* Coordenadas del punto C: $(x_C, y_C)$.
* Ángulo del acoplador, $\theta_3$: El ángulo del segmento AB con la horizontal.
* Ángulo del balancín, $\theta_4$: El ángulo del segmento $O_4B$ con la horizontal.
El siguiente [modelo de GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/uanxyfzm) muestra el resultado de realizar este proceso:
### Análisis de posición por el método analítico
El objetivo es encontrar expresiones para las incógnitas ($\theta_3$, $\theta_4$, y las coordenadas de C) en función de los parámetros conocidos.
#### Formulación del Lazo Vectorial
Modelamos el mecanismo como una cadena cerrada de vectores de posición. Partiendo de $O_2$ y volviendo a $O_2$, la suma de los vectores debe ser cero.
$ \vec{L}_2 + \vec{L}_3 - \vec{L}_4 - \vec{L}_1 = 0 $
Reordenamos la ecuación para aislar los vectores con las incógnitas:
$ \vec{L}_2 + \vec{L}_3 = \vec{L}_1 + \vec{L}_4 $
Ahora, descomponemos esta ecuación vectorial en sus componentes escalares (x e y):
* **Componente x (real):**
$ L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 = L_1 + L_4\cos\theta_4 \quad (\text{Ecuación 1}) $
* **Componente y (imaginaria):**
$ L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 = L_4\sin\theta_4 \quad (\text{Ecuación 2}) $
Tenemos un sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas, $\theta_3$ y $\theta_4$.
#### Resolviendo para $\theta_3$ y $\theta_4$
Una forma de resolver el sistema es usando la **Ecuación de Freudenstein**, que relaciona los ángulos de entrada y salida:
$ K_1\cos\theta_3 + K_2\cos\theta_2 + K_3 = \cos(\theta_2 - \theta_3) $
Donde las constantes $K_1, K_2, K_3$ dependen solo de las longitudes de los eslabones:
* $K_1 = L_1 / L_2$
* $K_2 = L_1 / L_4$
* $K_3 = (L_2^2 - L_3^2 + L_4^2 + L_1^2) / (2L_2L_4)$
Resolver el sistema para $\theta_3$ y $\theta_4$ lleva a una ecuación de la forma $A\cos\theta_3 + B\sin\theta_3 = C$, que tiene soluciones estándar. Las soluciones finales son:
$ \theta_4 = 2 \arctan\left(\frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}\right) $
$ \theta_3 = \arctan\left(\frac{L_4\sin\theta_4 - L_2\sin\theta_2}{L_1 + L_4\cos\theta_4 - L_2\cos\theta_2}\right) $
Donde:
* $A = \cos\theta_2 - K_1 - K_2\cos\theta_2 + K_3$
* $B = -2\sin\theta_2$
* $C = K_1 - (K_2+1)\cos\theta_2 + K_3$
El signo $\pm$ en la raíz cuadrada nos da las dos soluciones correspondientes a las configuraciones abierta y cruzada.
#### Cálculo de las Coordenadas del Punto C
Una vez que se calculan $\theta_3$ y $\theta_4$:
1. **Coordenadas de A:**
* $x_A = L_2\cos\theta_2$
* $y_A = L_2\sin\theta_2$
2. **Coordenadas de C:**
El punto C está en el eslabón 3. Su posición está definida por el vector $\vec{R}_C = \vec{R}_A + \vec{R}_{AC}$. El vector $\vec{R}_{AC}$ tiene una magnitud constante de 0.4 m y un ángulo que es el ángulo del eslabón 3 ($\theta_3$) más el ángulo fijo de $30^\circ$ ($\delta_3$).
* $x_C = x_A + \overline{AC}\cos(\theta_3 + \delta_3)$
* $y_C = y_A + \overline{AC}\sin(\theta_3 + \delta_3)$
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A continuación, se realiza el cálculo numérico detallado. Como ya es sabido, el sistema tiene **dos soluciones matemáticas**, que corresponden a dos montajes físicos diferentes del mecanismo.
**1. Las Dos Configuraciones Posibles:**
Al resolver las ecuaciones del lazo vectorial, se encuentran dos soluciones válidas:
* **Solución 1: Configuración Abierta**
* Esta es la configuración que se muestra en la figura, donde el polígono $O_2ABO_4$ es convexo y los eslabones no se cruzan.
* Los ángulos son: $\mathbf{\theta_3 \approx 34.18^\circ}$ y $\mathbf{\theta_4 \approx 106.86^\circ}$.
* **Esta es la solución correcta que coincide con GeoGebra.**
* **Solución 2: Configuración Cruzada**
* En esta configuración, el eslabón acoplador (AB) cruzaría el bastidor ($O_2O_4$).
* Los ángulos son: $\theta_3 \approx -59.04^\circ$ y $\theta_4 \approx 228.21^\circ$.
* Esta solución, aunque matemáticamente válida, no corresponde a la figura del problema.
**2. Cálculo de Coordenadas para la Configuración Abierta:**
Usamos los ángulos de la configuración correcta (la abierta) para los cálculos.
* **Datos Iniciales:**
* Longitudes: $L_1=0.5, L_2=0.2, L_3=0.6, L_4=0.5, \overline{AC}=0.4$
* Ángulos: $\theta_2 = 135^\circ$, $\delta_3 = 30^\circ$
* **Coordenadas de A:**
* $x_A = L_2\cos\theta_2 = 0.2 \cos(135^\circ) = -0.1414 \text{ m}$
* $y_A = L_2\sin\theta_2 = 0.2 \sin(135^\circ) = 0.1414 \text{ m}$
* $A = (-0.1414, 0.1414)$
* **Coordenadas de C:**
El ángulo absoluto del vector $\vec{AC}$ es $\theta_3 + \delta_3 = 34.18^\circ + 30^\circ = 64.18^\circ$.
* $x_C = x_A + \overline{AC}\cos(\theta_3 + \delta_3) = -0.1414 + 0.4\cos(64.18^\circ) = -0.1414 + 0.1742 = 0.0328 \text{ m}$
* $y_C = y_A + \overline{AC}\sin(\theta_3 + \delta_3) = 0.1414 + 0.4\sin(64.18^\circ) = 0.1414 + 0.3601 = 0.5015 \text{ m}$
* $C = (0.0328, 0.5015)$
**3. Resultados Finales Verificados:**
* $\theta_3 = 34.18^\circ$
* $\theta_4 = 106.86^\circ$
* Coordenadas de C: **(0.0328, 0.5015) m**
### Análisis de Velocidad
En el instante en que $\theta_2 = 135^{\circ}$, la velocidad angular del eslabón de entrada es $\vec{\omega}_2 = 2\hat{k}$ rad/s. Calcule la velocidad del punto C y la velocidad angular del eslabón 4.
Datos del análisis de posición:
$\theta_3 = 34.18^{\circ};\, \theta_4 = 106.86^{\circ}$
$\vec{r}_{O2A} = -0.141\hat{i} + 0.141\hat{j}$
$\vec{r}_{AB} = 0.496\hat{i} + 0.337\hat{j}$
$\vec{r}_{O4B} = -0.145\hat{i} + 0.478\hat{j}$
$\vec{r}_{AC} = 0.174\hat{i} + 0.360\hat{j}$
#### Resolución
Comenzamos encontrando la velocidad del punto A:
$\vec{v}_A = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A} = 2\hat{k} \times (-0.141\hat{i} + 0.141\hat{j}) = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j}$ m/s.
Ahora escribimos la ecuación de velocidad relativa para el punto B:
$\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}$
$\vec{v}_B = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} + \omega_3\hat{k} \times (0.496\hat{i} + 0.337\hat{j})$
$\vec{v}_B = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} - 0.337\omega_3\hat{i} + 0.496\omega_3\hat{j}$
$\vec{v}_B = (-0.282 - 0.337\omega_3)\hat{i} + (-0.282 + 0.496\omega_3)\hat{j}$
También expresamos $\vec{v}_B$ desde el eslabón 4:
$\vec{v}_B = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4B} = \omega_4\hat{k} \times (-0.145\hat{i} + 0.478\hat{j})$
$\vec{v}_B = -0.478\omega_4\hat{i} - 0.145\omega_4\hat{j}$
Igualando las dos expresiones para $\vec{v}_B$:
$-0.282 - 0.337\omega_3 = -0.478\omega_4$
$-0.282 + 0.496\omega_3 = -0.145\omega_4$
Resolviendo el sistema de dos ecuaciones para $\omega_3$ y $\omega_4$:
$0.478\omega_4 - 0.337\omega_3 = 0.282$
$0.145\omega_4 + 0.496\omega_3 = 0.282$
Esto da:
$\omega_3 = 0.328$ rad/s
$\omega_4 = 0.821$ rad/s
Entonces, $\vec{\omega}_3 = 0.328\hat{k}$ rad/s y $\vec{\omega}_4 = 0.821\hat{k}$ rad/s.
Finalmente, calculamos la velocidad del punto C:
$\vec{v}_C = \vec{v}_A + \vec{v}_{C/A} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AC}$
$\vec{v}_C = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} + 0.328\hat{k} \times (0.174\hat{i} + 0.360\hat{j})$
$\vec{v}_C = -0.282\hat{i} - 0.282\hat{j} - 0.118\hat{i} + 0.057\hat{j}$
$\vec{v}_C = -0.400\hat{i} - 0.225\hat{j}$ m/s.
#### Diagrama cinemático de Velocidad (Cinema)
El siguiente [modelo de GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/ywwbfzvd) muestra el cinema de velocidad del mecanismo.
Nótese que para calcular la velocidad del punto C, se puede usar el concepto de homología entre el cinema de velocidad y el mecanismo (una rotación de $90^\circ$ y escalado). De esta manera, es posible encontrar el punto $c$ en el cinema de velocidad, que define el extremo de un vector que parte de $O_v$ y que determina la velocidad de C, $\vec{v}_C$. Este punto se encuentra a una distancia $\overline{ac}=\frac{\overline{ab}}{\overline{AB}}\overline{AC}$ en el segmento $ab$, y luego se gira 30 grados en sentido antihorario, como se hizo para obtener el punto C en la construcción del mecanismo.
### Análisis de aceleración
En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 135^{\circ}$ con la horizontal, su velocidad angular es $\vec{\omega}_2 = 2\hat{k}$ rad/s, y su aceleración es $\vec{\alpha}_2 = -1.5\hat{k}$ rad/s². Calcule la aceleración del punto C y la aceleración angular del eslabón 4.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 0.2;\, \overline{AB} = 0.6;\, \overline{O_4 B} = 0.5;\, \overline{O_2 O_4} = 0.5;\, \overline{AC} = 0.4$.
Ángulos de los eslabones 3 y 4 con la horizontal (del análisis de posición): $\theta_3 = 34.18^{\circ};\, \theta_4 = 106.86^{\circ}$.
Y sus velocidades (del análisis de velocidad): $\vec{\omega}_3 = 0.328\hat{k}$ rad/s; $\vec{\omega}_4 = 0.821\hat{k}$ rad/s.
#### Resolución
El procedimiento para calcular las aceleraciones del mecanismo es similar al de las velocidades. Empezamos con el punto A ya que tenemos información sobre él. Calculamos $\vec{a}_A$ a partir de sus componentes normal y tangencial:
$\vec{a}_A = \vec{a}_A^n + \vec{a}_A^t = \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}) + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O2A}$
$\vec{a}_A = 2\hat{k} \times (2\hat{k} \times (-0.141\hat{i} + 0.141\hat{j})) - 1.5\hat{k} \times (-0.141\hat{i} + 0.141\hat{j}) = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j}$
Ahora, analizando el punto B como parte del eslabón 3, tenemos:
$\vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}$
que, al descomponer, da:
$\vec{a}_B^n + \vec{a}_B^t = \vec{a}_A + \vec{a}_{B/A}^n + \vec{a}_{B/A}^t$
donde la aceleración de A es conocida, y podemos expresar las componentes de la aceleración relativa a partir de la información disponible:
- Para $\vec{a}_{B/A}^n$, todo es conocido. Por lo tanto:
$\vec{a}_{B/A}^n = \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}) = -0.053\hat{i} - 0.036\hat{j}$
- Para $\vec{a}_{B/A}^t$, podemos operar y expresarla en términos de la incógnita $\vec{\alpha}_3$, de la que solo conocemos su dirección:
$\vec{a}_{B/A}^t = \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AB} = \alpha_3\hat{k} \times (0.496\hat{i} + 0.337\hat{j}) = -0.337\alpha_3\hat{i} + 0.496\alpha_3\hat{j}$
Por otro lado, si consideramos el punto B como parte del eslabón 4, tenemos:
- Para $\vec{a}_B^n$, de la que conocemos todo:
$\vec{a}_B^n = \vec{\omega}_4 \times (\vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4B}) = 0.098\hat{i} - 0.324\hat{j}$
- Para $\vec{a}_B^t$, de la que no conocemos $\vec{\alpha}_4$:
$\vec{a}_B^t = \vec{\alpha}_4 \times \vec{r}_{O4B} = \alpha_4\hat{k} \times (-0.145\hat{i} + 0.478\hat{j}) = -0.478\alpha_4\hat{i} - 0.145\alpha_4\hat{j}$
Finalmente, si igualamos ambas expresiones, tenemos:
$0.098\hat{i} - 0.324\hat{j} - 0.478\alpha_4\hat{i} - 0.145\alpha_4\hat{j} = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j} - 0.053\hat{i} - 0.036\hat{j} - 0.337\alpha_3\hat{i} + 0.496\alpha_3\hat{j}$
De donde es posible obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, $\alpha_3$ y $\alpha_4$, una vez que descomponemos en $\hat{i}$ y $\hat{j}$:
$0.098 - 0.478\alpha_4 = 0.777 - 0.053 - 0.337\alpha_3$
$-0.324 - 0.145\alpha_4 = -0.353 - 0.036 + 0.496\alpha_3$
cuya solución nos da:
$\alpha_3 = 0.427$
$\alpha_4 = -1.007$
que, conociendo la dirección, podemos expresar en forma vectorial:
$\vec{\alpha}_3 = 0.427\hat{k}$ rad/s²; $\vec{\alpha}_4 = -1.007\hat{k}$ rad/s²
Finalmente, para calcular la aceleración del punto C, aplicamos aceleraciones relativas entre C y A:
$\vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{a}_{C/A}^n + \vec{a}_{C/A}^t = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j} + \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AC}) + \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AC}$
$\vec{a}_C = 0.777\hat{i} - 0.353\hat{j} + 0.328\hat{k} \times (0.328\hat{k} \times (0.174\hat{i} + 0.360\hat{j})) + 0.427\hat{k} \times (0.174\hat{i} + 0.360\hat{j}) = 0.605\hat{i} - 0.318\hat{j}$ m/s²
#### Cinema de Aceleración
El siguiente [modelo de GeoGebra](https://www.geogebra.org/m/hjxskv9p) muestra el cinema de aceleración del mecanismo.
Nótese que para calcular la aceleración del punto C, se puede usar el concepto de homología entre el cinema de aceleración y el mecanismo (una rotación de $180^\circ$ y escalado). De esta manera, es posible encontrar el punto $c'$ en el cinema de aceleración, que define el extremo de un vector que parte de $O_a$ y que determina la aceleración de C, $\vec{a}_C$. Este punto se encuentra a una distancia $\overline{a'c'}=\frac{\overline{a'b'}}{\overline{AB}}\overline{AC}$ en el segmento $a'b'$, y luego se gira 30 grados en sentido antihorario, como se hizo para obtener el punto C en la construcción del mecanismo.