Tema 4: Conceptos básicos de trabajo y energía aplicados a mecanismos#
Introducción: El Enfoque Energético#
En los temas anteriores, hemos analizado la dinámica de mecanismos usando el Principio de D’Alembert. Ese método se basa en el equilibrio de vectores de fuerza y pares, lo cual, aunque completo, puede ser computacionalmente costoso y complejo.
Introducimos ahora un enfoque alternativo y muy potente: el método del trabajo y la energía. Este método se basa en cantidades escalares (Trabajo, Energía, Potencia) y es la herramienta fundamental para:
Relacionar fuerzas, velocidades y desplazamientos de forma directa.
Analizar la eficiencia de una máquina.
Dimensionar y seleccionar actuadores (motores), ya que su característica principal es la potencia que pueden entregar.
Objetivos de aprendizaje:#
Al finalizar este tema, serás capaz de:
Aplicar el balance energético para analizar el comportamiento de mecanismos.
Calcular la ventaja mecánica y identificar puntos muertos en mecanismos.
Cuantificar las pérdidas por resistencias pasivas (fricción en pares, rodadura).
Determinar el rendimiento de un mecanismo y dimensionar el actuador necesario.
Ejemplo aplicado a un automóvil:
Como ilustra este diagrama, el balance energético es el concepto clave de este tema. La “Energía Suministrada” (generalmente por un motor) no se convierte íntegramente en “Energía Útil” (la tarea que queremos realizar). En un sistema real, esta energía de entrada debe:
Realizar el trabajo útil.
Vencer las “Resistencias Pasivas” (fricción), que se disipa como calor.
Variar la “Energía Mecánica” (cinética y potencial) del propio mecanismo.
A lo largo del tema aprenderemos a cuantificar cada una de estas partes mediante herramientas escalares que simplifican significativamente el análisis respecto a los métodos vectoriales.
Conceptos Fundamentales#
1. Trabajo de una Fuerza y un Par#
El trabajo es la medida de la transferencia de energía debida a la acción de una fuerza o un par a lo largo de un desplazamiento.
Trabajo de una Fuerza (\(\vec{F}\)): Es el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento de su punto de aplicación. \(W_{12} = \int_{1}^{2} \vec{F} \cdot d\vec{r}\)
Trabajo de un Par (\(\vec{M}\)): Es el producto escalar del par por el desplazamiento angular del sólido. \(W_{12} = \int_{1}^{2} \vec{M} \cdot d\vec{\theta}\)
Si la fuerza (o par) es constante, \(W = \vec{F} \cdot \Delta\vec{r}\) (o \(W = M \cdot \Delta\theta\) para pares).
Esta imagen nos complementa la definición formal de trabajo. Es fundamental entender que el trabajo es la integral del producto escalar, lo que significa que solo la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento (\(\vec{F} \cdot d\vec{s}\)) o el par en la dirección del giro (\(T \cdot d\theta\)) realiza trabajo. Si una fuerza es perpendicular al desplazamiento, su trabajo es nulo.
2. Potencia (\(P\))#
La potencia es la velocidad a la que se realiza trabajo; es decir, la tasa de transferencia de energía.
Potencia de una Fuerza: \(P = \frac{dW}{dt} = \vec{F} \cdot \vec{v}\)
Potencia de un Par: \(P = \frac{dW}{dt} = \vec{M} \cdot \vec{\omega}\)
En ingeniería, la potencia es el dato clave de un motor. Un motor no da “fuerza”, da potencia (un par a una cierta velocidad). Las relaciones \(P = \vec{F} \cdot \vec{v}\) (producto escalar de la fuerza por la velocidad) y \(P = \vec{M} \cdot \vec{\omega}\) (producto escalar del par por la velocidad angular) son fundamentales y las usaremos constantemente para el dimensionamiento de actuadores.
3. Energía Cinética (\(E_c\))#
Es la energía asociada al movimiento de un cuerpo. Para un sólido rígido en el plano (nuestro caso de estudio), se descompone en:
Energía Cinética de Traslación: La de su Centro de Gravedad (CdG).
Energía Cinética de Rotación: Alrededor de su CdG.
\(E_c = E_{c,traslación} + E_{c,rotación} = \frac{1}{2} m v_G^2 + \frac{1}{2} I_G \omega^2\)
La energía cinética total de un mecanismo es la suma de las energías cinéticas de todos sus eslabones móviles. La energía cinética de un sólido rígido es la suma de la energía de traslación (\(E_{c, traslación}\)) y la de rotación (\(E_{c, rotación}\)). Es fundamental que esta fórmula utiliza la velocidad del centro de gravedad (\(\vec{v}_G\)) y la inercia respecto a ese mismo centro de gravedad (\(I_G\)).
4. Energía Potencial (\(E_p\))#
Es la energía almacenada en un sistema debido a su posición o configuración. Nos interesan dos tipos:
Gravitatoria: \(E_p = mgh\) (debida a la altura \(h\) del CdG).
Elástica (Muelles): \(E_p = \frac{1}{2} k (L - L_0)^2\) (donde \(k\) es la constante del muelle y \(L_0\) su longitud libre).
Teorema de la Energía Cinética (Teorema de las Fuerzas Vivas)#
Este es el pilar del análisis energético. Establece que el trabajo total realizado por TODAS las fuerzas (externas e internas) que actúan sobre un sistema, es igual a la variación de su energía cinética total.
\(\Delta E_c = W_{\text{total}}\) \(E_{c,2} - E_{c,1} = W_{1 \to 2}\)
Podemos descomponer el trabajo total (\(W_{\text{total}}\)) en:
\(W_{\text{motoras}}\): Trabajo (positivo) realizado por los actuadores.
\(W_{\text{resistentes}}\): Trabajo (negativo) realizado por las cargas útiles.
\(W_{\text{conservativas}}\): Trabajo de fuerzas conservativas (peso, muelles). Este trabajo se puede expresar como una variación de Energía Potencial: \(W_{\text{conservativas}} = -\Delta E_p\).
\(W_{\text{pasivas}}\): Trabajo (negativo) disipado por fricción (resistencias pasivas).
Reordenando, obtenemos el Balance General de Energía, la ecuación fundamental de este tema:
\(W_{\text{motoras}} + W_{\text{resistentes}} + W_{\text{pasivas}} = \Delta E_c + \Delta E_p\)
Esta ecuación establece que el trabajo neto realizado sobre un sistema debe igualar el cambio en su energía mecánica total.
Ventaja Mecánica#
4.1. Ventaja Mecánica Ideal (VMI) y el Principio de los Trabajos Virtuales#
Principio de los Trabajos Virtuales (PVT)#
Para un sistema en equilibrio quasiestático (velocidad constante o cero, por lo tanto \(\Delta E_c = 0\)), el trabajo virtual (\(\delta W\)) de todas las fuerzas y pares para un desplazamiento virtual (\(\delta\vec{r}\) o \(\delta\vec{\theta}\)) es cero:
\(\delta W = \sum (\vec{F} \cdot \delta\vec{r}) + \sum (\vec{M} \cdot \delta\vec{\theta}) = 0\)
Este principio es muy potente porque nos permite relacionar las fuerzas de entrada (motoras) con las de salida (resistentes) sin necesidad de calcular las reacciones internas en las juntas.
Definición de Ventaja Mecánica Ideal#
La Ventaja Mecánica es un concepto clave en el diseño, que nos indica cuánto “amplifica” un mecanismo la fuerza (o par) de entrada. Se define como:
\(VM = \frac{\text{Fuerza de Salida (Carga)}}{\text{Fuerza de Entrada (Actuador)}}\)
Usando el PVT en un mecanismo ideal (sin fricción), el trabajo virtual de entrada es igual al trabajo virtual de salida, por lo que la VMI es la relación de velocidades:
\(VMI = \frac{F_{\text{out}}}{F_{\text{in}}} = \frac{v_{\text{in}}}{v_{\text{out}}}\)
Como vemos en la imagen de la palanca, este es el principio fundamental: si queremos amplificar la fuerza (\(F_{out} > F_{in}\)), debemos aceptar un recorrido de salida menor (o una velocidad de salida menor). Es un intercambio de fuerza por velocidad.
4.2. Ventaja Mecánica Variable y Puntos Muertos#
La Ventaja Mecánica (VM) se define como la relación entre el par de salida y el par de entrada (\(VM = M_{\text{salida}} / M_{\text{entrada}}\)). En un mecanismo de cuatro barras, esta VM no es constante, sino que varía con cada posición del mecanismo.
Como se deduce del polígono de velocidades, la VM depende directamente de los senos de los ángulos \(\beta\) y \(\gamma\) definidos en la figura.
(Figura a) Caso General: La ventaja mecánica es directamente proporcional al seno de \(\gamma\) (nuestro ángulo de transmisión \(\mu\)) e inversamente proporcional al seno de \(\beta\):
\(VM = \frac{M_{\text{salida}}}{M_{\text{entrada}}} = \frac{\omega_{\text{entrada}}}{\omega_{\text{salida}}} = \left(\frac{l_4}{l_2}\right) \frac{\sin(\gamma)}{\sin(\beta)}\)
(Figuras b y c) Posición de Bloqueo (VM \(\to \infty\)): En las figuras (b) y ©, los eslabones de entrada (2) y acoplador (3) se alinean.
En la Fig. (b), el ángulo \(\beta = 0^\circ\).
En la Fig. ©, el ángulo \(\beta = 180^\circ\).
En ambos casos, \(\sin(\beta) = 0\). Dado que \(\sin(\beta)\) está en el denominador, la Ventaja Mecánica se vuelve teóricamente infinita (\(VM \to \infty\)). Esto se conoce como posición de bloqueo (toggle position). Con un par de entrada pequeño en el eslabón 2, se puede vencer un par resistente en el eslabón 4 sin importar cuán grande sea (idealmente).
(Figuras b y c) Punto Muerto (VM \(\to 0\)): Es crucial entender qué ocurre si invertimos la entrada y la salida en esas mismas posiciones. Si el eslabón 4 es la entrada y el 2 la salida, la nueva ventaja mecánica \(VM_{nueva}\) es la inversa:
\(VM_{nueva} \propto \frac{\sin(\beta)}{\sin(\gamma)}\)
En las posiciones (b ) y (c ), \(\sin(\beta) = 0\), por lo que la \(VM_{nueva} = 0\). El mecanismo no puede transmitir par desde el eslabón 4 hacia el 2. Esta es una configuración de punto muerto para el eslabón 4.
(Figura d) Ángulo de Transmisión Pobre (VM \(\to 0\)): Finalmente, la figura (d) muestra una posición donde el ángulo de transmisión \(\gamma\) (nuestro \(\mu\)) es muy pequeño. Como \(VM \propto \sin(\gamma)\), si \(\gamma \to 0\), entonces la Ventaja Mecánica tiende a cero (\(VM \to 0\)). El mecanismo es muy ineficiente para transmitir el par en esta posición.
En resumen:
Los Puntos Muertos son posiciones donde dos eslabones se alinean.
Dependiendo de cuál sea la entrada, esta alineación puede resultar en una Posición de Bloqueo (\(VM \to \infty\)) o en un Punto Muerto (\(VM \to 0\)).
Para un buen diseño de transmisión continua, se debe evitar que el ángulo de transmisión \(\gamma\) (o \(\mu\)) sea pequeño (generalmente \(\mu > 40^\circ\)).
Ejemplo de Aplicación: Posición de Bloqueo (Trituradora)#
Aquí se muestra un ejemplo de aplicación de la posición de bloqueo:
El mecanismo de la trituradora de la imagen es un ejemplo perfecto del uso de la posición de bloqueo. El diseño está optimizado para que, en el momento de máximo esfuerzo (cuando la mordaza 5 aplasta el material), los eslabones 3 y 4 estén casi alineados.
Esta configuración se corresponde con la Figura © de la sección anterior, donde \(\beta \to 180^\circ\). En esta posición, \(\sin(\beta) \to 0\).
Dado que la Ventaja Mecánica es \(VM \propto 1/\sin(\beta)\), la \(VM\) tiende a infinito. Esto permite que el par motor, aplicado en el eslabón 2, genere una fuerza de trituración inmensa en el eslabón 5, superando la alta resistencia del material con un actuador de potencia moderada.
Resistencias Pasivas#
En un mecanismo real, no todo el trabajo de entrada se convierte en trabajo útil. Una parte se disipa en forma de calor debido a la fricción. Este es el trabajo pasivo (\(W_{\text{pasivas}}\)), y es el foco de nuestro estudio en este tema.
1. Fricción en Pares de Revolución (Juntas)#
El rozamiento en un cojinete (par de revolución) genera un par de rozamiento \(\vec{M}_f\) que se opone al movimiento relativo \(\vec{\omega}_{\text{rel}}\).
La figura ilustra el modelo del círculo de rozamiento:
Caso Ideal (sin fricción): La fuerza de reacción \(R\) que el cojinete ejerce sobre el eje pasaría por el centro.
Caso Real (con fricción): Cuando el eje rota (en este caso, \(\omega\) horaria), “trepa” por el cojinete. La reacción total \(R\) se desvía un ángulo \(\phi\) (ángulo de rozamiento) y pasa a ser tangente a un pequeño círculo, llamado círculo de rozamiento.
El radio de este círculo es \(r_f = r \cdot \sin \phi\), donde \(r\) es el radio del eje.
Esta fuerza \(R\) descentrada genera el par de rozamiento \(M_f = R \cdot r_f\) que se opone al movimiento.
2. Fricción en Pares Prismáticos (Deslizamiento)#
El rozamiento en una guía (par prismático) genera una fuerza de rozamiento \(\vec{F}_f\) opuesta a la velocidad relativa \(\vec{v}_{\text{rel}}\).
Como ilustra la figura, el modelo es el de la ley de Coulomb:
Un cuerpo (patín) se mueve con velocidad \(v\) sobre una guía.
La fuerza normal \(N\) (que equilibra el peso \(P\)) provoca una fuerza de rozamiento \(F_f\) que se opone al movimiento.
El valor de esta fuerza es \(F_f = \mu \cdot N\), donde \(\mu\) es el coeficiente de rozamiento (cinético).
La potencia disipada es \(P_f = F_f \cdot v\).
3. Resistencia a la Rodadura#
El último tipo de resistencia pasiva que estudiaremos es la resistencia a la rodadura. Es fundamental entender que este fenómeno no es un rozamiento por deslizamiento, sino una disipación de energía que ocurre por la deformación de los cuerpos en contacto (la rueda y/o el pavimento).
Para entender su origen, comparamos el modelo ideal (sin deformación) con el modelo real (con deformación).
Figura 2. Rodadura de un cilindro indeformable sobre un pavimento indeformable.#
Descripción: Este es el modelo físico idealizado (“Rígido sobre Rígido”). Nada se deforma.
Reacciones: La reacción del suelo ocurre en un único punto. La fuerza normal (\(\vec{N}\)) es perfectamente vertical y está alineada con el peso (\(\vec{P}\)), por lo que \(\vec{N} = -\vec{P}\).
Consecuencia: La normal \(\vec{N}\) no tiene brazo de palanca respecto al centro de la rueda. No existe par de resistencia a la rodadura.
Figura 3. Rodadura de un cilindro deformable sobre un pavimento indeformable.#
Descripción: Este es el modelo real. Ocurre cuando al menos uno de los cuerpos se deforma (la imagen lo ilustra como “Rígido sobre Deformable”, donde el pavimento se hunde).
Reacciones: Debido a la deformación, la reacción del suelo ya no es un solo punto. La resultante de las presiones verticales (\(\vec{N}\)) se desplaza hacia adelante una distancia \(b\).
El Par Resistente: Esta fuerza \(\vec{N}\) (que sigue equilibrando el peso \(\vec{P}\)) ahora tiene un brazo de palanca \(b\) respecto al centro de la rueda. Esto crea el Par de Resistencia a la Rodadura (\(\vec{M}_{rr}\)): \(M_{rr} = N \cdot b = P \cdot b\)
El Coeficiente (\(b\)): Esta distancia \(b\) es el coeficiente de resistencia a la rodadura (y tiene unidades de metros).
Fuerza de Resistencia: Para que la rueda avance a velocidad constante, se debe aplicar una fuerza de tracción \(\vec{F}_{rr}\) que venza este par: \(\vec{F}_{rr} = \frac{\vec{M}_{rr}}{r} = \frac{P \cdot b}{r}\)
Rendimiento (\(\eta\)) y Selección de Actuadores#
1. Rendimiento#
El rendimiento es el concepto final que unifica todo lo anterior. Cuantifica el efecto de las resistencias pasivas. Es la relación entre la potencia (o trabajo) útil que sale del mecanismo y la potencia (o trabajo) que entra.
\(\eta = \frac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{suministrada}}} = \frac{P_{\text{salida}}}{P_{\text{entrada}}}\)
Sabiendo que la potencia de entrada debe compensar tanto el trabajo útil como las pérdidas por fricción (\(P_{\text{pasiva}}\)): \(P_{\text{suministrada}} = P_{\text{útil}} + P_{\text{pasiva}}\)
Por lo tanto, el rendimiento es siempre menor que 1: \(\eta = \frac{P_{\text{útil}}}{P_{\text{útil}} + P_{\text{pasiva}}} < 1\)
El rendimiento es crucial para el dimensionamiento real de un motor: el motor debe ser capaz de suministrar \(P_{\text{suministrada}}\), no solo \(P_{\text{útil}}\).
2. Curvas Características Par-Velocidad y Selección de Motores#
Saber la potencia necesaria (calculada con el rendimiento) es el primer paso. El segundo paso es seleccionar un motor adecuado. Para ello, se usan las curvas características Par-Velocidad.
La curva característica describe el par necesario para que la máquina funcione a velocidad constante (aceleración nula).
Como se ve en la gráfica, se superponen dos tipos de curvas:
Par motor (\(M_{\text{mot}}\)): Es el par que el motor suministra. Generalmente se muestran varias curvas para diferentes valores de tensión de alimentación (\(V\)).
Par resistente de la máquina (\(M_{\text{maq}}\)): Es el par que la máquina demanda (se opone al movimiento) para vencer la carga útil y todas sus resistencias pasivas.
Los puntos de intersección son los puntos de equilibrio. Definen la velocidad de régimen (la velocidad de operación) a la que funcionará el sistema para una tensión de motor determinada.
Resumen del Tema#
En este tema hemos introducido el enfoque energético para el análisis de mecanismos, que complementa y simplifica el enfoque dinámico vectorial visto anteriormente. Los conceptos clave que debes dominar son:
Balance General de Energía: Relaciona el trabajo de las fuerzas motoras y resistentes con los cambios en la energía mecánica del sistema.
Ventaja Mecánica: Cuantifica la amplificación de fuerza (o par) que proporciona un mecanismo. Es variable con la configuración y crítica en el diseño.
Puntos Muertos y Posiciones de Bloqueo: Configuraciones especiales donde la VM tiende a cero o infinito, respectivamente. Deben considerarse en el diseño según la aplicación.
Resistencias Pasivas: Fricción en pares de revolución y prismáticos, y resistencia a la rodadura. Estas pérdidas reducen la eficiencia y deben incluirse en el cálculo de la potencia requerida.
Rendimiento: Cuantifica las pérdidas totales del sistema y es esencial para dimensionar correctamente el actuador.
Selección de Actuadores: Se realiza mediante las curvas características Par-Velocidad, identificando los puntos de equilibrio entre el par motor disponible y el par resistente demandado.
Estos conceptos son fundamentales para el diseño y análisis de cualquier sistema mecánico en la práctica ingenieril.