Introducción al Análisis Dinámico de Mecanismos

Introducción al Análisis Dinámico de Mecanismos#

Hasta ahora, nuestro estudio se ha centrado en la cinemática: el análisis del movimiento (posición, velocidad y aceleración) sin considerar las causas que lo producen. Ahora, entramos en la dinámica, que relaciona ese movimiento con las fuerzas y pares que actúan sobre el mecanismo.

El análisis dinámico es fundamental para el diseño, ya que nos permite dimensionar correctamente los componentes (para que no fallen) y seleccionar los actuadores (motores, cilindros) adecuados.

Tipos de Problemas Dinámicos#

Podemos clasificar los problemas de dinámica en dos categorías principales:

  1. Problema Dinámico Directo:

    • DATO: Las fuerzas y pares que actúan sobre el mecanismo (ej. la curva de par de un motor, la fuerza de un muelle, el peso).

    • OBJETIVO: Determinar el movimiento resultante del mecanismo (es decir, calcular \(\theta(t)\), \(\dot{\theta}(t)\), \(\ddot{\theta}(t)\)).

    • Este problema es complejo y generalmente requiere la resolución de ecuaciones diferenciales del movimiento.

  2. Problema Dinámico Inverso:

    • DATO: El movimiento deseado del mecanismo (es decir, conocemos \(\theta(t)\), \(\dot{\theta}(t)\) y \(\ddot{\theta}(t)\) para todos los eslabones).

    • OBJETIVO: Determinar las fuerzas y pares (especialmente el par motor de entrada, \(\vec{M}_0\)) necesarios para producir ese movimiento.

    • Este es el problema más común en el diseño de maquinaria y será nuestro enfoque principal. Nos preguntamos: ¿qué motor necesito para que esta máquina se mueva como yo quiero?

Clasificación por Ligaduras#

Dependiendo de cómo estén ligados los cuerpos de un sistema mecánico, el problema de plantear sus ecuaciones de movimiento crece en complejidad. En orden creciente de dificultad:

  1. Sólidos rígidos libres (🡆 el foco de este tema 🡄):

 

  1. Eslabones en una cadena cinemática abierta:

 

  1. Eslabones en una cadena cinemática cerrada:

Enfoques de Análisis#

Dependiendo de la velocidad de operación del mecanismo, podemos optar por dos simplificaciones:

1. Análisis Quasiestático#

Este análisis se aplica a mecanismos que se mueven a velocidades bajas y constantes (o cero).

  • En este caso, las aceleraciones (\(\vec{a}_G\)) y aceleraciones angulares (\(\vec{\alpha}\)) son nulas o despreciables.

  • Por tanto, las fuerzas de inercia (\(m\vec{a}\)) y los pares de inercia (\(I\vec{\alpha}\)) son también despreciables frente a las fuerzas externas (cargas, pesos, etc.).

  • El problema se reduce a un simple equilibrio estático. Aplicamos las ecuaciones:

\[\begin{eqnarray*} \sum \vec{F} = 0 \\ \sum \vec{M} = 0 \end{eqnarray*}\]

  • El ejemplo3_01 (garra robótica) es un caso perfecto de este análisis, donde solo equilibramos las fuerzas de apriete y del actuador.

2. Análisis Dinámico (Principio de D’Alembert)#

Este es el caso general, para mecanismos que operan a velocidades donde las aceleraciones no son despreciables.

La 2ª Ley de Newton para un sólido rígido establece:

\[\begin{eqnarray*} \sum \vec{F} = m \vec{a}_G \\ \sum \vec{M}_G = I_G \vec{\alpha} \end{eqnarray*}\]

El Principio de D’Alembert nos ofrece una ingeniosa reformulación. Reorganiza las ecuaciones para transformar un problema de dinámica en un problema de “equilibrio estático” equivalente:

\[\begin{eqnarray*} \sum \vec{F} + (-m \vec{a}_G) = 0 \\ \sum \vec{M}_G + (-I_G \vec{\alpha}) = 0 \end{eqnarray*}\]

Definimos dos términos nuevos:

  • Fuerza de Inercia (\(\vec{F}_{in}\)): Es una fuerza ficticia opuesta a la aceleración del centro de gravedad: \(\vec{F}_{in} = -m \vec{a}_G\).

  • Par de Inercia (\(\vec{M}_{in}\)): Es un par ficticio opuesto a la aceleración angular: \(\vec{M}_{in} = -I_G \vec{\alpha}\).

Con esto, podemos tratar cualquier problema dinámico como uno de estática, siempre que incluyamos estas fuerzas y pares de inercia en nuestros diagramas. A esto se le llama equilibrio dinámico.

Metodología de Resolución#

Independientemente del enfoque (quasiestático o dinámico), el método de resolución que emplearemos será analítico y vectorial.

1. Prerrequisito: Análisis Cinemático COMPLETO#

No podemos empezar el análisis dinámico sin haber resuelto primero la cinemática. Para aplicar D’Alembert, es imprescindible conocer:

  • La aceleración del centro de gravedad (\(\vec{a}_G\)) de cada eslabón móvil.

  • La aceleración angular (\(\vec{\alpha}\)) de cada eslabón móvil.

Estos datos se obtienen aplicando los métodos de análisis de aceleraciones estudiados en el tema anterior (ej. bucles vectoriales y derivación).

2. Método Vectorial (Sistemas de Ecuaciones)#

Aunque existen métodos gráficos (como el principio de superposición), son laboriosos y menos precisos. Nosotros nos centraremos en el método analítico vectorial, que es sistemático e ideal para ser resuelto por computadora.

El procedimiento es el siguiente:

  1. Despiece (Diagrama de Sólido Libre - DSL): Separamos el mecanismo en cada uno de sus eslabones (incluyendo la bancada).

  2. Dibujo de Fuerzas: Para cada eslabón, dibujamos TODAS las fuerzas y pares que actúan sobre él:

    • Fuerzas Externas: Peso (\(m\vec{g}\)), fuerzas de actuadores, cargas de trabajo.

    • Par Motor: El par de entrada (ej. \(\vec{M}_0\)), aplicado sobre el eslabón motor.

    • Fuerzas de Reacción (Juntas): Son las fuerzas que un eslabón ejerce sobre otro en sus puntos de unión.

    • Fuerzas y Pares de Inercia: \(\vec{F}_{in} = -m \vec{a}_G\) y \(\vec{M}_{in} = -I_G \vec{\alpha}\) (solo en el análisis dinámico).

  3. Aplicación de Ecuaciones de Equilibrio: Para cada eslabón, planteamos las 3 ecuaciones de equilibrio (dinámico o estático): \(\sum F_x = 0\) \(\sum F_y = 0\) \(\sum M_P = 0\) (Suma de momentos respecto a un punto \(P\) conveniente, usualmente una junta o el CdG).

¡NOTACIÓN CLAVE!#

Para evitar errores, seremos muy estrictos con la notación de las fuerzas de reacción:

\(\vec{F}_{ij}\) = Fuerza que el eslabón \(i\) ejerce sobre el eslabón \(j\).

Por la 3ª Ley de Newton (acción-reacción), la fuerza que \(j\) ejerce sobre \(i\) es exactamente la opuesta:

\(\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}\)

Esta regla es la que “conecta” los Diagramas de Sólido Libre entre sí. Si en el DSL del eslabón 2 dibujamos \(\vec{F}_{12}\) (fuerza de la bancada 1 sobre el eslabón 2), en el DSL de la bancada 1 deberemos dibujar \(\vec{F}_{21}\), donde \(\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}\).

3. Resolución con MATLAB#

Al aplicar las 3 ecuaciones de equilibrio a cada uno de los \(N\) eslabones móviles, obtendremos un gran sistema de ecuaciones lineales.

  • Las incógnitas serán las componentes de las fuerzas de reacción en las juntas (ej. \(F_{12x}\), \(F_{12y}\), \(F_{32x}\), \(F_{32y}\)…) y el par motor de entrada (\(M_{0k}\)).

  • Los datos conocidos serán todas las propiedades geométricas, las cargas externas y las fuerzas/pares de inercia (calculados de la cinemática).

Este sistema, aunque grande, es algebraicamente simple y puede resolverse de forma muy eficiente y precisa utilizando la función solve de MATLAB, como veremos en los ejercicios ejemplo3_01 y ejemplo3_02.