Trenes Epicicloidales (Planetarios)#
Los trenes epicicloidales se diferencian de los ordinarios porque alguno de sus ejes no está fijado al soporte, sino que gira alrededor de otro eje. Esto permite realizar varias desmultiplicaciones con un solo juego de engranajes y obtener densidades de potencia muy altas.
En un tren epicicloidal distinguimos 3 velocidades de giro fundamentales:
\(\omega_{entrada}\) (\(\omega_O\)): Velocidad angular del primer eje central (ej. Sol).
\(\omega_{salida}\) (\(\omega_Z\)): Velocidad angular del último eje central (ej. Corona).
\(\omega_{brazo}\) (\(\omega_b\)): Velocidad angular del soporte portasatélites (Brazo).
Fórmula de Willis y Relación Aparente (\(\mu_a\))#
Para resolver la cinemática, utilizamos el método de inversión cinemática (Fórmula de Willis). Consiste en restar mentalmente la velocidad del brazo a todo el sistema para detenerlo (\(\omega_b - \omega_b = 0\)). Así, el tren se comporta momentáneamente como un tren ordinario.
La relación de velocidades en este estado ficticio se llama Relación de Transmisión Aparente (\(\mu_a\)):
\(\mu_a = \frac{\omega_{salida} - \omega_{brazo}}{\omega_{entrada} - \omega_{brazo}} = (\pm 1) \cdot \frac{\Pi Z_{conductoras}}{\Pi Z_{conducidas}}\)
Nota: \(\mu_a\) (también llamada \(\mu_{tren\_fijo}\)) es la relación que tendría el tren si fijáramos el brazo. El signo depende de si los engranes son exteriores (-) o interiores (+).
Clasificación y Comportamiento según el elemento fijo#
Aunque el sistema tiene 2 grados de libertad, en muchas aplicaciones industriales restringimos uno (fijamos un eje) para usarlo como reductor o multiplicador. Como ya sabemos, si es el brazo el que se fija, el resultado es un tren ordinario:
Sin embargo, fijando la primera rueda o la última, tenemos los siguientes casos.
A. Tren Epicicloidal Simple (Fijo el primer eje, \(\omega_{entrada} = 0\))#
Se fija la primera rueda (por ejemplo, el Sol). La entrada es el brazo y la salida la última rueda (ej. Corona).
\(\frac{\omega_{salida}}{\omega_{brazo}} = 1 - \mu_a\)
Comportamiento según \(\mu_a\):
\(\mu_a < 0\): Multiplicación de velocidad.
\(0 < \mu_a < 1\): Reducción de velocidad (muy elevadas si \(\mu_a \approx 1\)).
\(\mu_a > 1\): Inversión de marcha.
\(\mu_a > 2\): Multiplicador con inversión.
Ejemplos de tren epicicloidal simple:
B. Tren de Balancín (Fijo el último eje, \(\omega_{salida} = 0\))#
Se impide el giro de la última rueda (normalmente la Corona). La entrada suele ser el Sol y la salida el Brazo.
\(\frac{\omega_{entrada}}{\omega_{brazo}} = 1 - \frac{1}{\mu_a}\)
Comportamiento según \(\mu_a\):
\(\mu_a < 0\): Multiplicación (muy elevadas si \(\mu_a \approx 0\)).
\(\mu_a > 1\): No hay inversión de marcha. Reducción tanto mayor cuanto más cerca esté \(\mu_a\) de 1.
Ejemplos de trenes de balanción:
Trenes Diferenciales#
Son trenes epicicloidales puros donde ninguna rueda está fija. El sistema mantiene sus 2 grados de libertad.
Fórmula de Willis para Diferenciales: Despejando \(\omega_{brazo}\) de la ecuación general:
\(\omega_{brazo} = \frac{1}{1-\mu_a} \cdot \omega_{salida} - \frac{\mu_a}{1-\mu_a} \cdot \omega_{entrada}\)
Funciones principales:
Recoger movimiento (2 Entradas \(\rightarrow\) 1 Salida): Suma o resta velocidades de dos ejes en un tercero.
Distribuir movimiento (1 Entrada \(\rightarrow\) 2 Salidas): Caso del diferencial de automóvil.
El Diferencial de Automóvil#
Permite que las ruedas motrices giren a distinta velocidad en las curvas. En un diferencial simétrico (\(\mu_a = -1\)), la velocidad del brazo (unido al motor) es el promedio:
\(\omega_{brazo} = \frac{\omega_{rueda\_izq} + \omega_{rueda\_der}}{2}\)
Los diferenciales se montan entre el motor y las ruedas motrices de los automóviles para permitir que cada rueda pueda dar distinto número de vueltas mientras recibe potencia. Por ejemplo, cuando el automóvil toma una curva hacia la derecha, la rueda izquierda recorre una distancia mayor que la derecha, por lo que debe dar más vueltas que ésta o alguna de las dos ruedas patinará.
El tren diferencial puede adoptar diversas formas, pero la más habitual es la mostrada en la figura de la izquierda. Esquemáticamente, se puede representar como se indica en la figura del centro. El engranaje \(e\) corresponde al eje de entrada proveniente de la caja de cambios. La rueda 2 va unida a la carcasa que, a su vez, arrastra los ejes de las ruedas planetarias 1. Las dos ruedas 1 son redundantes y se montan por simetría, aunque cinemáticamente bastaría con una de ellas.
En el caso habitual de que el coche marche en línea recta, las ruedas planetarias funcionan como si su eje estuviese bloqueado y no pudiesen tener movimiento de rotación propia; simplemente arrastran los ejes \(i\) y \(d\) y los hace girar a la misma velocidad. Cuando el coche toma una curva, las ruedas 1 adquieren una cierta velocidad de rotación propia, lo que permite a las ruedas izquierda y derecha girar a distintas velocidades.
Para resolver matemáticamente el movimiento del diferencial, utilizamos el método descrito en la sección anterior, consistente en detener los ejes que se mueven, en este caso los de las ruedas 1. Para ello, detenemos la rueda 2 y obtenemos el tren mostrado en la figura de la derecha, de donde deducimos:
\( \frac{\omega_d - \omega_2}{\omega_i - \omega_2} = - \frac{Z_i}{Z_d} \)
Pero como los números de dientes \(Z_i\) y \(Z_d\) son iguales, resulta:
\( \omega_d - \omega_2 = -(\omega_i - \omega_2) \)
Puesto que los engranajes cónicos 2 y \(e\) engranan directamente, podemos escribir:
\( \frac{\omega_2}{\omega_e} = \frac{Z_e}{Z_2} \)
Despejando \(\omega_2\) y sustituyendo en la ecuación primera, obtenemos:
\( \omega_i + \omega_d = 2 \omega_e \frac{Z_e}{Z_2} \)
Esta expresión es la que relaciona las velocidades angulares del eje de entrada con los dos ejes de salida. De ella se deduce que para una misma velocidad de entrada, la suma de las velocidades de salida está fijada, pero no cada una de las velocidades de salida.
También se puede comprobar que si el motor está parado (\(\omega_e = 0\)) y, por ejemplo, la rueda izquierda se hace girar en un sentido, la rueda derecha girará con la misma velocidad angular pero en sentido contrario.