Análisis de Posición

El análisis de posición determina la configuración de todos los eslabones para cada incremento del movimiento de entrada. Antes de resolver, es imprescindible conocer los Grados de Libertad (GDL) o movilidad del mecanismo, que indica el número de parámetros de entrada necesarios para definir su posición. Para mecanismos planos, como hemos visto, se utiliza la fórmula de Grüebler:

\( G = 3(N-1) - 2p_{I} - p_{II} \)

Donde \(G\) son los GDL, \(N\) es el número de eslabones, \(p_{I}\) es el número de juntas de 1 GDL (pasadores, correderas), y \(p_{II}\) es el número de juntas de 2 GDL (horquillas, levas, engranajes). Para los mecanismos de los ejemplos que emplearemos (con \(G=1\)), solo necesitamos definir una variable (p. ej., \(\theta_2\)) para resolver todo el sistema.

Método Gráfico

El método gráfico es una técnica de construcción a escala que resuelve el problema de posición de una manera visual e intuitiva. Aunque puede ser menos preciso que el análisis matemático, su gran ventaja es que proporciona una comprensión inmediata del comportamiento del mecanismo. Con herramientas CAD, la precisión ya no es un problema, lo que lo convierte en un método muy potente y directo.

El procedimiento se basa en aplicar las restricciones geométricas impuestas por las longitudes de los eslabones:

1. Definir el bastidor: Se dibuja a escala el eslabón fijo (p. ej., el segmento \(O_2O_4\)), estableciendo el sistema de referencia.

2. Posicionar el eslabón de entrada: Se dibuja el eslabón motriz (p. ej., \(O_2A\)) con su longitud y ángulo conocidos.

3. Cerrar el bucle: Aquí se aplican las restricciones de los eslabones restantes. Para un cuadrilátero articulado, el punto B debe estar simultáneamente a una distancia \(L_3\) de A y a una distancia \(L_4\) de \(O_4\).

   • Se traza una circunferencia con centro A y radio \(L_3\).

   • Se traza otra circunferencia con centro \(O_4\) y radio \(L_4\).

4. Identificar las soluciones: Los puntos de intersección de estas dos circunferencias son las dos únicas posiciones posibles para la junta B. Esto define las dos configuraciones o circuitos del mecanismo (abierto y cruzado). El diseñador debe seleccionar la que corresponda al funcionamiento de la máquina.

Si las dos circunferencias no se cortan, el mecanismo no se puede montar para ese ángulo de entrada: el eslabón de entrada no puede alcanzar esa posición.

Método Analítico

El método analítico da una solución exacta, válida para cualquier posición del eslabón de entrada. Se basa en las ecuaciones vectoriales de cierre de lazo, y sigue estos pasos:

1. Dibujar un vector a lo largo de cada eslabón, de par a par, formando lazos cerrados. Cada vector tiene una longitud \(L_n\) (conocida en los eslabones de longitud fija; incógnita para la distancia a lo largo de una corredera) y un ángulo \(\theta_n\), medido en sentido antihorario desde el semieje \(X\) positivo.

2. Escribir una ecuación vectorial por cada lazo independiente: al recorrer un lazo cerrado, los vectores deben sumar cero. El número de lazos independientes es \(L = p - N + 1\), donde \(p\) es el número de pares y \(N\) el de eslabones: un lazo para un cuadrilátero articulado o un biela-manivela (\(4 - 4 + 1\)), dos para un mecanismo de seis barras (\(7 - 6 + 1\)).

3. Proyectar cada ecuación vectorial sobre los ejes \(X\) e \(Y\), con \(\vec{L}_n = L_n\cos\theta_n\,\hat{i} + L_n\sin\theta_n\,\hat{j}\). Cada lazo da dos ecuaciones escalares, que permiten despejar dos incógnitas (ángulos o posiciones de correderas), una vez dadas las entradas (tantas como GDL).

4. Resolver el sistema resultante. Las ecuaciones son no lineales (contienen senos y cosenos de las incógnitas) y normalmente tienen dos soluciones por lazo, que corresponden a las dos configuraciones de montaje del método gráfico. Hay que elegir la que corresponde al mecanismo.

Para el cuadrilátero articulado de la figura, igualando las dos cadenas de vectores que conectan el origen \(O_2\) con el punto B:

\[ \vec{L}_2 + \vec{L}_3 = \vec{L}_1 + \vec{L}_4 \]

Con la bancada según el eje \(X\) (\(\theta_1 = 0\)), sus proyecciones son:

\[\begin{split} \begin{aligned} L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 &= L_1 + L_4\cos\theta_4 \\ L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 &= L_4\sin\theta_4 \end{aligned} \end{split}\]

dos ecuaciones con las dos incógnitas \(\theta_3\) y \(\theta_4\). Para resolverlas, se aíslan los términos con \(\theta_3\) en un lado, se elevan al cuadrado ambas ecuaciones y se suman, de modo que \(\sin^2\theta_3 + \cos^2\theta_3 = 1\) elimina \(\theta_3\):

\[ L_3^2 = (L_1 - L_2\cos\theta_2 + L_4\cos\theta_4)^2 + (L_4\sin\theta_4 - L_2\sin\theta_2)^2 \]

Llamando \(P = L_1 - L_2\cos\theta_2\) y \(Q = -L_2\sin\theta_2\) (las componentes del vector que va de \(A\) a \(O_4\)), y desarrollando:

\[ P\cos\theta_4 + Q\sin\theta_4 = K, \qquad K = \frac{L_3^2 - L_4^2 - P^2 - Q^2}{2L_4} \]

una ecuación de la forma \(P\cos\theta_4 + Q\sin\theta_4 = K\), conocida como ecuación de Freudenstein. Escribiendo \(P = d\cos\varphi\) y \(Q = d\sin\varphi\), con \(d = \sqrt{P^2 + Q^2}\) (la distancia \(\overline{AO_4}\)) y \(\varphi = \operatorname{atan2}(Q, P)\), queda \(d\cos(\theta_4 - \varphi) = K\), cuyas soluciones son:

\[ \theta_4 = \varphi \pm \arccos\left(\frac{K}{d}\right) \]

Cada signo es una de las dos configuraciones de montaje. Si \(|K| > d\) no hay solución real: el mecanismo no se puede montar para ese ángulo de entrada, como cuando las circunferencias del método gráfico no se cortan. Conocido \(\theta_4\), \(\theta_3\) se obtiene de las ecuaciones originales:

\[ \theta_3 = \operatorname{atan2}\left(L_4\sin\theta_4 - L_2\sin\theta_2,\; L_1 + L_4\cos\theta_4 - L_2\cos\theta_2\right) \]

Nota

\(\operatorname{atan2}(y, x)\) es el arcotangente de cuatro cuadrantes (disponible como atan2 en MATLAB y en la mayoría de lenguajes de programación y calculadoras), que devuelve el ángulo del vector \((x, y)\) en el cuadrante correcto. Con un \(\arctan(y/x)\) normal, hay que sumar \(180^\circ\) a mano cuando \(x < 0\).

Para un biela-manivela cuya corredera se mueve sobre una recta horizontal a altura \(e\) (la excentricidad; \(e = 0\) en un biela-manivela centrado), el lazo es \(\vec{L}_2 + \vec{L}_3 = x_B\,\hat{i} + e\,\hat{j}\), y las incógnitas son \(\theta_3\) y la posición de la corredera \(x_B\):

\[\begin{split} \begin{aligned} L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 &= x_B \\ L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 &= e \end{aligned} \qquad\rightarrow\qquad \sin\theta_3 = \frac{e - L_2\sin\theta_2}{L_3}, \qquad x_B = L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 \end{split}\]

donde las dos soluciones del arcoseno (\(\theta_3\) y \(180^\circ - \theta_3\)) corresponden a la corredera a uno u otro lado de la manivela.

El ejemplo Ejemplo 2.1: Análisis cinemático de un mecanismo de cuatro barras aplica este procedimiento a un cuadrilátero articulado, Ejemplo 2.2: Análisis cinemático de un mecanismo biela-manivela a un biela-manivela, y Ejemplo 2.5: Análisis cinemático de un mecanismo de 6 barras a un mecanismo de seis barras con dos lazos. Para mecanismos más complejos, en los que puede no existir una solución cerrada, las ecuaciones de lazo se resuelven numéricamente (por ejemplo, con el método de Newton-Raphson) o con herramientas de cálculo simbólico.

Los problemas de velocidades y aceleraciones se resuelven derivando respecto al tiempo estas mismas ecuaciones de lazo. Como se ve en las páginas siguientes, siempre son lineales en las incógnitas y tienen una única solución.