Introducción al Análisis Cinemático#
El análisis cinemático es el estudio de la geometría del movimiento. Su objetivo es determinar la posición, velocidad y aceleración de todos los componentes de un mecanismo para entender cómo se mueven, sin considerar las fuerzas que causan dicho movimiento. Este análisis es el pilar fundamental sobre el que se construye el análisis dinámico, que sí considera fuerzas e inercias, siendo un paso indispensable en el diseño de cualquier máquina.
El proceso se aborda de forma secuencial y ordenada:
Análisis de Posición: Determina la ubicación y orientación de cada eslabón en un instante dado.
Análisis de Velocidad: Calcula las velocidades lineales y angulares de los eslabones. Requiere conocer previamente la posición.
Análisis de Aceleración: Calcula las aceleraciones lineales y angulares. Requiere conocer previamente la posición y la velocidad.
Métodos de análisis#
Cada uno de los tres problemas anteriores se puede resolver con dos familias de métodos, totalmente equivalentes: ambas resuelven las mismas ecuaciones vectoriales, una dibujándolas y la otra escribiéndolas.
Métodos gráficos. El mecanismo y sus vectores de velocidad y aceleración se dibujan a escala (a mano, o con programas de CAD o de geometría dinámica) y las incógnitas se miden sobre el dibujo. Aportan mucha intuición física y son una forma rápida de comprobar resultados. Incluyen los polígonos (cinemas) de velocidades y aceleraciones y el método de los centros instantáneos de rotación.
Métodos analíticos. El movimiento se describe con ecuaciones vectoriales (de cierre de lazo, de velocidades relativas y de aceleraciones relativas), que se proyectan sobre los ejes de coordenadas y se resuelven para las incógnitas. Son exactos, y se pueden resolver a mano o con herramientas de cálculo simbólico como MATLAB.
Los métodos numéricos para sistemas multicuerpo (coordenadas naturales, jacobianos, métodos iterativos) son una tercera familia, fuera del alcance de esta asignatura.
Contenido del tema#
Repaso de álgebra vectorial: el álgebra vectorial que se usa en el resto del tema.
Cinemática de puntos y sólidos rígidos: las fórmulas generales de la velocidad y aceleración de puntos y sólidos rígidos, deducidas paso a paso. Todos los métodos del tema son aplicaciones de estas fórmulas.
Análisis de Posición, Análisis de Velocidad y Análisis de Aceleración: cómo aplicarlas a mecanismos planos, con ambas familias de métodos.
Centros Instantáneos de Rotación: un método gráfico para velocidades.
Notación#
En este tema y en los ejemplos resueltos se siguen estos convenios:
Los eslabones se numeran empezando por la bancada (tierra) como eslabón 1; el eslabón de entrada suele ser el 2.
Los pivotes fijos se nombran \(O_n\), donde \(n\) es el número del eslabón articulado a la bancada; los pares móviles se nombran con letras mayúsculas (\(A\), \(B\), …).
\(\vec{r}_{AB}\) es el vector de posición del punto \(B\) respecto al punto \(A\) (de \(A\) a \(B\)).
En problemas planos los ejes \(XY\) están en el plano del movimiento y \(\hat{k}\) sale del papel, de modo que las velocidades y aceleraciones angulares son \(\vec{\omega}_n = \omega_n\,\hat{k}\) y \(\vec{\alpha}_n = \alpha_n\,\hat{k}\): los valores positivos indican giro antihorario (\(\circlearrowleft\)) y los negativos, horario (\(\circlearrowright\)).
Los ángulos \(\theta_n\) de los eslabones se miden en sentido antihorario desde el semieje \(X\) positivo.
Cuando un punto es compartido por dos eslabones con movimiento relativo entre ellos (por ejemplo, una corredera sobre una guía que gira), un subíndice indica el eslabón: \(P_3\) es el punto \(P\) considerado como parte del eslabón 3, y \(P_4\) el punto coincidente del eslabón 4.
Nota
Algunos libros escriben los vectores de los eslabones en el plano como números complejos, \(\vec{R} = L\,e^{j\theta}\). Multiplicar por \(j\) gira un vector \(90^\circ\), que es exactamente lo que hace el producto vectorial por \(\hat{k}\) en el plano, así que \(j\,\omega\,\vec{R}\) y \(\vec{\omega} \times \vec{R}\) son el mismo vector. En esta asignatura se usa la notación vectorial (producto vectorial) porque sirve, sin cambios, para problemas en 3D. La forma compleja aparece en Tema 6: Introducción a la Síntesis de Mecanismos, donde simplifica las ecuaciones de síntesis.