Introducción al Análisis Cinemático#
El análisis cinemático es el estudio de la geometría del movimiento. Su objetivo es determinar la posición, velocidad y aceleración de todos los componentes de un mecanismo para entender cómo se mueven, sin considerar las fuerzas que causan dicho movimiento. Este análisis es el pilar fundamental sobre el que se construye el análisis dinámico, que sí considera fuerzas e inercias, siendo un paso indispensable en el diseño de cualquier máquina.
El proceso se aborda de forma secuencial y ordenada:
Análisis de Posición: Determina la ubicación y orientación de cada eslabón en un instante dado.
Análisis de Velocidad: Calcula las velocidades lineales y angulares de los eslabones. Requiere conocer previamente la posición.
Análisis de Aceleración: Calcula las aceleraciones lineales y angulares. Requiere conocer previamente la posición y la velocidad.
1. Fundamentos: Vectores en el Análisis de Mecanismos#
Los mecanismos planos se pueden modelar como un conjunto de vectores en el plano XY. La representación vectorial nos permite describir matemáticamente la longitud y orientación de cada eslabón.
Un vector de posición \(\vec{R}\) que representa un eslabón de longitud \(L\) y ángulo \(\theta\) puede expresarse de dos formas:
Forma Cartesiana: \(\vec{R} = R_x \hat{i} + R_y \hat{j} = (L \cos\theta) \hat{i} + (L \sin\theta) \hat{j}\)
Forma Polar (o Compleja): \(\vec{R} = L e^{j\theta} = L(\cos\theta + j\sin\theta)\)
La notación compleja puede resultar muy útil, ya que la derivación respecto al tiempo para obtener la velocidad y la aceleración se simplifica enormemente.
Derivadas de Vectores: Velocidad y Aceleración#
Consideremos un punto P cuya posición viene dada por el vector \(\vec{R}_P\), que rota con una velocidad angular \(\vec{\omega}\) y una aceleración angular \(\vec{\alpha}\) (en el plano, \(\vec{\omega} = \omega \hat{k}\) y \(\vec{\alpha} = \alpha \hat{k}\)).
Velocidad#
La velocidad del punto P es la primera derivada temporal de su posición: \( \vec{v}_P = \frac{d\vec{R}_P}{dt} = \frac{d}{dt}(L e^{j\theta}) = L(j \dot{\theta})e^{j\theta} = j \omega L e^{j\theta} = j \omega \vec{R}_P \)
En notación vectorial de producto vectorial: \( \vec{v}_P = \vec{\omega} \times \vec{R}_P \)
El operador \(j\) (o el producto vectorial con \(\vec{\omega}\)) rota el vector de posición original \(\vec{R}_P\) 90° en la dirección de \(\omega\). Por tanto, la velocidad lineal de un punto en rotación pura es siempre perpendicular a su radio de giro.
Aceleración#
La aceleración es la segunda derivada temporal de la posición: \( \vec{a}_P = \frac{d\vec{v}_P}{dt} = \frac{d}{dt}(j \omega \vec{R}_P) = j \dot{\omega} \vec{R}_P + j \omega \dot{\vec{R}}_P = j \alpha \vec{R}_P + j \omega (j \omega \vec{R}_P) = j \alpha \vec{R}_P - \omega^2 \vec{R}_P \) Esta ecuación revela dos componentes fundamentales de la aceleración:
Aceleración Tangencial (\(\vec{a}_P^t\)): Es el término \(\vec{a}_P^t = j \alpha \vec{R}_P = \vec{\alpha} \times \vec{R}_P\).
Se debe al cambio en la magnitud de la velocidad.
Su dirección es perpendicular al vector de posición \(\vec{R}_P\).
Su módulo es \(a^t = |\alpha| L\).
Aceleración Normal (\(\vec{a}_P^n\)): Es el término \(\vec{a}_P^n = -\omega^2 \vec{R}_P = \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{R}_P)\).
Se debe al cambio en la dirección del vector velocidad.
Su dirección es paralela al vector de posición \(\vec{R}_P\), pero en sentido contrario (apuntando siempre hacia el centro de rotación).
Su módulo es \(a^n = \omega^2 L\).
La aceleración total es la suma vectorial de ambas: \(\vec{a}_P = \vec{a}_P^t + \vec{a}_P^n\).
