Ejemplo 3.1#
La figura muestra un mecanismo de garra robótica, en el que las dimensiones están en cm. Si se desea una fuerza de aprieta \(F_g =25N\), si no se considera la acción de la gravedad, ¿cuál debe ser la fuerza del actuador \(F_a\)? Con la idea de poder diseñar correctamente la estructura de soporte de la garra, se pide además calcular las reacciones en en el punto \(O_2\).
Análisis quasiestático#
Este ejercicio se puede resolver aplicando las leyes de la estática. Debido a la simetría, el ejercicio se puede resolver centrándonos en el dedo superior. Teniendo en cuenta que la fuerza \(F_a\) se transmite como una tensión en la barra AB, a 45º, el análisis del sólido AC arroja, tomando momentos en el punto \(O_2\) y considerando el sentido antihorario como positivo: \( F_{AB} \cos 45\cdot 1.5\sin 15+F_{AB} \sin 45\cdot 1.5\cos 15-25\cdot 4\cdot \cos 15=0 \)
de donde:
\( F_{AB} =74.4\,N \)
Una vez que se conoce la tensión \(F_{AB}\), por el principio de acción y reacción es posible calcula la fuerza \(F_a\) como,
\( F_a =2\cdot F_{AB} \cos 45 \)
de donde:
\( F_a =105.15\,N \)
Finalmente, se pueden calcular las reacción en \(O_2\) resolviendo gráficamente la ecuación de equilibrio estático del sólido 2:
lo que nos da que \({\vec{F} }_{12} =52.60\hat{i} -77.60\hat{j} \,N\)
Análisis sistemático#
Existe otro procedimiento sistemático de cálculo que consiste en el planteamiento de todas las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos de todos los sólidos para su resolución simultánea. Para ello, analizamos los diagramas de sólido rígido de los diferentes elementos.
Sólido 2#
Definimos las ecuaciones a partir del diagrama de sólido libre:
\( \begin{array}{l} {\vec{F} }_{32} +{\vec{F} }_{12} +{\vec{F} }_g =0\newline {\vec{r} }_{O2A} \times {\vec{F} }_{32} +{\vec{r} }_{O2C} \times {\vec{F} }_g =0 \end{array} \)
Nótese que bajo este planteamiento consideramos todas las componentes como positivas. Por un lado, las componetes de los vectores de posición y fuerza conocidos nos darán el sentido positivo de los momentos. Por otro lado, los resultados que obtengamos al resolver el sistema de ecuaciones determinará el signo y por tanto el sentido de las fuerzas desconocidas.
Sólido 3#
Definimos las ecuaciones a partir del diagrama de sólido libre:
\( \begin{array}{l} {\vec{F} }_{43} -{\vec{F} }_{32} =0\newline {\vec{r} }_{AB} \times {\vec{F} }_{43} =0 \end{array} \)
Nótese que empleamos signos negativos en aquellas fuerzas que, por el principio de acción y reacción, son iguales y de sentido contrario a otras que ya hemos definido, con objeto de reducir el número de incógnitas.
Sólido 4#
Definimos las ecuaciones a partir del diagrama de sólido libre:
\( {\vec{F} }_{14} -{\vec{F} }_{43} +{\vec{F} }_a =0 \)
Resolución:#
Para resolver el sistema compuesto por las 8 ecuaciones debemos utilizar la función solve de Matlab, como en los ejercicios anteriores, teniendo en cuenta que debemos agrupar las ecuaciones en un vector. Las 8 incóginatas se introducen separadas por coma, al igual que en los ejercicios anteriores.
% Resolver el sistema completo:
solucion=solve([eq1_2, eq3, eq4_5, eq6, eq7_8],...
F12x, F12y, F32x, F32y, F43x, F43y, F14y, F);```