Ejemplo 2.5 Análisis cinemático de un mecanismo de 6 barras#
Análisis de posición#
La figura muestra un mecanismo de 6 barras. En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 225^{\circ}\) con la horizontal, calcule la posición de la corredera, el ángulo que el segmento \(O_4B\) forma con la horizontal, y las coordenadas del punto C.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 0.30;\, \overline{AB} = 0.5;\, \overline{O_4B} = \overline{O_4C} = 0.45;\, \overline{C D} = 0.50;\) el ángulo \(\gamma\) entre \(\overline{O_4B}\) y \(\overline{O_4C}\) es de \(90^\circ\). \(\overline{O_2 O_4} = 0.25;\) La corredera se mueve horizontalmente sobre el eje x.
Análisis de Posición (Método Gráfico)#
El objetivo es construir el mecanismo a escala para medir las incógnitas: el ángulo \(\theta_4\), las coordenadas del punto C, y la posición de la corredera D.
Procedimiento de Construcción:#
Localizar los pivotes fijos: Colocar \(O_2\) en el origen (0,0) y \(O_4\) en (0.25, 0).
Posicionar la manivela (Eslabón 2): Desde \(O_2\), dibujar el eslabón 2 con una longitud de 0.30 m y un ángulo \(\theta_2 = 225^\circ\) para encontrar el punto A.
Cerrar el primer lazo (4-barras):
Dibujar una circunferencia con centro A y radio \(\overline{AB} = 0.5\) m.
Dibujar una circunferencia con centro \(O_4\) y radio \(\overline{O_4B} = 0.45\) m.
La intersección de ambas circunferencias da la posición del punto B. Elegir la solución que corresponde a la figura.
Localizar el punto C:
Dibujar la línea que conecta \(O_4\) y B.
Girar esta línea \(90^\circ\) en sentido horario alrededor de \(O_4\).
Sobre esta nueva línea, medir una distancia \(\overline{O_4C} = 0.45\) m desde \(O_4\) para encontrar el punto C.
Localizar la corredera D:
Dibujar una circunferencia con centro C y radio \(\overline{CD} = 0.50\) m.
La intersección de esta circunferencia con el eje horizontal (eje x) da la posición de la corredera D. Elegir la solución que corresponde a la figura.
Medición de resultados: Medir en el software gráfico el ángulo de la barra \(O_4B\) (\(\theta_4\)), las coordenadas de C, y la coordenada x de D.
Análisis de Posición (Método Analítico)#
El problema se resuelve en dos partes: primero el lazo de cuatro barras \(O_2ABO_4\) y luego la díada \(O_4CD\).
Formulación del Lazo Vectorial (Lazo 1: \(O_2ABO_4\))#
La ecuación del lazo es \(\vec{L}_2 + \vec{L}_3 = \vec{L}_1 + \vec{L}_4\). Descomponiendo en componentes x e y:
\(L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 = L_1 + L_4\cos\theta_4\)
\(L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 = L_4\sin\theta_4\)
Reordenando y elevando al cuadrado para eliminar \(\theta_3\), llegamos a una ecuación de la forma \(A\cos\theta_4 + B\sin\theta_4 = C\), que permite resolver para \(\theta_4\).
Cálculo Numérico:
Datos Iniciales:
\(L_1 = \overline{O_2O_4} = 0.25 \text{ m}\)
\(L_2 = \overline{O_2A} = 0.30 \text{ m}\)
\(L_3 = \overline{AB} = 0.5 \text{ m}\)
\(L_4 = \overline{O_4B} = 0.45 \text{ m}\)
\(\overline{O_4C} = 0.45 \text{ m}\)
\(\overline{CD} = 0.50 \text{ m}\)
\(\theta_2 = 225^\circ\)
\(\gamma = 90^\circ\) (ángulo \(\angle BO_4C\), horario)
1. Resolver el lazo de 4 barras (\(O_2ABO_4\)): Se resuelve la ecuación de Freudenstein para \(\theta_4\). Las constantes son:
\(A = 2L_1L_4 - 2L_2L_4\cos\theta_2 = 2(0.25)(0.45) - 2(0.3)(0.45)\cos(225^\circ) = 0.4159\)
\(B = -2L_2L_4\sin\theta_2 = -2(0.3)(0.45)\sin(225^\circ) = 0.1909\)
\(C = L_3^2 - L_1^2 - L_2^2 - L_4^2 + 2L_1L_2\cos\theta_2 = 0.5^2 - 0.25^2 - 0.3^2 - 0.45^2 + 2(0.25)(0.3)\cos(225^\circ) = -0.2111\)
Resolver \(0.4159\cos\theta_4 + 0.1909\sin\theta_4 = -0.2111\) da dos soluciones. La que corresponde a la figura es:
\(\mathbf{\theta_4 = 142.13^\circ}\)
2. Calcular la posición del punto C: El eslabón \(\overline{O_4C}\) forma un ángulo \(\theta_C\) con la horizontal. Como el ángulo \(\gamma = \angle BO_4C\) es de \(90^\circ\) en sentido horario (restando del ángulo de la barra 4): \( \theta_C = \theta_4 - \gamma = 142.13^\circ - 90^\circ = 52.13^\circ \) Las coordenadas de C son (relativas a \(O_4\) que está en (0.25, 0)): \( x_C = x_{O_4} + \overline{O_4C}\cos\theta_C = 0.25 + 0.45\cos(52.13^\circ) = 0.25 + 0.276 = 0.526 \text{ m} \) \( y_C = y_{O_4} + \overline{O_4C}\sin\theta_C = 0 + 0.45\sin(52.13^\circ) = 0.355 \text{ m} \)
Coordenadas de C: (0.526, 0.355) m
3. Calcular la posición de la corredera D: El punto D está en el eje x (\(y_D=0\)). La distancia \(\overline{CD}\) es de \(0.50 \text{ m}\). Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por C, D y la proyección de C sobre el eje x: \( (\overline{CD})^2 = (x_C - x_D)^2 + (y_C - y_D)^2 \) \( 0.5^2 = (0.526 - x_D)^2 + (0.355 - 0)^2 \) \( 0.25 = (0.526 - x_D)^2 + 0.126 \) \( (0.526 - x_D)^2 = 0.124 \implies 0.526 - x_D = \pm\sqrt{0.124} = \pm 0.352 \) Las dos posibles soluciones para \(x_D\) son \(x_D = 0.526 \mp 0.352\). La que corresponde a la figura (más a la derecha) es:
Posición de la corredera D: \(x_D = 0.878 \text{ m}\)
Resultados Finales de Posición:
Ángulo del eslabón 4: \(\mathbf{\theta_4 = 142.13^\circ}\)
Coordenadas de C: (0.526, 0.355) m
Posición de la corredera D: \(\mathbf{x_D = 0.878}\)