Ejemplo 2.5: Análisis cinemático de un mecanismo de 6 barras

Ejemplo 2.5: Análisis cinemático de un mecanismo de 6 barras#

Análisis de posición#

La figura muestra un mecanismo de 6 barras. En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 225^{\circ}\) con la horizontal, calcule la posición de la corredera, el ángulo que el segmento \(O_4B\) forma con la horizontal, y las coordenadas del punto C.

fig6B.jpg

Datos:

Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 0.30;\, \overline{AB} = 0.5;\, \overline{O_4B} = \overline{O_4C} = 0.45;\, \overline{C D} = 0.50;\) el ángulo \(\gamma\) entre \(\overline{O_4B}\) y \(\overline{O_4C}\) es de \(90^\circ\). \(\overline{O_2 O_4} = 0.25;\) La corredera se mueve horizontalmente sobre el eje x.

Análisis de Posición (Método Gráfico)#

El objetivo es construir el mecanismo a escala para medir las incógnitas: el ángulo \(\theta_4\), las coordenadas del punto C, y la posición de la corredera D.

Procedimiento de Construcción:#

  1. Localizar los pivotes fijos: Colocar \(O_2\) en el origen (0,0) y \(O_4\) en (0.25, 0).

  2. Posicionar la manivela (Eslabón 2): Desde \(O_2\), dibujar el eslabón 2 con una longitud de 0.30 m y un ángulo \(\theta_2 = 225^\circ\) para encontrar el punto A.

  3. Cerrar el primer lazo (4-barras):

    • Dibujar una circunferencia con centro A y radio \(\overline{AB} = 0.5\) m.

    • Dibujar una circunferencia con centro \(O_4\) y radio \(\overline{O_4B} = 0.45\) m.

    • La intersección de ambas circunferencias da la posición del punto B. Elegir la solución que corresponde a la figura.

  4. Localizar el punto C:

    • Dibujar la línea que conecta \(O_4\) y B.

    • Girar esta línea \(90^\circ\) en sentido horario alrededor de \(O_4\).

    • Sobre esta nueva línea, medir una distancia \(\overline{O_4C} = 0.45\) m desde \(O_4\) para encontrar el punto C.

  5. Localizar la corredera D:

    • Dibujar una circunferencia con centro C y radio \(\overline{CD} = 0.50\) m.

    • La intersección de esta circunferencia con el eje horizontal (eje x) da la posición de la corredera D. Elegir la solución que corresponde a la figura.

  6. Medición de resultados: Medir en el software gráfico el ángulo de la barra \(O_4B\) (\(\theta_4\)), las coordenadas de C, y la coordenada x de D.

Análisis de Posición (Método Analítico)#

El problema se resuelve en dos partes: primero el lazo de cuatro barras \(O_2ABO_4\) y luego la díada \(O_4CD\).

Formulación del Lazo Vectorial (Lazo 1: \(O_2ABO_4\))#

La ecuación del lazo es \(\vec{L}_2 + \vec{L}_3 = \vec{L}_1 + \vec{L}_4\). Descomponiendo en componentes x e y:

  • \(L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 = L_1 + L_4\cos\theta_4\)

  • \(L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 = L_4\sin\theta_4\)

Reordenando y elevando al cuadrado para eliminar \(\theta_3\), llegamos a una ecuación de la forma \(A\cos\theta_4 + B\sin\theta_4 = C\), que permite resolver para \(\theta_4\).

Cálculo Numérico:

  • Datos Iniciales:

    • \(L_1 = \overline{O_2O_4} = 0.25 \text{ m}\)

    • \(L_2 = \overline{O_2A} = 0.30 \text{ m}\)

    • \(L_3 = \overline{AB} = 0.5 \text{ m}\)

    • \(L_4 = \overline{O_4B} = 0.45 \text{ m}\)

    • \(\overline{O_4C} = 0.45 \text{ m}\)

    • \(\overline{CD} = 0.50 \text{ m}\)

    • \(\theta_2 = 225^\circ\)

    • \(\gamma = 90^\circ\) (ángulo \(\angle BO_4C\), horario)

  • 1. Resolver el lazo de 4 barras (\(O_2ABO_4\)): Se resuelve la ecuación de Freudenstein para \(\theta_4\). Las constantes son:

    • \(A = 2L_1L_4 - 2L_2L_4\cos\theta_2 = 2(0.25)(0.45) - 2(0.3)(0.45)\cos(225^\circ) = 0.4159\)

    • \(B = -2L_2L_4\sin\theta_2 = -2(0.3)(0.45)\sin(225^\circ) = 0.1909\)

    • \(C = L_3^2 - L_1^2 - L_2^2 - L_4^2 + 2L_1L_2\cos\theta_2 = 0.5^2 - 0.25^2 - 0.3^2 - 0.45^2 + 2(0.25)(0.3)\cos(225^\circ) = -0.2111\)

    Resolver \(0.4159\cos\theta_4 + 0.1909\sin\theta_4 = -0.2111\) da dos soluciones. La que corresponde a la figura es:

    • \(\mathbf{\theta_4 = 142.13^\circ}\)

  • 2. Calcular la posición del punto C: El eslabón \(\overline{O_4C}\) forma un ángulo \(\theta_C\) con la horizontal. Como el ángulo \(\gamma = \angle BO_4C\) es de \(90^\circ\) en sentido horario (restando del ángulo de la barra 4): \( \theta_C = \theta_4 - \gamma = 142.13^\circ - 90^\circ = 52.13^\circ \) Las coordenadas de C son (relativas a \(O_4\) que está en (0.25, 0)): \( x_C = x_{O_4} + \overline{O_4C}\cos\theta_C = 0.25 + 0.45\cos(52.13^\circ) = 0.25 + 0.276 = 0.526 \text{ m} \) \( y_C = y_{O_4} + \overline{O_4C}\sin\theta_C = 0 + 0.45\sin(52.13^\circ) = 0.355 \text{ m} \)

    • Coordenadas de C: (0.526, 0.355) m

  • 3. Calcular la posición de la corredera D: El punto D está en el eje x (\(y_D=0\)). La distancia \(\overline{CD}\) es de \(0.50 \text{ m}\). Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por C, D y la proyección de C sobre el eje x: \( (\overline{CD})^2 = (x_C - x_D)^2 + (y_C - y_D)^2 \) \( 0.5^2 = (0.526 - x_D)^2 + (0.355 - 0)^2 \) \( 0.25 = (0.526 - x_D)^2 + 0.126 \) \( (0.526 - x_D)^2 = 0.124 \implies 0.526 - x_D = \pm\sqrt{0.124} = \pm 0.352 \) Las dos posibles soluciones para \(x_D\) son \(x_D = 0.526 \mp 0.352\). La que corresponde a la figura (más a la derecha) es:

    • Posición de la corredera D: \(x_D = 0.878 \text{ m}\)

  • Resultados Finales de Posición:

    • Ángulo del eslabón 4: \(\mathbf{\theta_4 = 142.13^\circ}\)

    • Coordenadas de C: (0.526, 0.355) m

    • Posición de la corredera D: \(\mathbf{x_D = 0.878}\)

Análisis de velocidad#

En el mismo instante (\(\theta_2 = 225^\circ\)), la manivela gira en sentido horario a \(1\) rad/s constante: \(\vec{\omega}_2 = -1\,\hat{k}\) rad/s. Calcule las velocidades angulares de todos los eslabones y la velocidad de la corredera D.

Datos del análisis de posición, completados con el ángulo del acoplador, \(\theta_3 = 77.65^\circ\) (en metros):

\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{r}_{O_2A} &= -0.2121\,\hat{i} - 0.2121\,\hat{j}, &\quad \vec{r}_{AB} &= 0.1069\,\hat{i} + 0.4884\,\hat{j}, &\quad \vec{r}_{O_4B} &= -0.3552\,\hat{i} + 0.2763\,\hat{j}, \\ \vec{r}_{O_4C} &= 0.2763\,\hat{i} + 0.3552\,\hat{j}, &\quad \vec{r}_{CD} &= 0.3519\,\hat{i} - 0.3552\,\hat{j} & & \end{aligned} \end{split}\]

Resolución#

El mecanismo se resuelve lazo a lazo, en el mismo orden que el problema de posición: primero el lazo de cuatro barras \(O_2ABO_4\), cuyo resultado da el movimiento del eslabón 4 (la escuadra \(BO_4C\)), y después el lazo biela-manivela \(O_4CD\).

Lazo 1 (\(O_2ABO_4\)). La velocidad de A es:

\[ \vec{v}_A = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O_2A} = -1\,\hat{k} \times (-0.2121\,\hat{i} - 0.2121\,\hat{j}) = -0.2121\,\hat{i} + 0.2121\,\hat{j}~\text{m/s} \]

y la velocidad de B, desde el eslabón 3 y desde el eslabón 4:

\[ \vec{v}_A + \omega_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{AB} = \omega_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B} \;\rightarrow\; (-0.2121\,\hat{i} + 0.2121\,\hat{j}) + \omega_3\,(-0.4884\,\hat{i} + 0.1069\,\hat{j}) = \omega_4\,(-0.2763\,\hat{i} - 0.3552\,\hat{j}) \]
\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} \hat{i}:&\quad -0.4884\,\omega_3 + 0.2763\,\omega_4 = 0.2121 \\ \hat{j}:&\quad 0.1069\,\omega_3 + 0.3552\,\omega_4 = -0.2121 \end{aligned} \right. \quad\rightarrow\quad \omega_3 = -0.660~\text{rad/s}, \qquad \omega_4 = -0.399~\text{rad/s} \end{split}\]

Lazo 2 (\(O_4CD\)). El punto C pertenece al eslabón 4, luego:

\[ \vec{v}_C = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O_4C} = -0.399\,\hat{k} \times (0.2763\,\hat{i} + 0.3552\,\hat{j}) = 0.1416\,\hat{i} - 0.1101\,\hat{j}~\text{m/s} \]

La corredera D se mueve según el eje \(X\), así que \(\vec{v}_D = v_D\,\hat{i}\), y también pertenece al eslabón 5 junto con C:

\[ v_D\,\hat{i} = \vec{v}_C + \omega_5\,\hat{k} \times \vec{r}_{CD} = (0.1416\,\hat{i} - 0.1101\,\hat{j}) + \omega_5\,(0.3552\,\hat{i} + 0.3519\,\hat{j}) \]

La componente \(\hat{j}\) da directamente \(\omega_5\), y después la componente \(\hat{i}\) da \(v_D\):

\[ 0 = -0.1101 + 0.3519\,\omega_5 \;\rightarrow\; \omega_5 = 0.313~\text{rad/s}, \qquad v_D = 0.1416 + 0.3552\,\omega_5 = 0.253~\text{m/s} \]

En resumen: \(\vec{\omega}_3 = -0.660\,\hat{k}\) rad/s y \(\vec{\omega}_4 = -0.399\,\hat{k}\) rad/s (ambas horarias), \(\vec{\omega}_5 = 0.313\,\hat{k}\) rad/s (antihoraria) y \(\vec{v}_D = 0.253\,\hat{i}\) m/s (hacia la derecha).

Análisis de aceleración#

Calcule las aceleraciones angulares de todos los eslabones y la aceleración de la corredera D, sabiendo que la manivela gira a velocidad constante (\(\vec{\alpha}_2 = \vec{0}\)).

Resolución#

Lazo 1 (\(O_2ABO_4\)). Como \(\alpha_2 = 0\), la aceleración de A solo tiene componente normal, que apunta hacia \(O_2\):

\[ \vec{a}_A = -\omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A} = 0.2121\,\hat{i} + 0.2121\,\hat{j}~\text{m/s}^2 \]

La aceleración de B, desde el eslabón 3 y desde el eslabón 4:

\[ \vec{a}_A + \alpha_3\,\hat{k} \times \vec{r}_{AB} - \omega_3^2\,\vec{r}_{AB} = \alpha_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4B} - \omega_4^2\,\vec{r}_{O_4B} \]

donde las componentes normales son conocidas del análisis de velocidades:

\[ -\omega_3^2\,\vec{r}_{AB} = -0.0466\,\hat{i} - 0.2126\,\hat{j}, \qquad -\omega_4^2\,\vec{r}_{O_4B} = 0.0564\,\hat{i} - 0.0439\,\hat{j} \]

Sustituyendo y proyectando sobre los ejes:

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} \hat{i}:&\quad -0.4884\,\alpha_3 + 0.2763\,\alpha_4 = 0.0564 - 0.2121 + 0.0466 = -0.1091 \\ \hat{j}:&\quad 0.1069\,\alpha_3 + 0.3552\,\alpha_4 = -0.0439 - 0.2121 + 0.2126 = -0.0434 \end{aligned} \right. \quad\rightarrow\quad \alpha_3 = 0.132~\text{rad/s}^2, \qquad \alpha_4 = -0.162~\text{rad/s}^2 \end{split}\]

Nótese que los coeficientes de las incógnitas son los mismos que en el problema de velocidades: solo cambia el término independiente.

Lazo 2 (\(O_4CD\)). La aceleración de C, como punto del eslabón 4:

\[ \vec{a}_C = \alpha_4\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4C} - \omega_4^2\,\vec{r}_{O_4C} = (0.0575\,\hat{i} - 0.0447\,\hat{j}) + (-0.0439\,\hat{i} - 0.0564\,\hat{j}) = 0.0136\,\hat{i} - 0.1012\,\hat{j}~\text{m/s}^2 \]

y la aceleración de D, que se mueve según el eje \(X\) (\(\vec{a}_D = a_D\,\hat{i}\)), como punto del eslabón 5:

\[ a_D\,\hat{i} = \vec{a}_C + \alpha_5\,\hat{k} \times \vec{r}_{CD} - \omega_5^2\,\vec{r}_{CD} = (0.0136\,\hat{i} - 0.1012\,\hat{j}) + \alpha_5\,(0.3552\,\hat{i} + 0.3519\,\hat{j}) + (-0.0345\,\hat{i} + 0.0348\,\hat{j}) \]
\[ \hat{j}:\; 0 = -0.1012 + 0.3519\,\alpha_5 + 0.0348 \;\rightarrow\; \alpha_5 = 0.189~\text{rad/s}^2, \qquad \hat{i}:\; a_D = 0.0136 + 0.3552\,\alpha_5 - 0.0345 = 0.046~\text{m/s}^2 \]

En resumen: \(\vec{\alpha}_3 = 0.132\,\hat{k}\) rad/s², \(\vec{\alpha}_4 = -0.162\,\hat{k}\) rad/s², \(\vec{\alpha}_5 = 0.189\,\hat{k}\) rad/s² y \(\vec{a}_D = 0.046\,\hat{i}\) m/s².