## Ejemplo 2.5 Análisis cinemático de un mecanismo de 6 barras

### Análisis de posición

La figura muestra un mecanismo de 6 barras. En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 225^{\circ}$ con la horizontal, calcule la posición de la corredera, el ángulo que el segmento $O_4B$ forma con la horizontal, y las coordenadas del punto C.

![fig6B.jpg](./figs/fig6B.jpg)

Datos:

Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 0.30;\, \overline{AB} = 0.5;\, \overline{O_4B} = \overline{O_4C} = 0.45;\, \overline{C D} = 0.50;$
el ángulo $\gamma$ entre $\overline{O_4B}$ y $\overline{O_4C}$ es de $90^\circ$.
$\overline{O_2 O_4} = 0.25;$
La corredera se mueve horizontalmente sobre el eje x.

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### Análisis de Posición (Método Gráfico)

El objetivo es construir el mecanismo a escala para medir las incógnitas: el ángulo $\theta_4$, las coordenadas del punto C, y la posición de la corredera D.

### Procedimiento de Construcción:

1.  **Localizar los pivotes fijos:** Colocar $O_2$ en el origen (0,0) y $O_4$ en (0.25, 0).
2.  **Posicionar la manivela (Eslabón 2):** Desde $O_2$, dibujar el eslabón 2 con una longitud de 0.30 m y un ángulo $\theta_2 = 225^\circ$ para encontrar el punto A.
3.  **Cerrar el primer lazo (4-barras):**
    *   Dibujar una circunferencia con centro A y radio $\overline{AB} = 0.5$ m.
    *   Dibujar una circunferencia con centro $O_4$ y radio $\overline{O_4B} = 0.45$ m.
    *   La intersección de ambas circunferencias da la posición del punto B. Elegir la solución que corresponde a la figura.
4.  **Localizar el punto C:**
    *   Dibujar la línea que conecta $O_4$ y B.
    *   Girar esta línea $90^\circ$ en sentido horario alrededor de $O_4$.
    *   Sobre esta nueva línea, medir una distancia $\overline{O_4C} = 0.45$ m desde $O_4$ para encontrar el punto C.
5.  **Localizar la corredera D:**
    *   Dibujar una circunferencia con centro C y radio $\overline{CD} = 0.50$ m.
    *   La intersección de esta circunferencia con el eje horizontal (eje x) da la posición de la corredera D. Elegir la solución que corresponde a la figura.
6.  **Medición de resultados:** Medir en el software gráfico el ángulo de la barra $O_4B$ ($\theta_4$), las coordenadas de C, y la coordenada x de D.

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### Análisis de Posición (Método Analítico)

El problema se resuelve en dos partes: primero el lazo de cuatro barras $O_2ABO_4$ y luego la díada $O_4CD$.

#### Formulación del Lazo Vectorial (Lazo 1: $O_2ABO_4$)

La ecuación del lazo es $\vec{L}_2 + \vec{L}_3 = \vec{L}_1 + \vec{L}_4$. Descomponiendo en componentes x e y:
*   $L_2\cos\theta_2 + L_3\cos\theta_3 = L_1 + L_4\cos\theta_4$
*   $L_2\sin\theta_2 + L_3\sin\theta_3 = L_4\sin\theta_4$

Reordenando y elevando al cuadrado para eliminar $\theta_3$, llegamos a una ecuación de la forma $A\cos\theta_4 + B\sin\theta_4 = C$, que permite resolver para $\theta_4$.

Cálculo Numérico:

*   **Datos Iniciales:**
    *   $L_1 = \overline{O_2O_4} = 0.25 \text{ m}$
    *   $L_2 = \overline{O_2A} = 0.30 \text{ m}$
    *   $L_3 = \overline{AB} = 0.5 \text{ m}$
    *   $L_4 = \overline{O_4B} = 0.45 \text{ m}$
    *   $\overline{O_4C} = 0.45 \text{ m}$
    *   $\overline{CD} = 0.50 \text{ m}$
    *   $\theta_2 = 225^\circ$
    *   $\gamma = 90^\circ$ (ángulo $\angle BO_4C$, horario)

*   **1. Resolver el lazo de 4 barras ($O_2ABO_4$):**
    Se resuelve la ecuación de Freudenstein para $\theta_4$. Las constantes son:
    *   $A = 2L_1L_4 - 2L_2L_4\cos\theta_2 = 2(0.25)(0.45) - 2(0.3)(0.45)\cos(225^\circ) = 0.4159$
    *   $B = -2L_2L_4\sin\theta_2 = -2(0.3)(0.45)\sin(225^\circ) = 0.1909$
    *   $C = L_3^2 - L_1^2 - L_2^2 - L_4^2 + 2L_1L_2\cos\theta_2 = 0.5^2 - 0.25^2 - 0.3^2 - 0.45^2 + 2(0.25)(0.3)\cos(225^\circ) = -0.2111$
    
    Resolver $0.4159\cos\theta_4 + 0.1909\sin\theta_4 = -0.2111$ da dos soluciones. La que corresponde a la figura es:
    *   $\mathbf{\theta_4 = 142.13^\circ}$

*   **2. Calcular la posición del punto C:**
    El eslabón $\overline{O_4C}$ forma un ángulo $\theta_C$ con la horizontal. Como el ángulo $\gamma = \angle BO_4C$ es de $90^\circ$ en sentido horario (restando del ángulo de la barra 4):
    $ \theta_C = \theta_4 - \gamma = 142.13^\circ - 90^\circ = 52.13^\circ $
    Las coordenadas de C son (relativas a $O_4$ que está en (0.25, 0)):
    $ x_C = x_{O_4} + \overline{O_4C}\cos\theta_C = 0.25 + 0.45\cos(52.13^\circ) = 0.25 + 0.276 = 0.526 \text{ m} $
    $ y_C = y_{O_4} + \overline{O_4C}\sin\theta_C = 0 + 0.45\sin(52.13^\circ) = 0.355 \text{ m} $
    *   **Coordenadas de C: (0.526, 0.355) m**

*   **3. Calcular la posición de la corredera D:**
    El punto D está en el eje x ($y_D=0$). La distancia $\overline{CD}$ es de $0.50 \text{ m}$. Usando el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por C, D y la proyección de C sobre el eje x:
    $ (\overline{CD})^2 = (x_C - x_D)^2 + (y_C - y_D)^2 $
    $ 0.5^2 = (0.526 - x_D)^2 + (0.355 - 0)^2 $
    $ 0.25 = (0.526 - x_D)^2 + 0.126 $
    $ (0.526 - x_D)^2 = 0.124 \implies 0.526 - x_D = \pm\sqrt{0.124} = \pm 0.352 $
    Las dos posibles soluciones para $x_D$ son $x_D = 0.526 \mp 0.352$. La que corresponde a la figura (más a la derecha) es:
    *   **Posición de la corredera D: $x_D = 0.878 \text{ m}$**

*   **Resultados Finales de Posición:**
    *   Ángulo del eslabón 4: $\mathbf{\theta_4 = 142.13^\circ}$
    *   Coordenadas de C: **(0.526, 0.355) m**
    *   Posición de la corredera D: $\mathbf{x_D = 0.878}$