Introducción y Conceptos Previos#
Un tren de engranajes es una cadena cinemática formada por varias ruedas dentadas que engranan entre sí. Se utilizan cuando no es viable resolver la transmisión de potencia o movimiento con un único par de ruedas.
¿Cuándo usar un tren de engranajes?#
Existen limitaciones físicas y de diseño que impiden usar solo dos ruedas para todas las aplicaciones:
Relación de transmisión (\(i\)) muy elevada: Conseguirla con un solo par requeriría una rueda inmensa y un piñón minúsculo, lo cual es ineficiente y voluminoso.
Relación \(i\) irreducible: Si los términos de la fracción deseada contienen factores primos muy altos que superan el número máximo de dientes admisible (ej. 127, 131…), no se pueden fabricar directamente.
Relación \(i\) irracional: Valores inconmensurables como \(\pi\) o \(\sqrt{7}\) no pueden obtenerse con exactitud mediante números enteros de dientes, requiriendo aproximaciones (ver Sección 7).
Distancia entre centros grande: Requeriría ruedas de diámetros excesivos que aumentarían el peso y la inercia.
Necesidad de invertir el giro o derivar el movimiento a varios ejes (como en los diferenciales).
Distinción fundamental: Eje vs. Árbol#
Es crucial distinguir estos dos elementos mecánicos, aunque coloquialmente se usen como sinónimos:
Eje (Axle): Elemento que sustenta piezas giratorias pero NO transmite par torsor. Su principal esfuerzo es la flexión. Puede ser fijo o giratorio.
Árbol (Shaft): Elemento giratorio que SÍ transmite potencia (par torsor) y movimiento. Está sometido a torsión y flexión.
Nota de diseño: En los trenes de engranajes, calcularemos el par en los árboles de transmisión.
Criterios de Diseño#
Para garantizar un funcionamiento óptimo y fabricable, el diseño de trenes de engranajes debe regirse por una serie de recomendaciones prácticas que aseguren la viabilidad mecánica y económica del conjunto.
Selección del Número de Dientes (\(Z\))#
Límite inferior (Interferencias): Se debe respetar el límite práctico de 14 dientes.
Si \(Z \ge 14\): Diseño estándar seguro.
Si \(Z < 14\): Es obligatorio especificar corrección de perfil (desplazamiento) para evitar el socavado y debilitamiento del diente.
Límite superior: El tamaño máximo de la rueda está limitado por la capacidad de la talladora y el espacio disponible.
Usos industriales generales: Máximo 100-150 dientes.
Mecánica de precisión (relojería): Se admiten hasta 200 dientes.
Relación de Transmisión por Etapa#
No es aconsejable realizar toda la reducción en una sola etapa si la relación es muy alta.
Umbrales máximos: Se recomienda que la relación de transmisión parcial de cada par engranado no supere valores entre 5 y 10 (siendo 5-7 el límite habitual en transmisión de potencia).
Justificación: Relaciones superiores implican piñones muy pequeños frente a ruedas muy grandes, lo que reduce el arco de contacto, disminuye el rendimiento e incrementa el ruido y el desgaste.
Reparto de la relación: En trenes compuestos, se busca que las relaciones parciales de los diferentes grupos sean lo más similares posible entre sí.
Estrategias de Optimización#
Estandarización: Siempre que sea posible, se procurará que el mayor número de ruedas tengan el mismo número de dientes para abaratar la fabricación y el stock.
Criterio de selección: Ante dos diseños cinemáticamente equivalentes, se suele elegir el que tenga el menor número total de dientes (menor peso, inercia y coste).
Estimación del número de etapas: Si necesitamos una relación total \(i_{total}\) y fijamos un límite por etapa \(i_{max}\), el número mínimo de etapas (\(x\)) necesario se estima mediante: \(x \ge \frac{\log(i_{total})}{\log(i_{max})}\) El número de ejes involucrados será \(x + 1\).
Disposición de Ejes#
Trenes Recurrentes (Coaxiales): Aquellos donde el eje de entrada y el de salida están alineados geométricamente. Son típicos en cajas de cambio de automoción y reductores planetarios.
Signo de la transmisión: El sentido de giro final depende del producto de los signos de cada etapa.
Clasificación de los Trenes#
Según la movilidad de los ejes de las ruedas, los trenes se clasifican en:
Trenes Ordinarios: Todos los ejes de rotación son fijos en el espacio (se apoyan en la carcasa o bastidor).
Trenes Epicicloidales (o Planetarios): Al menos uno de los ejes de las ruedas tiene movimiento de rotación alrededor de otro eje. Son sistemas con 2 Grados de Libertad.
Trenes Ordinarios#
En estos trenes, la relación de transmisión total se calcula a partir de las relaciones de cada par engranado.
4.1. Tren Ordinario Simple#
Existe una sola rueda por cada eje.
Las ruedas intermedias (llamadas “ruedas locas”) invierten el sentido de giro pero no afectan al valor numérico de la relación de transmisión final. Solo influyen el tamaño de la primera y la última rueda.
\(i = \frac{\omega_{salida}}{\omega_{entrada}} = (-1)^n \cdot \frac{Z_{entrada}}{Z_{salida}}\)
(Donde \(n\) es el número de contactos externos).
4.2. Tren Ordinario Compuesto#
Existen ejes que portan más de una rueda (ruedas solidarias al mismo árbol). Aquí las ruedas intermedias SÍ afectan a la relación de transmisión.
Fórmula General: La relación de transmisión total es el producto de las relaciones parciales:
\(i_{total} = \frac{\omega_{salida}}{\omega_{entrada}} = (\pm 1) \cdot \frac{\Pi Z_{conductoras}}{\Pi Z_{conducidas}}\)
Signo: Depende del número de engranes exteriores (cada uno invierte el giro).
Ventaja: Permite obtener grandes reducciones en espacios reducidos.
Síntesis de Trenes de Engranajes#
El problema inverso: Dado un ratio \(i\) deseado, ¿cuántos dientes deben tener las ruedas?
Caso 1: \(i\) es un número racional factorizable#
Si \(i = A/B\) y se pueden descomponer en factores primos aptos para el dentado (\(Z \ge 17\), o \(Z \ge 14\) con corrección ligera).
Caso 2: \(i\) es irracional o de factores primos altos#
Cuando no podemos encontrar una fracción exacta viable.
Recordatorio del Tema 7: Este procedimiento se detalló en el tema anterior (“Aproximación de relaciones de transmisión”).
Método de las Fracciones Continuas: Desarrollamos el número objetivo en una fracción continua y truncamos para obtener convergentes racionales que minimicen el error usando números de dientes fabricables.
\(i \approx a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \dots}}\)