## Introducción y Conceptos Previos

Un **tren de engranajes** es una cadena cinemática formada por varias ruedas dentadas que engranan entre sí. Se utilizan cuando no es viable resolver la transmisión de potencia o movimiento con un único par de ruedas.

### ¿Cuándo usar un tren de engranajes?

Existen limitaciones físicas y de diseño que impiden usar solo dos ruedas para todas las aplicaciones:

*   **Relación de transmisión ($i$) muy elevada:** Conseguirla con un solo par requeriría una rueda inmensa y un piñón minúsculo, lo cual es ineficiente y voluminoso.
*   **Relación $i$ irreducible:** Si los términos de la fracción deseada contienen factores primos muy altos que superan el número máximo de dientes admisible (ej. 127, 131...), no se pueden fabricar directamente.
*   **Relación $i$ irracional:** Valores inconmensurables como $\pi$ o $\sqrt{7}$ no pueden obtenerse con exactitud mediante números enteros de dientes, requiriendo aproximaciones (ver Sección 7).
*   **Distancia entre centros grande:** Requeriría ruedas de diámetros excesivos que aumentarían el peso y la inercia.
*   **Necesidad de invertir el giro** o derivar el movimiento a varios ejes (como en los diferenciales).

### Distinción fundamental: Eje vs. Árbol

Es crucial distinguir estos dos elementos mecánicos, aunque coloquialmente se usen como sinónimos:

*   **Eje (Axle):** Elemento que sustenta piezas giratorias pero **NO transmite par torsor**. Su principal esfuerzo es la flexión. Puede ser fijo o giratorio.
*   **Árbol (Shaft):** Elemento giratorio que **SÍ transmite potencia** (par torsor) y movimiento. Está sometido a torsión y flexión.

> **Nota de diseño:** En los trenes de engranajes, calcularemos el par en los **árboles** de transmisión.

<img src="./figs/imagenes_tema_08/Eje_vs_Arbol.png" alt="Diferencia entre Eje (I) y Árbol (II)" width="400px">

### Criterios de Diseño

Para garantizar un funcionamiento óptimo y fabricable, el diseño de trenes de engranajes debe regirse por una serie de recomendaciones prácticas que aseguren la viabilidad mecánica y económica del conjunto.

#### Selección del Número de Dientes ($Z$)

*   **Límite inferior (Interferencias):** Se debe respetar el límite práctico de **14 dientes**.
    *   Si $Z \ge 14$: Diseño estándar seguro.
    *   Si $Z < 14$: Es obligatorio especificar **corrección de perfil** (desplazamiento) para evitar el socavado y debilitamiento del diente.
*   **Límite superior:** El tamaño máximo de la rueda está limitado por la capacidad de la talladora y el espacio disponible.
    *   Usos industriales generales: Máximo 100-150 dientes.
    *   Mecánica de precisión (relojería): Se admiten hasta 200 dientes.

#### Relación de Transmisión por Etapa

No es aconsejable realizar toda la reducción en una sola etapa si la relación es muy alta.

*   **Umbrales máximos:** Se recomienda que la relación de transmisión parcial de cada par engranado no supere valores entre **5 y 10** (siendo 5-7 el límite habitual en transmisión de potencia).
    *   *Justificación:* Relaciones superiores implican piñones muy pequeños frente a ruedas muy grandes, lo que reduce el arco de contacto, disminuye el rendimiento e incrementa el ruido y el desgaste.
*   **Reparto de la relación:** En trenes compuestos, se busca que las relaciones parciales de los diferentes grupos sean **lo más similares posible** entre sí.

#### Estrategias de Optimización

*   **Estandarización:** Siempre que sea posible, se procurará que el mayor número de ruedas tengan el mismo número de dientes para abaratar la fabricación y el stock.
*   **Criterio de selección:** Ante dos diseños cinemáticamente equivalentes, se suele elegir el que tenga el **menor número total de dientes** (menor peso, inercia y coste).
*   **Estimación del número de etapas:**
    Si necesitamos una relación total $i_{total}$ y fijamos un límite por etapa $i_{max}$, el número mínimo de etapas ($x$) necesario se estima mediante:
    $x \ge \frac{\log(i_{total})}{\log(i_{max})}$
    El número de ejes involucrados será $x + 1$.

#### Disposición de Ejes

*   **Trenes Recurrentes (Coaxiales):** Aquellos donde el eje de entrada y el de salida están alineados geométricamente. Son típicos en cajas de cambio de automoción y reductores planetarios.
*   **Signo de la transmisión:** El sentido de giro final depende del producto de los signos de cada etapa.


### Clasificación de los Trenes

Según la movilidad de los ejes de las ruedas, los trenes se clasifican en:

*   **Trenes Ordinarios:** Todos los ejes de rotación son **fijos** en el espacio (se apoyan en la carcasa o bastidor).
*   **Trenes Epicicloidales (o Planetarios):** Al menos uno de los ejes de las ruedas tiene **movimiento de rotación** alrededor de otro eje. Son sistemas con 2 Grados de Libertad.

### Trenes Ordinarios

En estos trenes, la relación de transmisión total se calcula a partir de las relaciones de cada par engranado.

#### 4.1. Tren Ordinario Simple

Existe una sola rueda por cada eje.

Las ruedas intermedias (llamadas **"ruedas locas"**) invierten el sentido de giro pero **no afectan al valor numérico** de la relación de transmisión final. Solo influyen el tamaño de la primera y la última rueda.

$i = \frac{\omega_{salida}}{\omega_{entrada}} = (-1)^n \cdot \frac{Z_{entrada}}{Z_{salida}}$

*(Donde $n$ es el número de contactos externos).*

<img src="./figs/imagenes_tema_08/Tren_Ordinario_Simple_1.gif" alt="Tren Ordinario Simple 1" width="300px">

<img src="./figs/imagenes_tema_08/Tren_Ordinario_Simple_2.gif" alt="Tren Ordinario Simple 2" width="300px">

#### 4.2. Tren Ordinario Compuesto

Existen ejes que portan **más de una rueda** (ruedas solidarias al mismo árbol). Aquí las ruedas intermedias **SÍ afectan** a la relación de transmisión.

**Fórmula General:**
La relación de transmisión total es el producto de las relaciones parciales:

$i_{total} = \frac{\omega_{salida}}{\omega_{entrada}} = (\pm 1) \cdot \frac{\Pi Z_{conductoras}}{\Pi Z_{conducidas}}$

*   **Signo:** Depende del número de engranes exteriores (cada uno invierte el giro).
*   **Ventaja:** Permite obtener grandes reducciones en espacios reducidos.

<img src="./figs/imagenes_tema_08/Trenes_Ordinarios.png" alt="Tren Ordinario Simple y Compuesto" width="600px">

### Síntesis de Trenes de Engranajes

El problema inverso: Dado un ratio $i$ deseado, ¿cuántos dientes deben tener las ruedas?

#### Caso 1: $i$ es un número racional factorizable
Si $i = A/B$ y se pueden descomponer en factores primos aptos para el dentado ($Z \ge 17$, o $Z \ge 14$ con corrección ligera).

#### Caso 2: $i$ es irracional o de factores primos altos
Cuando no podemos encontrar una fracción exacta viable.

> **Recordatorio del Tema 7:** Este procedimiento se detalló en el tema anterior ("Aproximación de relaciones de transmisión").

**Método de las Fracciones Continuas:**
Desarrollamos el número objetivo en una fracción continua y truncamos para obtener convergentes racionales que minimicen el error usando números de dientes fabricables.

$i \approx a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \dots}}$