Análisis de Velocidad

Una vez conocida la posición, podemos determinar las velocidades.

Todos los métodos de análisis de velocidades son aplicaciones de las dos fórmulas de velocidades deducidas en Cinemática de puntos y sólidos rígidos:

• Para dos puntos \(A\) y \(B\) del mismo eslabón rígido, que gira con \(\vec{\omega}\):

  \[ \vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}, \qquad \vec{v}_{B/A} = \vec{\omega} \times \vec{r}_{AB} \]

  El término clave es \(\vec{v}_{B/A}\), la velocidad de B relativa a A. Como la distancia entre ambos puntos no puede cambiar, el único movimiento relativo posible es un giro de \(B\) alrededor de \(A\), así que \(\vec{v}_{B/A}\) siempre es perpendicular al segmento AB, con módulo \(|\omega|\,\overline{AB}\).

• Para un punto \(P\) que desliza sobre un eslabón, entre el punto de la corredera (\(P_3\)) y el punto coincidente del eslabón que lleva la guía (\(P_4\)):

  \[ \vec{v}_{P_3} = \vec{v}_{P_4} + \vec{v}_{P_3/P_4} \]

  donde la velocidad de deslizamiento \(\vec{v}_{P_3/P_4}\) tiene la dirección de la guía.

Método Analítico

El procedimiento es el mismo para cualquier mecanismo plano:

1. Resolver primero el problema de posición: todos los ángulos y vectores de posición deben ser conocidos.

2. Escribir la velocidad de los puntos de interés siguiendo los eslabones, partiendo de un punto de velocidad conocida (un pivote fijo, o el eslabón de entrada) y aplicando las ecuaciones anteriores eslabón a eslabón. Hay que buscar puntos a los que se pueda llegar por dos caminos distintos; por ejemplo, el par \(B\) de un cuadrilátero articulado, desde \(A\) a través del eslabón 3 y desde \(O_4\) a través del eslabón 4.

3. Identificar las incógnitas. En problemas planos, las velocidades angulares son \(\omega_n\,\hat{k}\) (dirección conocida, valor desconocido) y las velocidades de deslizamiento tienen la dirección conocida de su guía, así que cada incógnita es un único escalar.

4. Igualar ambas expresiones y proyectarlas sobre \(\hat{i}\) y \(\hat{j}\). Cada ecuación vectorial da dos ecuaciones escalares, que permiten despejar dos incógnitas.

5. Resolver el sistema. Las ecuaciones siempre son lineales en las velocidades desconocidas, así que (a diferencia del problema de posición) la solución es única. El signo de cada resultado da su sentido: las velocidades angulares positivas son antihorarias.

6. Conocidas todas las velocidades angulares, la velocidad de cualquier otro punto (por ejemplo, un punto \(C\) del acoplador) se obtiene directamente con la ecuación del sólido rígido.

Para un cuadrilátero articulado, la velocidad del par \(B\) es:

\[ \vec{v}_B = \underbrace{\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O_2A}}_{\vec{v}_A} + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB} \qquad\text{y también}\qquad \vec{v}_B = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O_4B} \]

así que igualando ambas expresiones se obtienen dos ecuaciones con las dos incógnitas \(\omega_3\) y \(\omega_4\). El ejemplo Ejemplo 2.1: Análisis cinemático de un mecanismo de cuatro barras resuelve este problema paso a paso.

Equivalencia con la derivada de la ecuación de lazo

Las mismas ecuaciones se obtienen derivando la ecuación vectorial de lazo del problema de posición, \(\vec{L}_2 + \vec{L}_3 = \vec{L}_1 + \vec{L}_4\). Cada \(\vec{L}_n\) es un vector de longitud constante que gira con su eslabón, luego \(\dot{\vec{L}}_n = \vec{\omega}_n \times \vec{L}_n\), mientras que el vector de la bancada \(\vec{L}_1\) es constante:

\[ \vec{\omega}_2 \times \vec{L}_2 + \vec{\omega}_3 \times \vec{L}_3 = \vec{\omega}_4 \times \vec{L}_4 \]

Proyectando sobre los ejes (con \(\omega_n\,\hat{k} \times \vec{L}_n = L_n\,\omega_n\,(-\sin\theta_n\,\hat{i} + \cos\theta_n\,\hat{j})\)) y escribiendo el resultado en forma matricial:

\[\begin{split} \underbrace{\begin{pmatrix} -L_3\sin\theta_3 & L_4\sin\theta_4 \\ L_3\cos\theta_3 & -L_4\cos\theta_4 \end{pmatrix}}_{\mathbf{J}} \begin{pmatrix} \omega_3 \\ \omega_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} L_2\,\omega_2\sin\theta_2 \\ -L_2\,\omega_2\cos\theta_2 \end{pmatrix} \end{split}\]

un sistema lineal cuya solución (por la regla de Cramer) es:

\[ \omega_3 = \frac{L_2\,\omega_2\,\sin(\theta_4 - \theta_2)}{L_3\,\sin(\theta_3 - \theta_4)}, \qquad \omega_4 = \frac{L_2\,\omega_2\,\sin(\theta_3 - \theta_2)}{L_4\,\sin(\theta_3 - \theta_4)} \]

Estas expresiones revelan dos posiciones especiales del mecanismo:

• \(\omega_4 = 0\) cuando \(\sin(\theta_3 - \theta_2) = 0\), es decir, cuando la manivela y el acoplador están alineados: el eslabón de salida está en una de sus posiciones extremas, donde invierte su movimiento.

• El determinante de \(\mathbf{J}\), \(L_3 L_4\sin(\theta_3 - \theta_4)\), se anula cuando el acoplador y el eslabón de salida están alineados. En este punto muerto el eslabón de entrada no puede mover el mecanismo.

La matriz \(\mathbf{J}\) solo depende de la posición. Como se ve en Análisis de Aceleración, el problema de aceleraciones lleva a un sistema lineal con la misma matriz.

Método Gráfico: Polígono de Velocidades

El método gráfico dibuja a escala las mismas ecuaciones vectoriales. La propiedad de que \(\vec{v}_{B/A}\) es perpendicular a \(AB\) es la base del polígono de velocidades (también llamado cinema de velocidades):

1. Origen de velocidades: Se elige un punto (\(O_v\)) para representar la velocidad cero (el bastidor).

2. Vector conocido: Se calcula y se dibuja a escala el primer vector de velocidad conocido. Por ejemplo, \(\vec{v}_A = \vec{\omega}_2 \times \vec{R}_A\), que es perpendicular a \(O_2A\). Se dibuja desde \(O_v\).

3. Construir la ecuación: Para la ecuación \(\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}\), sabemos que:

   • La dirección de \(\vec{v}_B\) es perpendicular a \(O_4B\) (rotación pura alrededor de \(O_4\)). Se traza una línea con esta dirección desde el origen \(O_v\).

   • La dirección de \(\vec{v}_{B/A}\) es perpendicular a \(AB\). Se traza una línea con esta dirección desde la punta del vector \(\vec{v}_A\).

4. Cerrar el polígono: La intersección de estas dos líneas define las puntas de los vectores \(\vec{v}_B\) y \(\vec{v}_{B/A}\). Midiendo sus longitudes a escala, obtenemos sus magnitudes y, a partir de ellas, las velocidades angulares \(\omega_3 = |\vec{v}_{B/A}| / L_{AB}\) y \(\omega_4 = |\vec{v}_B| / L_{O4B}\).

El sentido de cada velocidad angular se lee en el polígono: \(\vec{v}_{B/A}\) es la velocidad de \(B\) girando alrededor de \(A\), así que indica si el eslabón 3 gira en sentido horario o antihorario. Cada ecuación vectorial dibujada en el polígono es exactamente una de las ecuaciones del método analítico: gráficamente, las dos incógnitas escalares son las longitudes de los dos vectores cuya dirección se conoce.

Homología y Velocidad de un Punto Cualquiera

El polígono de velocidades es una imagen a escala del mecanismo, girada 90°. Esta propiedad, conocida como homología, es extremadamente útil. Para encontrar la velocidad de un punto cualquiera C en el acoplador AB, es suficiente localizar un punto c en el segmento ab del polígono de velocidades, tal que se mantenga la relación de distancias: \(AC/AB = ac/ab\). El vector desde \(O_v\) hasta c será el vector velocidad \(\vec{v}_C\).

Esto se debe a que \(\vec{v}_{C/A} = \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AC}\) y \(\vec{v}_{B/A} = \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}\): el producto vectorial por \(\omega_3\,\hat{k}\) gira \(90^\circ\) todos los vectores del eslabón 3 y los escala por el mismo factor \(\omega_3\), así que el triángulo \(abc\) del polígono es semejante al triángulo \(ABC\) del eslabón. Si \(C\) no está en la recta \(AB\), el triángulo \(abc\) se construye sobre \(ab\) con la misma forma que \(ABC\), girado \(90^\circ\) en el sentido de \(\omega_3\).

Método de los Centros Instantáneos de Rotación (CIR)

Las velocidades también se pueden hallar gráficamente usando los centros instantáneos de rotación de los eslabones, sin dibujar un polígono. Este método se describe en detalle, con construcciones interactivas, en Centros Instantáneos de Rotación.