Análisis de Velocidad#
Una vez conocida la posición, podemos determinar las velocidades.
Método de la Velocidad Relativa (Gráfico y Analítico)#
Este es el método más fundamental y se basa en la ecuación de la velocidad relativa entre dos puntos A y B: \( \vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A} \) El término clave es \(\vec{v}_{B/A}\), la velocidad de B relativa a A. Si A y B pertenecen al mismo eslabón rígido, no puede haber cambio en la distancia entre ellos. El único movimiento relativo posible es la rotación. Por lo tanto, la velocidad \(\vec{v}_{B/A}\) es el resultado de la rotación del eslabón AB alrededor de A, y su vector es siempre perpendicular al segmento AB.
Esta propiedad es la base del método gráfico del polígono de velocidades:
Origen de velocidades: Se elige un punto (\(O_v\)) para representar la velocidad cero (el bastidor).
Vector conocido: Se calcula y se dibuja a escala el primer vector de velocidad conocido. Por ejemplo, \(\vec{v}_A = \vec{\omega}_2 \times \vec{R}_A\), que es perpendicular a \(O_2A\). Se dibuja desde \(O_v\).
Construir la ecuación: Para la ecuación \(\vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{v}_{B/A}\), sabemos que:
La dirección de \(\vec{v}_B\) es perpendicular a \(O_4B\) (rotación pura alrededor de \(O_4\)). Se traza una línea con esta dirección desde el origen \(O_v\).
La dirección de \(\vec{v}_{B/A}\) es perpendicular a \(AB\). Se traza una línea con esta dirección desde la punta del vector \(\vec{v}_A\).
Cerrar el polígono: La intersección de estas dos líneas define las puntas de los vectores \(\vec{v}_B\) y \(\vec{v}_{B/A}\). Midiendo sus longitudes a escala, obtenemos sus magnitudes y, a partir de ellas, las velocidades angulares \(\omega_3 = |\vec{v}_{B/A}| / L_{AB}\) y \(\omega_4 = |\vec{v}_B| / L_{O4B}\).
Homología y Velocidad de un Punto Cualquiera#
El polígono de velocidades es una imagen a escala del mecanismo, girada 90°. Esta propiedad, conocida como homología, es extremadamente útil. Para encontrar la velocidad de un punto cualquiera C en el acoplador AB, es suficiente localizar un punto c en el segmento ab del polígono de velocidades, tal que se mantenga la relación de distancias: \(AC/AB = ac/ab\). El vector desde \(O_v\) hasta c será el vector velocidad \(\vec{v}_C\).
Método de los Centros Instantáneos de Rotación (CIR)#
Este es un método gráfico alternativo muy potente. Un CIR es un punto, común a dos cuerpos en movimiento, en el que sus velocidades son idénticas en ese instante. El CIR entre un eslabón en movimiento y el bastidor (\(I_{1,k}\)) es un punto de pivote virtual sobre el cual el eslabón \(k\) parece estar en rotación pura en ese instante.
El Teorema de Aronhold-Kennedy (o Teorema de los Tres Centros) es la clave para localizar todos los CIR. Establece que los tres CIR compartidos por tres cuerpos rígidos (\(I_{12}, I_{23}, I_{13}\)) deben ser colineales. Aplicando sistemáticamente este teorema, se pueden encontrar todos los CIR de un mecanismo.
Para el análisis de velocidad, una vez localizado el CIR de interés (p. ej., \(I_{13}\)), si conocemos la velocidad de un punto A en el eslabón 3, podemos calcular la velocidad angular de todo el eslabón como si estuviera en rotación pura alrededor de \(I_{13}\): \( \omega_3 = \frac{|\vec{v}_A|}{|\vec{R}_{A/I_{13}}|} \) Una vez conocida \(\omega_3\), la velocidad de cualquier otro punto B del eslabón se calcula fácilmente: \(|\vec{v}_B| = \omega_3 \cdot |\vec{R}_{B/I_{13}}|\).
Para saber el número de CIRs que tiene un mecanismo se utiliza la fórumla combinatoria, que relaciona todos los eslabones entre sí dos a dos:
\(n_{CIR}=C(N,2)=\frac{N\cdot(N-1)}{2}\)
donde \(N\) representa el número de eslabones, incluida tierra.