El Fenómeno de la Interferencia

El Fenómeno de la Interferencia#

La geometría de la evolvente funciona matemáticamente perfecta, pero tiene limitaciones físicas al materializarse en un engranaje real. La evolvente nace en el círculo base (\(d_b = d \cos \alpha\)). Por debajo de este círculo, la curva evolvente no existe matemáticamente.

Durante el proceso de tallado (generación por rodadura con cremallera), si el número de dientes es muy pequeño, la cremallera intenta tallar perfil por debajo del círculo base. Como la evolvente no puede extenderse ahí, la punta de la herramienta corta material de la base del diente que debería permanecer.

Interferencia de tallado

Este defecto se denomina Interferencia de Tallado o Socavado (undercutting). Sus consecuencias son:

  • Debilitamiento: La base del diente es más estrecha, reduciendo drásticamente su resistencia a flexión.

  • Pérdida de contacto: Se elimina parte del perfil activo cerca de la base, reduciendo el grado de recubrimiento (menos dientes en contacto simultáneo).

El límite teórico de dientes (\(Z_{lim}\))#

Para un ángulo de presión estándar de \(\alpha = 20^\circ\) y altura de cabeza \(h_a = m\), el número mínimo de dientes para evitar matemáticamente la interferencia es:

\(Z_{lim} = \frac{2}{\sin^2(20^\circ)} \approx 17.09 \rightarrow \textbf{17 dientes}\)

Casuísticas según el número de dientes#

Dependiendo del número de dientes de las ruedas que queremos fabricar, nos encontramos ante tres escenarios:

Zona de Seguridad (\(Z \ge 17\))#

Si el piñón tiene 17 o más dientes, la geometría es perfecta sin necesidad de trucos.

  • El diente es robusto en la base.

  • Se pueden usar engranajes estándar sin corrección (\(x=0\)).

Zona de Riesgo Aceptable (\(14 \le Z < 17\))#

Entre 14 y 17 dientes, teóricamente existe interferencia, pero es leve. En aplicaciones no críticas, se puede tolerar ese ligero socavado.

A menudo se usa el criterio práctico: \(Z_{min\_práctico} \approx 14\).

Zona de Interferencia Crítica (\(Z < 14\))#

Por debajo de 14 dientes, el socavado es severo. El diente queda tan debilitado en la base que el engranaje es inservible si no se aplica una corrección.

Corrección de Dentado (Desplazamiento de Perfil)#

Para evitar el socavado en ruedas pequeñas (\(Z < 17\)), utilizamos la técnica del Desplazamiento de Perfil. Consiste en separar la herramienta de corte (cremallera) una distancia extra con respecto al centro de la rueda durante el tallado.

Esta distancia se define como \(x \cdot m\), donde \(x\) es el coeficiente de corrección.

  • Corrección Positiva (\(x > 0\)): La herramienta se aleja del centro.

    • El diente se vuelve más ancho en la base (más fuerte).

    • El diente se vuelve más agudo en la cabeza.

    • Se elimina el socavado.

  • Corrección Negativa (\(x < 0\)): La herramienta se acerca al centro. Se usa raramente en piñones, más común en ruedas interiores o para ajustar distancias.

Efecto de la corrección en el perfil

Valor mínimo de la corrección#

Para evitar completamente el socavado, el desplazamiento mínimo necesario es:

\(x_{min} = \frac{17 - Z}{17}\)

Sin embargo, a menudo se usa un criterio práctico (criterio de socavado tolerable) que permite correcciones menores:

\(x_{practico} = \frac{14 - Z}{17}\)

Tipos de Montaje y Distancia entre Centros#

Al introducir correcciones (\(x_1, x_2\)), cambiamos el espesor de los dientes. Esto afecta a cómo pueden engranar dos ruedas entre sí.

Existen dos grandes familias de montaje según la suma de correcciones (\(\sum x = x_1 + x_2\)):

Montaje a Cero o Larga-Corta (\(\sum x = 0\))#

Se aplica cuando uno de los engranajes es pequeño (\(Z_1 < 17\)) pero el otro es grande, y la suma de dientes es generosa (\(Z_1 + Z_2 \ge 34\)).

  • Estrategia: Le damos corrección positiva al piñón (\(x_1 > 0\)) para fortalecerlo, y le quitamos esa misma cantidad a la rueda (\(x_2 = -x_1\)).

  • Consecuencia: Los dientes del piñón engordan y los de la rueda adelgazan, pero el espacio total se mantiene.

  • Distancia entre centros (\(a\)): Se mantiene la estándar.

\(a = m \frac{Z_1 + Z_2}{2}\)

  • Ángulo de presión: Se mantiene en \(20^\circ\).

Montaje en V (\(\sum x \neq 0\))#

Si ambos engranajes son pequeños (\(Z_1 + Z_2 < 34\)), ambos necesitan corrección positiva (\(x_1 > 0, x_2 > 0\)).

  • Problema: Ambos dientes son más gruesos de lo normal. Si intentamos montarlos a la distancia estándar, se bloquearían (no caben).

  • Solución: Debemos separar los ejes una distancia mayor.

  • Consecuencia: Al separar los ejes, el ángulo de presión de funcionamiento (\(\alpha'\)) aumenta.

Cálculo Geométrico del Montaje en V#

Para calcular los parámetros de funcionamiento (nuevo ángulo y nueva distancia) en un montaje en V, no se puede usar trigonometría lineal. Se debe usar la propiedad de la Involuta.

Ecuaciones Fundamentales#

Cálculo del nuevo ángulo de presión (\(\alpha'\)): La relación vinculante es la función involuta (\(\text{inv}(\theta) = \tan\theta - \theta\)):

\(\text{inv}(\alpha') = \text{inv}(\alpha) + 2 \tan(\alpha) \frac{x_1 + x_2}{Z_1 + Z_2}\)

Nota: Esta ecuación requiere iteración numérica o tablas para despejar \(\alpha'\).

Cálculo de la distancia entre centros de funcionamiento (\(a'\)): Una vez obtenido \(\alpha'\), la nueva distancia se calcula proyectando los radios base:

\(a' = a_{std} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\alpha')}\)

Casos Prácticos Resueltos#

Caso A: Montaje a Cero (Corrección sin variación de centros)#

Enunciado: Determinar las dimensiones de dos engranajes montados sin holgura, cuyo piñón tiene \(Z_1=10\) dientes y la rueda \(Z_2=35\) dientes. Módulo \(m=6\), ángulo \(\alpha=20^\circ\). Se usará el criterio de corrección práctico \(x = (14-Z)/17\).

1. Análisis previo:

  • \(Z_1 = 10 < 14\): El piñón tiene interferencia severa. Necesita corrección positiva.

  • \(Z_1 + Z_2 = 10 + 35 = 45 \ge 34\): La suma de dientes es alta. Es posible realizar un Montaje a Cero.

2. Determinación de correcciones (\(x_1, x_2\)): Calculamos la corrección necesaria para el piñón:

\(x_1 = \frac{14 - 10}{17} = \frac{4}{17} \approx \mathbf{0.2353}\)

Para mantener la distancia entre centros estándar (Montaje a Cero), imponemos que la corrección de la rueda compense exactamente a la del piñón:

\(x_2 = -x_1 = \mathbf{-0.2353}\)

Comprobación de seguridad para la rueda: Debemos verificar que esta corrección negativa no provoca interferencia en la rueda (\(Z_2=35\)).

\(x_{2,limite} = \frac{14 - 35}{17} \approx -1.23\)

Como nuestra corrección aplicada (\(-0.235\)) es mucho menor que el límite (\(-1.23\)), es totalmente segura.

3. Cálculo de parámetros geométricos: Al ser montaje a cero (\(\sum x = 0\)), el ángulo de presión y la distancia entre centros no varían.

Distancia entre centros (\(a\)):

\(a = m \frac{Z_1+Z_2}{2} = 6 \frac{45}{2} = \mathbf{135 \text{ mm}}\)

Radios de Addendum (Cabeza): La corrección afecta al diámetro exterior. La fórmula es \(r_a = r + m(1+x)\).

Piñón: \(r_1 = m Z_1 / 2 = 30\) mm.

\(r_{a1} = 30 + 6(1 + 0.2353) = 30 + 7.41 = \mathbf{37.41 \text{ mm}}\)

Rueda: \(r_2 = m Z_2 / 2 = 105\) mm.

\(r_{a2} = 105 + 6(1 - 0.2353) = 105 + 4.59 = \mathbf{109.59 \text{ mm}}\)

Caso A (Variante): Montaje en V (Corrección asimétrica)#

Enunciado: En el ejemplo anterior, ¿qué parámetros presentarían los engranajes y cuál sería la distancia entre ejes, si se desea conservar la holgura circunferencial nula, pero la rueda de \(Z_2=35\) dientes se tallara sin desplazamiento?

1. Análisis de correcciones:

  • Piñón (\(Z_1=10\)): Mantenemos la corrección necesaria para evitar interferencia, \(x_1 = (14-10)/17 \approx 0.2353\).

  • Rueda (\(Z_2=35\)): El enunciado impone \(x_2 = 0\).

Suma de correcciones: \(\sum x = 0.2353 + 0 = 0.2353\). Al ser \(\sum x > 0\), se trata de un Montaje en V.

2. Cálculo del ángulo de presión operativo (\(\alpha'\)): Aplicando la fórmula de la involuta:

\(\text{inv}(\alpha') = \text{inv}(20^\circ) + 2 \tan(20^\circ) \frac{0.2353}{10 + 35}\)

El resultado numérico arroja: \(\alpha' \approx \mathbf{21.52^\circ}\)

3. Cálculo de la distancia entre centros (\(a'\)): La distancia estándar es \(a = 135.000\) mm. La nueva distancia de funcionamiento será:

\(a' = 135 \cdot \frac{\cos(20^\circ)}{\cos(21.52^\circ)} \approx \mathbf{136.36 \text{ mm}}\)

Conclusión: Al no compensar la corrección del piñón en la rueda (dejando \(x_2=0\)), los dientes “ocupan más espacio” del estándar, obligando a separar los ejes 1.36 mm adicionales respecto a la posición teórica.

Caso B: Montaje en V (Corrección con variación de centros)#

Enunciado: Calcular los parámetros de funcionamiento de un par de engranajes con \(m=8\), piñón \(Z_1=8\), rueda \(Z_2=11\), ángulo \(\alpha=20^\circ\). Montaje sin holgura.

1. Análisis previo:

  • Ambos tienen \(Z < 14\): Interferencia crítica en ambos.

  • \(Z_1 + Z_2 = 19 < 34\): Obligatorio Montaje en V (ambos necesitan \(x > 0\)).

2. Determinación de correcciones:

\(x_1 = \frac{14 - 8}{17} \approx 0.3529\)

\(x_2 = \frac{14 - 11}{17} \approx 0.1765\)

Suma de correcciones: \(\sum x = 0.5294\).

3. Cálculo del ángulo de presión operativo (\(\alpha'\)):

\(\text{inv}(\alpha') = \text{inv}(20^\circ) + 2 \tan(20^\circ) \frac{0.5294}{19}\)

\(\text{inv}(\alpha') = 0.014904 + 0.02028 = \mathbf{0.035187}\)

\(\rightarrow \alpha' \approx \mathbf{26.31^\circ}\)

4. Cálculo de la distancia entre centros (\(a'\)): Distancia estándar (\(a\)): \(76 \text{ mm}\).

\(a' = 76 \cdot \frac{\cos(20^\circ)}{\cos(26.31^\circ)} = \mathbf{79.67 \text{ mm}}\)

Resumen Comparativo (Caso B)#

Parámetro

Valor Estándar (Teórico)

Valor Real (Montaje V)

Ángulo de presión

\(\alpha = 20^\circ\)

\(\alpha' = 26.31^\circ\)

Distancia entre centros

\(a = 76 \text{ mm}\)

\(a' = 79.67 \text{ mm}\)

Diámetro primitivo 1

\(d_1 = 64 \text{ mm}\)

\(d'_1 = 67.09 \text{ mm}\)

Diámetro primitivo 2

\(d_2 = 88 \text{ mm}\)

\(d'_2 = 92.25 \text{ mm}\)

Anexo: Tabla de la Función Involuta#

Valores de la función \(\text{inv}(\alpha) = \tan(\alpha) - \alpha\) (con \(\alpha\) en radianes) para ángulos típicos.

\(\alpha\) (grados)

\(\text{inv}(\alpha)\)

\(\alpha\) (grados)

\(\text{inv}(\alpha)\)

10.0

0.00179

20.5

0.01609

10.5

0.00208

21.0

0.01734

11.0

0.00239

21.5

0.01866

11.5

0.00274

22.0

0.02005

12.0

0.00312

22.5

0.02151

12.5

0.00353

23.0

0.02305

13.0

0.00398

23.5

0.02466

13.5

0.00446

24.0

0.02635

14.0

0.00498

24.5

0.02812

14.5

0.00554

25.0

0.02998

15.0

0.00615

25.5

0.03192

15.5

0.00680

26.0

0.03395

16.0

0.00749

26.5

0.03607

16.5

0.00823

27.0

0.03829

17.0

0.00902

27.5

0.04060

17.5

0.00987

28.0

0.04302

18.0

0.01076

28.5

0.04554

18.5

0.01171

29.0

0.04816

19.0

0.01272

29.5

0.05090

19.5

0.01378

30.0

0.05375

20.0

0.01490

30.5

0.05672