Introducción: Fundamentos de la Transmisión por Engranajes#
La transmisión de potencia y movimiento entre ejes es una necesidad fundamental en el diseño de máquinas. Cuando los ejes están cercanos, pueden usarse varias soluciones, pero los engranajes destacan por garantizar una relación de transmisión constante y fiable, incluso bajo cargas elevadas.
De la fricción a la forma: por qué dientes#
El método más simple para transmitir rotación entre ejes paralelos es mediante ruedas de fricción (cilindros en contacto):
Ventaja: simplicidad y bajo coste.
Inconveniente: si el par supera la fricción máxima (\(F_t > \mu N\)) aparece deslizamiento (pérdida de sincronismo y desgaste).
Para superar esta limitación se pasa de transmisión por fuerza a transmisión por forma: los dientes impiden el deslizamiento y mantienen la sincronía. Para que la relación de transmisión sea constante los perfiles deben ser conjugados.
En este tema partimos de los cilindros de fricción y llegamos a la ley fundamental del engrane y al perfil de evolvente, estándar industrial.
Ley Fundamental del Engrane#
Del problema cinemático a la solución geométrica#
Hemos visto que necesitamos dientes para transmitir pares elevados sin deslizamiento. Pero no basta con añadir cualquier forma: los perfiles deben garantizar que la relación de transmisión se mantenga rigurosamente constante durante toda la rotación, tal como ocurría con los cilindros de fricción ideales.
En una transmisión como la mostrada en la figura se obtendría una relación de velocidad media constante, pero no instantánea. Esta exigencia cinemática se traduce en una condición geométrica precisa, formulada por primera vez de manera rigurosa en el siglo XVIII y conocida como Ley Fundamental del Engrane (o Teorema de Willis):
Para que la relación de transmisión entre dos perfiles en contacto sea constante, la normal común a ambos perfiles en el punto de contacto debe pasar siempre por un punto fijo de la línea de centros, llamado polo de transmisión (P).
Matemáticamente, este punto P divide la distancia entre centros en segmentos inversamente proporcionales a las velocidades angulares:
\(i=\frac{\omega_3}{\omega_2}=\frac{O_2P}{O_3P}=\text{constante}\)
Cualquier par de perfiles que cumpla esta ley se denomina perfiles conjugados. En teoría, existen infinitas parejas de perfiles conjugados posibles (cicloidal, trocoides, etc.). Las palancas rodantes de la siguiente imagen constituyen un ejemplo que, aunque poco práctico, cumple esta condición. Sin embargo, surge un problema práctico fundamental: ¿cómo fabricar y estandarizar estos engranajes para que sean intercambiables?
Perfil de Evolvente: La Solución Universal#
Por qué la evolvente se convirtió en el estándar#
A lo largo de la historia se han propuesto diversos perfiles conjugados: cicloides (usados en los primeros relojes), trocoides, y otros.
Sin embargo, todos presentaban el mismo problema: cada pareja de ruedas requería perfiles específicos diseñados para esa distancia entre centros concreta. Un pequeño error de montaje o una dilatación térmica rompían la conjugación.
A mediados del siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler propuso un perfil revolucionario: la evolvente de círculo. Este perfil tiene una propiedad única que resolvió el problema de la intercambiabilidad: sigue siendo conjugado aunque varíe la distancia entre centros. Esta característica, junto con su facilidad de fabricación, lo convirtió en el estándar industrial universal.
Definición geométrica y generación#
La evolvente es la curva que describe un punto de una recta que rueda sin deslizar sobre una circunferencia fija, llamada circunferencia de base.
Una forma intuitiva de visualizarla es imaginar un carrete de hilo: si fijamos el carrete y tiramos del extremo del hilo manteniéndolo tenso, el extremo describe exactamente una evolvente.
Ecuaciones paramétricas Observando la Figura, podemos ver que el arco \(\overset{\frown}{AB}\) coincide con la línea AT, ya que representan los estados enrollado y estirado del hilo. Llamando \(\rho\) al radio de la circunferencia base, se cumple
\(\rho \tan{\phi} = \rho (\theta+\phi)\)
Despejando \(\theta\):
\(\theta = \tan{\phi} - \phi = Ev(\phi)\)
donde \(Ev(\phi)\) se denomina función evolvente de \(\phi\). El ángulo \(\phi\) se puede despejar de la ecuación anterior empleando la función inversa:
\(\phi = Ev^{-1}(\theta)\)
Volviendo a la Figura, podemos escribir
\(r = \frac{\rho}{\cos{\phi}}=\frac{\rho}{\cos{(Ev^{-1}(\theta))}}\)
que representa la ecuación analítica de la evolvente en coordenadas polares.
Propiedades que justifican su uso universal#
Las ventajas del perfil de evolvente son decisivas para la fabricación industrial:
Cumple la ley del engrane: La normal a la evolvente en cualquier punto es siempre tangente al círculo de base. Cuando dos evolventes engranan, su normal común es la tangente común a ambos círculos base, que es una recta fija llamada línea de acción o línea de engrane. Esta línea pasa siempre por el polo P, garantizando una relación de transmisión constante.
Invariancia ante cambios de distancia entre centros: Esta es la propiedad más notable. Si la distancia entre centros \(a\) varía ligeramente (por tolerancias de fabricación, montaje o dilatación térmica), los perfiles de evolvente siguen siendo perfectamente conjugados. Lo único que cambia es el ángulo de presión de funcionamiento \(\alpha'\) (aumenta si \(a\) aumenta), pero la relación de transmisión se mantiene constante. Esto permite la intercambiabilidad: ruedas fabricadas por distintos proveedores pueden engranar entre sí.
Fabricación sencilla por generación: A diferencia de otros perfiles que requieren fresas de forma compleja, la evolvente puede generarse con una herramienta de flancos rectos (una cremallera). El proceso de tallado por generación (que veremos más adelante) produce el perfil de evolvente de forma automática, precisa y económica.
Desgaste favorable: El deslizamiento relativo entre los flancos es moderado cerca del punto primitivo, lo que reduce el desgaste.
Estas ventajas explican por qué prácticamente todos los engranajes industriales modernos (excepto aplicaciones muy específicas como relojería de precisión) utilizan perfiles de evolvente.
Nomenclatura y Parámetros Normalizados#
La necesidad de estandarización#
Para que el perfil de evolvente cumpla su promesa de intercambiabilidad, es imprescindible definir con precisión todos los parámetros geométricos del diente. La industria ha desarrollado normas internacionales (ISO, DIN, AGMA) que establecen estos parámetros.
La estandarización permite que:
Dos engranajes fabricados en lugares distintos puedan engranar si tienen el mismo módulo y ángulo de presión.
Existan herramientas de corte universales (fresas, cremalleras de tallado) para cada módulo.
Los cálculos de diseño y verificación sean uniformes.
El módulo es por tanto uno de los parámetros más importantes a la hora de seleccionar un engranaje. Como se verá más adelante, está estrechamente relacionado con el paso diametral (dientes por unidad de diámetro, número inverso a tamaño del diente. Es la inversa del módulo expresando el radio en pulgadas) por lo que es posible encontar galgas de identificación de pasos diametrales normalizados, como la que se meuestra en la Figura:
Términos fundamentales (rueda aislada)#
Para definir completamente un diente de engranaje necesitamos varios círculos concéntricos y parámetros geométricos:
Circunferencia primitiva de referencia (\(d_p\)): Es el círculo teórico sobre el que se basan todos los cálculos. Equivale al diámetro de la rueda de fricción que daría la misma relación de transmisión. Es la referencia fundamental. A menudo, utilizaremos el radio primitivo, siendo \(r_p=d_p/2\). En ausencia de subíndice, el símbolo \(r\) se referirá al radio primitivo.
Módulo (\(m\)): Es el parámetro más importante. Define el tamaño del diente. Dos engranajes solo pueden engranar si tienen el mismo módulo. Se define como: \(m = \frac{2r_p}{Z} = \frac{p}{\pi}\) Está expresado en milímetros (sistema métrico) o en pitch diametral (sistema anglosajón). Los valores de módulo están normalizados: 1, 1.25, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, etc.
Paso circular (\(p\)): Distancia medida sobre el círculo primitivo entre dos puntos homólogos de dientes consecutivos. \(\overset{\frown}{AC}\) en la Figura. Relacionado con el módulo: \(p = \pi m\).
Número de dientes (\(Z\)): Número total de dientes de la rueda.
Circunferencia exterior, o de cabeza (\(d_a\)): Diámetro exterior del engranaje (punta de los dientes).
Circunferencia de fondo, o de pie (\(d_f\)): Diámetro del fondo entre dientes. Se corresponde con la circunferencia que limita el hueco entre dientes por su parte inferior. El hueco debe ser suficientemente profundo para dejar pasar la cabeza de los dientes de la otra rueda.
Circunferencia de base (\(d_b\)): Círculo desde el que “nace” la evolvente. Es fundamental: \(d_b = d_p \cos\alpha\).
Addendum (\(h_a\)): Altura del diente por encima del primitivo. Valor estándar: \(h_a = m\).
Dedendum (\(h_f\)): Profundidad del diente por debajo del primitivo. Valor estándar: \(h_f = 1.25m\).
Altura total, (\(h\)): suma de la altura de cabeza (addendum) y la de pie (dedendum).
Holgura o juego circunferencial: hueco que dejan al acoplar una pareja de dientes. Necesaria para permitir la deflexión de los dientes, el paso del lubricante y la expansión térmica.
Huelgo o juego en cabeza, (\(c\)): hueco que dejan una pareja de dientes al engranar, entre la cabeza del diente y el fondo del espacio interdental de la rueda conectada.
Ángulo de presión de referencia (\(\alpha\)): Ángulo que forma la línea de acción con la tangente al círculo primitivo. Define la “inclinación” del empuje entre dientes. Valores normalizados: 14.5° (obsoleto), 20° (el más común), 25° (para cargas elevadas). Un \(\alpha\) mayor da dientes más robustos pero reduce ligeramente la suavidad.
Espesor (\(s\)) : Espesor del diente, medido sobre la circunferencia primitiva. \(\overset{\frown}{AB}\) en la Figura.
Hueco (\(e\)): Hueco entre dientes, medido sobre la circunferencia primitiva. El paso es igual al espesor más el hueco. \(\overset{\frown}{BC}\) en la Figura.
Cara: Parte de la superficie del diente situada entre la circunferencia primitiva y la de cabeza.
Flanco: Parte de la superficie del diente situada entre la circunferencia primitiva y la de pie.
Altura de flanco (\(b\)): anchura del diente medida en dirección paralela al eje.
Parámetros normalizados (20°)#
Magnitud |
Símbolo |
Relación |
|---|---|---|
Diámetro primitivo |
\(d_p\) |
\(d_p=m\,Z\) |
Paso circular |
\(p\) |
\(p=\pi\,m\) |
Módulo |
\(m\) |
\(m=d_p/Z=p/\pi\) |
Diámetro base |
\(d_b\) |
\(d_b=d_p\cos\alpha\) |
Addendum |
\(h_a\) |
\(h_a=m\) |
Dedendum |
\(h_f\) |
\(h_f=1.25\,m\) |
Juego fondo |
\(c\) |
\(c=0.25\,m\) |
Espesor en primitiva |
\(s\) |
\(s=p/2\) |
Parámetros de montaje (pareja)#
Distancia entre centros (a cero): \(\displaystyle a=\frac{d_{p1}+d_{p2}}{2}=\frac{m}{2}(Z_1+Z_2)\).
Juego: holgura entre flancos no en contacto para lubricación y no bloqueo (\(c=0.5m\)).
Línea de Engrane y Relación de Contacto#
Línea de acción: recta fija común tangente a las bases donde actúa la fuerza.
Camino de contacto: tramo de la línea de acción entre los puntos de entrada y salida, pasando por P.
Relación de contacto (\(\varepsilon_\alpha\)): número medio de pares de dientes simultáneamente en contacto. Requisito: \(\varepsilon_\alpha>1\) (típico: 1.4–1.8 en rectos) para transmisión continua y suave. Como se verá más adelante, los engranajes helicoidales a menudo superan el valor de 2 debido a su superposición.