Ejemplo 2.3 Análisis cinemático de un mecanismo de retorno rápido#
Análisis de posición#
La figura muestra un mecanismo de retorno rápido de 4 barras. En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 20^{\circ}\) con la horizontal, calcule la posición relativa de la corredera con respecto a \(O_4\), el ángulo que el eslabón 4 forma con la horizontal, y las coordenadas del punto B.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 1.0;\, \overline{O_4 B} = 3.0;\, \overline{O_2 O_4} = 3.0;\)
Análisis de Posición (Método Gráfico)#
El objetivo es construir el mecanismo a escala para medir las incógnitas: el ángulo del eslabón 4 (\(\theta_4\)), la posición de la corredera A a lo largo del eslabón 4 (distancia \(\overline{O_4A}\)), y las coordenadas del punto B.
Datos de Construcción:#
Eslabón 1 (Bastidor): \(L_1 = \overline{O_2O_4} = 3.0 \text{ m}\)
Eslabón 2 (Manivela): \(L_2 = \overline{O_2A} = 1.0 \text{ m}\)
Eslabón 4 (Barra ranurada): La longitud total es \(L_4 = \overline{O_4B} = 3.0 \text{ m}\).
Ángulo de Entrada: \(\theta_2 = 20^\circ\).
Procedimiento de Construcción:#
Establecer el bastidor: Colocar el pivote fijo \(O_2\) en el origen (0,0) y el pivote fijo \(O_4\) en (3, 0).
Posicionar la manivela (Eslabón 2): Desde \(O_2\), dibujar el eslabón 2 con su longitud \(L_2 = 1.0 \text{ m}\) y ángulo \(\theta_2 = 20^\circ\). El extremo es la posición del pasador A.
Determinar la barra ranurada (Eslabón 4): Dibujar una línea recta que pase por \(O_4\) y A. Esta línea define la orientación del eslabón 4.
Localizar el punto B: Extender la línea desde \(O_4\) en la dirección de A hasta que tenga la longitud total del eslabón 4, \(L_4 = 3.0 \text{ m}\). El extremo de este segmento es el punto B.
Medición de resultados:
Medir el ángulo de la línea \(O_4B\) con la horizontal para obtener \(\theta_4\).
Medir la distancia del segmento \(\overline{O_4A}\) para obtener la posición relativa de la corredera.
Leer las coordenadas del punto B del sistema de referencia.
Análisis de Posición (Método Analítico)#
Se utilizan ecuaciones vectoriales para encontrar expresiones para las incógnitas (\(\theta_4\), \(d = \overline{O_4A}\), y coordenadas de B).
Formulación del Lazo Vectorial#
Consideramos el lazo formado por los puntos \(O_2, O_4, A\). La ecuación vectorial es: \( \vec{R}_{O_2A} = \vec{R}_{O_2O_4} + \vec{R}_{O_4A} \) Reordenando para resolver para el vector que define el eslabón 4: \( \vec{R}_{O_4A} = \vec{R}_{O_2A} - \vec{R}_{O_2O_4} \) Donde:
\(\vec{R}_{O_2A} = L_2(\cos\theta_2 \hat{i} + \sin\theta_2 \hat{j})\)
\(\vec{R}_{O_2O_4} = L_1 \hat{i}\)
\(\vec{R}_{O_4A}\) es un vector cuya dirección nos da \(\theta_4\) y cuya magnitud es la distancia \(d = \overline{O_4A}\).
Resolviendo para \(\theta_4\) y \(d\)#
Descomponer en componentes: \( (x_A - x_{O_4}) \hat{i} + (y_A - y_{O_4}) \hat{j} = (L_2\cos\theta_2 - L_1) \hat{i} + (L_2\sin\theta_2) \hat{j} \)
Calcular \(\theta_4\): El ángulo del eslabón 4 es el ángulo del vector \(\vec{R}_{O_4A}\). \( \theta_4 = \arctan\left(\frac{L_2\sin\theta_2}{L_2\cos\theta_2 - L_1}\right) \)
Calcular \(d\) (posición de la corredera): La distancia es la magnitud del vector \(\vec{R}_{O_4A}\). \( d = |\vec{R}_{O_4A}| = \sqrt{(L_2\cos\theta_2 - L_1)^2 + (L_2\sin\theta_2)^2} \)
Cálculo de las Coordenadas del Punto B#
El punto B está en el extremo del eslabón 4. Su vector de posición es: \( \vec{R}_B = \vec{R}_{O_4} + L_4 (\cos\theta_4 \hat{i} + \sin\theta_4 \hat{j}) \)
\(x_B = x_{O_4} + L_4\cos\theta_4\)
\(y_B = y_{O_4} + L_4\sin\theta_4\)
Cálculo Numérico para el Ejemplo:
Datos Iniciales:
Longitudes: \(L_1=3.0 \text{ m}, L_2=1.0 \text{ m}, L_4=3.0 \text{ m}\)
Ángulo de entrada: \(\theta_2 = 20^\circ\)
Cálculo de \(\theta_4\) y \(d\): Primero, calculamos las componentes del vector \(\vec{R}_{O_4A}\):
Componente x: \(L_2\cos\theta_2 - L_1 = 1.0\cos(20^\circ) - 3.0 = 0.9397 - 3.0 = -2.0603 \text{ m}\)
Componente y: \(L_2\sin\theta_2 = 1.0\sin(20^\circ) = 0.3420 \text{ m}\)
Ahora, calculamos el ángulo y la magnitud: \( \theta_4 = \arctan\left(\frac{0.3420}{-2.0603}\right) = 170.56^\circ \) \( d = \sqrt{(-2.0603)^2 + (0.3420)^2} = \sqrt{4.2448 + 0.1170} = 2.0885 \text{ m} \)
Cálculo de las Coordenadas de B: Usamos \(\theta_4 = 170.56^\circ\) y \(L_4 = 3.0 \text{ m}\).
\(x_B = 3.0 + 3.0\cos(170.56^\circ) = 3.0 + 3.0(-0.9865) = 3.0 - 2.9595 = 0.0405 \text{ m}\)
\(y_B = 0 + 3.0\sin(170.56^\circ) = 3.0(0.1640) = 0.4920 \text{ m}\)
Resultados Finales de Posición:
Posición de la corredera A: \(\mathbf{d = \overline{O_4A} = 2.089 \text{ m}}\)
Ángulo del eslabón 4: \(\mathbf{\theta_4 = 170.56^\circ}\)
Coordenadas de B: (0.0405, 0.4920) m
Análisis de velocidad#
En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 20^{\circ}\) con la horizontal, calcule la velocidad del punto B y las velocidades angulares de los eslabones 2 y 4.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 1.0;\, \overline{O_4 B} = 3.0;\, \overline{O_2 O_4} = 3.0\). Ángulo del eslabón 4 con la horizontal, del análisis de posición: \(\theta_4 = 170.56^{\circ}\). Posición de la corredera A relativa a \(O_4\): \(d = \overline{O_4 A} = 2.089\) m.
Resolución#
El mecanismo tiene un grado de libertad, que corresponde a la velocidad relativa de la corredera con respecto al eslabón 4, \(\vec{v}_{A3/A4} = \vec{v}_{A2/A4}\). Usamos este dato conocido para calcular las velocidades angulares de los eslabones 2 y 4 aplicando la ecuación de velocidad relativa, sabiendo que en el instante analizado, los puntos \(A_2\), \(A_3\) y \(A_4\) coinciden. Vale la pena recordar que \(A_2\) y \(A_3\), al estar conectados por una junta de revolución, tienen la misma velocidad absoluta, que debe ser perpendicular al eslabón 2. Mientras tanto, 3 y 4 están unidos por una junta prismática, y entre \(A_3\) y \(A_4\) hay una velocidad relativa en la dirección del eslabón 4, que es precisamente el dato proporcionado. Con esto, tenemos:
\(\vec{v}_{A_2} = \vec{v}_{A_4} + \vec{v}_{A_2/A_4}\)
donde cada término se puede expresar como:
\(\vec{v}_{A_2} = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}\)
clear, clc
syms w2k real
rO2A = [cosd(20) sind(20) 0];
w2 = [0 0 w2k];
vA2 = cross(w2, rO2A);
\(\vec{v}_{A_4} = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4A}\)
syms w4k real
rO4A = 2.089 * [cosd(170.56) sind(170.56) 0];
w4 = [0 0 w4k];
vA4 = cross(w4, rO4A);
\(\vec{v}_{A_2/A_4} = 0.1(\cos 170.56^{\circ} \hat{i} + \sin 170.56^{\circ} \hat{j})\)
vA2_A4 = 0.1 * [cosd(170.56) sind(170.56) 0];
Ahora podemos resolver la ecuación de velocidad relativa:
eq1 = vA2 == vA4 + vA2_A4;
sol_v1 = solve(eq1, w2k, w4k);
w2k = double(sol_v1.w2k);
w4k = double(sol_v1.w4k);
fprintf('w2k=%0.3f w4k=%0.3f\n', w2k, w4k)
w2k=0.203 w4k=-0.085
Finalmente, calculamos la velocidad del punto B ahora que conocemos \(\vec{\omega}_4\):
rO4B = 3 * [cosd(170.56) sind(170.56) 0];
vB = subs(cross(w4, rO4B));
fprintf('|vB|=%0.3f\n', norm([vB(1) vB(2)]))
|vB|=0.254
Cinema de Velocidad#
El cinema de velocidad para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores.
Análisis de aceleración#
En el instante en que la manivela forma un ángulo \(\theta_2 = 20^{\circ}\) con la horizontal, calcule la aceleración del punto B y las aceleraciones angulares de los eslabones 2 y 4.
Datos:
Longitudes de los eslabones, en metros: \(\overline{O_2 A} = 1.0;\, \overline{O_4 B} = 3.0;\, \overline{O_2 O_4} = 3.0\). Ángulo del eslabón 4 con la horizontal (del análisis de posición): \(\theta_4 = 170.56^{\circ}\) y posición de la corredera A relativa a \(O_4\): \(d = \overline{O_4 A} = 2.089\) m. Velocidades angulares (del análisis de velocidad): \(\vec{\omega}_2 = 0.203\hat{k}\) rad/s; \(\vec{\omega}_4 = -0.085\hat{k}\) rad/s.
Resolución#
El procedimiento para calcular las aceleraciones del mecanismo es similar al de las velocidades, teniendo en cuenta que esta vez interviene la aceleración de Coriolis:
\(\vec{a}_{A_2} = \vec{a}_{A_4} + \vec{a}_{A_2/A_4} + \vec{a}_{Cor}\)
donde cada término se puede expresar como:
\(\vec{a}_{A_2} = \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}) + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O2A}\)
syms af2k real
af2 = [0 0 af2k];
aA2 = cross(w2, cross(w2, rO2A)) + cross(af2, rO2A);
\(\vec{a}_{A_4} = \vec{\omega}_4 \times (\vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4A}) + \vec{\alpha}_4 \times \vec{r}_{O4A}\)
syms af4k real
af4 = [0 0 af4k];
aA4 = cross(w4, cross(w4, rO4A)) + cross(af4, rO4A);
\(\vec{a}_{A_2/A_4} = 0\) (velocidad de expansión constante)
aA2_A4 = [0 0 0];
\(\vec{a}_{Cor} = 2\vec{\omega}_4 \times \vec{v}_{A2/A4}\)
aCor = 2 * cross(w4, vA2_A4);
Ahora podemos resolver la ecuación de aceleración relativa:
eq2 = aA2 == aA4 + aA2_A4 + aCor;
sol_a1 = solve(eq2, af2k, af4k);
af2k = double(subs(sol_a1.af2k));
af4k = double(subs(sol_a1.af4k));
fprintf('af2k=%0.3f af4k=%0.3f\n', af2k, af4k)
af2k=-0.104 af4k=0.061
Finalmente, calculamos la aceleración del punto B ahora que conocemos \(\vec{\alpha}_4\):
aB = double(subs(cross(w4, (cross(w4, rO4B))) + cross(af4, rO4B)));
fprintf('aBi=%0.3f aBj=%0.3f\n', aB(1), aB(2))
aBi=-0.009 aBj=-0.185
fprintf('|aB|=%0.3f\n', norm([aB(1) aB(2)]))
|aB|=0.185
Cinema de Aceleración#
El cinema de aceleración para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores.