## Ejemplo 2.3 Análisis cinemático de un mecanismo de retorno rápido

### Análisis de posición

La figura muestra un mecanismo de retorno rápido de 4 barras. En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 20^{\circ}$ con la horizontal, calcule la posición relativa de la corredera con respecto a $O_4$, el ángulo que el eslabón 4 forma con la horizontal, y las coordenadas del punto B.

![figRR.jpg](./figs/figRR.jpg)

Datos:

Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 1.0;\, \overline{O_4 B} = 3.0;\, \overline{O_2 O_4} = 3.0;$

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### Análisis de Posición (Método Gráfico)

El objetivo es construir el mecanismo a escala para medir las incógnitas: el ángulo del eslabón 4 ($\theta_4$), la posición de la corredera A a lo largo del eslabón 4 (distancia $\overline{O_4A}$), y las coordenadas del punto B.

#### Datos de Construcción:

*   **Eslabón 1 (Bastidor):** $L_1 = \overline{O_2O_4} = 3.0 \text{ m}$
*   **Eslabón 2 (Manivela):** $L_2 = \overline{O_2A} = 1.0 \text{ m}$
*   **Eslabón 4 (Barra ranurada):** La longitud total es $L_4 = \overline{O_4B} = 3.0 \text{ m}$.
*   **Ángulo de Entrada:** $\theta_2 = 20^\circ$.

#### Procedimiento de Construcción:

1.  **Establecer el bastidor:** Colocar el pivote fijo $O_2$ en el origen (0,0) y el pivote fijo $O_4$ en (3, 0).
2.  **Posicionar la manivela (Eslabón 2):** Desde $O_2$, dibujar el eslabón 2 con su longitud $L_2 = 1.0 \text{ m}$ y ángulo $\theta_2 = 20^\circ$. El extremo es la posición del pasador A.
3.  **Determinar la barra ranurada (Eslabón 4):** Dibujar una línea recta que pase por $O_4$ y A. Esta línea define la orientación del eslabón 4.
4.  **Localizar el punto B:** Extender la línea desde $O_4$ en la dirección de A hasta que tenga la longitud total del eslabón 4, $L_4 = 3.0 \text{ m}$. El extremo de este segmento es el punto B.
5.  **Medición de resultados:**
    *   Medir el ángulo de la línea $O_4B$ con la horizontal para obtener $\theta_4$.
    *   Medir la distancia del segmento $\overline{O_4A}$ para obtener la posición relativa de la corredera.
    *   Leer las coordenadas del punto B del sistema de referencia.

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### Análisis de Posición (Método Analítico)

Se utilizan ecuaciones vectoriales para encontrar expresiones para las incógnitas ($\theta_4$, $d = \overline{O_4A}$, y coordenadas de B).

#### Formulación del Lazo Vectorial

Consideramos el lazo formado por los puntos $O_2, O_4, A$. La ecuación vectorial es:
$ \vec{R}_{O_2A} = \vec{R}_{O_2O_4} + \vec{R}_{O_4A} $
Reordenando para resolver para el vector que define el eslabón 4:
$ \vec{R}_{O_4A} = \vec{R}_{O_2A} - \vec{R}_{O_2O_4} $
Donde:
*   $\vec{R}_{O_2A} = L_2(\cos\theta_2 \hat{i} + \sin\theta_2 \hat{j})$
*   $\vec{R}_{O_2O_4} = L_1 \hat{i}$
*   $\vec{R}_{O_4A}$ es un vector cuya dirección nos da $\theta_4$ y cuya magnitud es la distancia $d = \overline{O_4A}$.

#### Resolviendo para $\theta_4$ y $d$

1.  **Descomponer en componentes:**
    $ (x_A - x_{O_4}) \hat{i} + (y_A - y_{O_4}) \hat{j} = (L_2\cos\theta_2 - L_1) \hat{i} + (L_2\sin\theta_2) \hat{j} $
2.  **Calcular $\theta_4$:** El ángulo del eslabón 4 es el ángulo del vector $\vec{R}_{O_4A}$.
    $ \theta_4 = \arctan\left(\frac{L_2\sin\theta_2}{L_2\cos\theta_2 - L_1}\right) $
3.  **Calcular $d$ (posición de la corredera):** La distancia es la magnitud del vector $\vec{R}_{O_4A}$.
    $ d = |\vec{R}_{O_4A}| = \sqrt{(L_2\cos\theta_2 - L_1)^2 + (L_2\sin\theta_2)^2} $

#### Cálculo de las Coordenadas del Punto B

El punto B está en el extremo del eslabón 4. Su vector de posición es:
$ \vec{R}_B = \vec{R}_{O_4} + L_4 (\cos\theta_4 \hat{i} + \sin\theta_4 \hat{j}) $
*   $x_B = x_{O_4} + L_4\cos\theta_4$
*   $y_B = y_{O_4} + L_4\sin\theta_4$

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Cálculo Numérico para el Ejemplo:

*   **Datos Iniciales:**
    *   Longitudes: $L_1=3.0 \text{ m}, L_2=1.0 \text{ m}, L_4=3.0 \text{ m}$
    *   Ángulo de entrada: $\theta_2 = 20^\circ$

*   **Cálculo de $\theta_4$ y $d$:**
    Primero, calculamos las componentes del vector $\vec{R}_{O_4A}$:
    *   Componente x: $L_2\cos\theta_2 - L_1 = 1.0\cos(20^\circ) - 3.0 = 0.9397 - 3.0 = -2.0603 \text{ m}$
    *   Componente y: $L_2\sin\theta_2 = 1.0\sin(20^\circ) = 0.3420 \text{ m}$
    
    Ahora, calculamos el ángulo y la magnitud:
    $ \theta_4 = \arctan\left(\frac{0.3420}{-2.0603}\right) = 170.56^\circ $
    $ d = \sqrt{(-2.0603)^2 + (0.3420)^2} = \sqrt{4.2448 + 0.1170} = 2.0885 \text{ m} $

*   **Cálculo de las Coordenadas de B:**
    Usamos $\theta_4 = 170.56^\circ$ y $L_4 = 3.0 \text{ m}$.
    *   $x_B = 3.0 + 3.0\cos(170.56^\circ) = 3.0 + 3.0(-0.9865) = 3.0 - 2.9595 = 0.0405 \text{ m}$
    *   $y_B = 0 + 3.0\sin(170.56^\circ) = 3.0(0.1640) = 0.4920 \text{ m}$

*   **Resultados Finales de Posición:**
    *   Posición de la corredera A: $\mathbf{d = \overline{O_4A} = 2.089 \text{ m}}$
    *   Ángulo del eslabón 4: $\mathbf{\theta_4 = 170.56^\circ}$
    *   Coordenadas de B: **(0.0405, 0.4920) m**


### Análisis de velocidad

En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 20^{\circ}$ con la horizontal, calcule la velocidad del punto B y las velocidades angulares de los eslabones 2 y 4.

Datos:

Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 1.0;\, \overline{O_4 B} = 3.0;\, \overline{O_2 O_4} = 3.0$.
Ángulo del eslabón 4 con la horizontal, del análisis de posición: $\theta_4 = 170.56^{\circ}$.
Posición de la corredera A relativa a $O_4$: $d = \overline{O_4 A} = 2.089$ m.

#### Resolución

El mecanismo tiene un grado de libertad, que corresponde a la velocidad relativa de la corredera con respecto al eslabón 4, $\vec{v}_{A3/A4} = \vec{v}_{A2/A4}$. Usamos este dato conocido para calcular las velocidades angulares de los eslabones 2 y 4 aplicando la ecuación de velocidad relativa, sabiendo que en el instante analizado, los puntos $A_2$, $A_3$ y $A_4$ coinciden. Vale la pena recordar que $A_2$ y $A_3$, al estar conectados por una junta de revolución, tienen la misma velocidad absoluta, que debe ser perpendicular al eslabón 2. Mientras tanto, 3 y 4 están unidos por una junta prismática, y entre $A_3$ y $A_4$ hay una velocidad relativa en la dirección del eslabón 4, que es precisamente el dato proporcionado. Con esto, tenemos:

$\vec{v}_{A_2} = \vec{v}_{A_4} + \vec{v}_{A_2/A_4}$

donde cada término se puede expresar como:

$\vec{v}_{A_2} = \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}$
```matlab
clear, clc
syms w2k real
rO2A = [cosd(20) sind(20) 0];
w2 = [0 0 w2k];
vA2 = cross(w2, rO2A);
```

$\vec{v}_{A_4} = \vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4A}$
```matlab
syms w4k real
rO4A = 2.089 * [cosd(170.56) sind(170.56) 0];
w4 = [0 0 w4k];
vA4 = cross(w4, rO4A);
```

$\vec{v}_{A_2/A_4} = 0.1(\cos 170.56^{\circ} \hat{i} + \sin 170.56^{\circ} \hat{j})$
```matlab
vA2_A4 = 0.1 * [cosd(170.56) sind(170.56) 0];
```

Ahora podemos resolver la ecuación de velocidad relativa:

```matlab
eq1 = vA2 == vA4 + vA2_A4;
sol_v1 = solve(eq1, w2k, w4k);
w2k = double(sol_v1.w2k);
w4k = double(sol_v1.w4k);
fprintf('w2k=%0.3f w4k=%0.3f\n', w2k, w4k)
```

```matlabTextOutput
w2k=0.203 w4k=-0.085
```

Finalmente, calculamos la velocidad del punto B ahora que conocemos $\vec{\omega}_4$:

```matlab
rO4B = 3 * [cosd(170.56) sind(170.56) 0];
vB = subs(cross(w4, rO4B));
fprintf('|vB|=%0.3f\n', norm([vB(1) vB(2)]))
```

```matlabTextOutput
|vB|=0.254
```

#### Cinema de Velocidad

El cinema de velocidad para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores.

### Análisis de aceleración

En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 20^{\circ}$ con la horizontal, calcule la aceleración del punto B y las aceleraciones angulares de los eslabones 2 y 4.

Datos:

Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 1.0;\, \overline{O_4 B} = 3.0;\, \overline{O_2 O_4} = 3.0$.
Ángulo del eslabón 4 con la horizontal (del análisis de posición): $\theta_4 = 170.56^{\circ}$ y posición de la corredera A relativa a $O_4$: $d = \overline{O_4 A} = 2.089$ m.
Velocidades angulares (del análisis de velocidad): $\vec{\omega}_2 = 0.203\hat{k}$ rad/s; $\vec{\omega}_4 = -0.085\hat{k}$ rad/s.

#### Resolución

El procedimiento para calcular las aceleraciones del mecanismo es similar al de las velocidades, teniendo en cuenta que esta vez interviene la aceleración de Coriolis:

$\vec{a}_{A_2} = \vec{a}_{A_4} + \vec{a}_{A_2/A_4} + \vec{a}_{Cor}$

donde cada término se puede expresar como:

$\vec{a}_{A_2} = \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O2A}) + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O2A}$
```matlab
syms af2k real
af2 = [0 0 af2k];
aA2 = cross(w2, cross(w2, rO2A)) + cross(af2, rO2A);
```

$\vec{a}_{A_4} = \vec{\omega}_4 \times (\vec{\omega}_4 \times \vec{r}_{O4A}) + \vec{\alpha}_4 \times \vec{r}_{O4A}$
```matlab
syms af4k real
af4 = [0 0 af4k];
aA4 = cross(w4, cross(w4, rO4A)) + cross(af4, rO4A);
```

$\vec{a}_{A_2/A_4} = 0$ (velocidad de expansión constante)

```matlab
aA2_A4 = [0 0 0];
```

$\vec{a}_{Cor} = 2\vec{\omega}_4 \times \vec{v}_{A2/A4}$
```matlab
aCor = 2 * cross(w4, vA2_A4);
```

Ahora podemos resolver la ecuación de aceleración relativa:

```matlab
eq2 = aA2 == aA4 + aA2_A4 + aCor;
sol_a1 = solve(eq2, af2k, af4k);
af2k = double(subs(sol_a1.af2k));
af4k = double(subs(sol_a1.af4k));
fprintf('af2k=%0.3f af4k=%0.3f\n', af2k, af4k)
```

```matlabTextOutput
af2k=-0.104 af4k=0.061
```

Finalmente, calculamos la aceleración del punto B ahora que conocemos $\vec{\alpha}_4$:

```matlab
aB = double(subs(cross(w4, (cross(w4, rO4B))) + cross(af4, rO4B)));
fprintf('aBi=%0.3f aBj=%0.3f\n', aB(1), aB(2))
```

```matlabTextOutput
aBi=-0.009 aBj=-0.185
```

```matlab
fprintf('|aB|=%0.3f\n', norm([aB(1) aB(2)]))
```

```matlabTextOutput
|aB|=0.185
```

#### Cinema de Aceleración

El cinema de aceleración para este ejemplo no se proporciona, pero se puede crear usando los mismos principios demostrados en ejemplos anteriores.