## Ejercicio 3 de examen 2026

El mecanismo de la figura se emplea para elevar objetos. El eslabón motor (O2A) gira a una velocidad constante de 60 rpm en sentido antihorario. En la siguiente página se proporciona el cinema de aceleraciones parcialmente resuelto. Se debe realizar un análisis de velocidades y aceleraciones, así como la identificación de las fuerzas de inercia en una posición dada por $\theta_2 =36.5^{\circ }$, para lo que se pide:


![image_0.png](./figs/example2_6_media/image_0.png)

1.  Determinar con qué cadena cinemática se corresponde, el número de grados de libertad y si el eslabón 2 puede actuar como manivela, justificando las respuestas
2. Calcular la velocidad del punto E.
3. Representar el cinema de velocidades completo del mecanismo
4. A partir del cinema de aceleraciones, determinar las aceleraciones angulares de todos los sólidos.
5. Calcular las aceleraciones de los centros de gravedad de los eslabones y las fuerzas de inercia que originan.
6. Calcular la distancia P cuando el valor de $\theta_2$ pasa a ser 90º.
### Datos:
```matlab
clear, clc
% Angulos (deg):
theta2=36.5; phi=95.6; eta=118.6; alpha=10.6; beta=19.7; delta=252.6; 
% Distancias (cm):
p=121.5; h=37.7; r1=55.7; r2=26.3; r3=41.6; r4=44.5; rO4D=59; r5=44.8;
% masas (kg):
m2=2; m3=6; m4=15; m5=7.5; m6=10;
```
### Apartado 1: Cadena cinemática

Se trata de una cadena Watt II ya que uno de los eslabones ternarios es tierra (1) y está conectado con el otro (4). Como es sabido, este tipo de mecanismos posee un grado de libertad, algo que se puede verificar fácilmente mediante el criterio de Grubler: N=6; P1=7; P2=0 => G=3\*(6\-1)\-2\*7\-0=1. Finalmente, para saber si el eslabón 2 puede realizar revoluciones completas aplicamos la Ley de Grashoff a la subcadena 1,2,3 y 4. De esta forma tenemos que r2+r1 =26.3+55.7=82 es menor que r3+r4=41.6+44.5=86.1, lo que asegura que sí puerde realizar revoluciones completas, actuando como manivela.

### Apartado 2: Cálculo de velocidades

Para el problema de velocidades identificamos primero una subcadena de 4 barras, y planteamos la ecuación de velocidades relativas entre los puntos A y B:

 $ {\vec{v} }_B ={\vec{v} }_A +{\vec{v} }_{A/B} $ 

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.


\- Para ${\vec{v} }_B$:

 $ {\vec{v} }_B ={\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} $ 
```matlab
% definir la incógnita w4k, el vector w4, rO4B y finalmente experesar vB
syms w4k real
w4=[0 0 w4k];
rO4B=r4*[cosd(alpha) sind(alpha) 0];
vB=cross(w4,rO4B);
```

\- Para ${\vec{v} }_A$:

 $ {\vec{v} }_A ={\vec{\omega} }_2 \times {\vec{r} }_{O2A} $ 
```matlab
% definir el vector w2, rO2A y finalmente experesar vA
w2=[0 0 60*2*pi/60];
rO2A=r2*[cosd(theta2) sind(theta2) 0];
vA=cross(w2,rO2A);
```

\- Para ${\vec{v} }_{B/A}$:

 $ {\vec{v} }_{B/A} ={\vec{\omega} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} $ 
```matlab
% definir la incógnita w3k, el vector w3, rAB y finalmente experesar vB/A
syms w3k real
w3=[0 0 w3k];
rAB=r3*[cosd(95.6) sind(95.6) 0];
vB_A=cross(w3,rAB);
```

Ahora sí resolvemos la ecuación:

```matlab
sol_v1 = solve(vB==vA+vB_A,w3k, w4k);
w3k = subs(sol_v1.w3k);
w4k = subs(sol_v1.w4k);
```

Ahora pasamos a analizar la barra 5 y planteamos la ecuación de velocidades relativas entre los puntos D y E:

 $ {\vec{v} }_E ={\vec{v} }_D +{\vec{v} }_{E/D} $ 

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.


\- Para ${\vec{v} }_E$:

 $ {\vec{v} }_E =v_E \hat{j} $ 
```matlab
% definir la incógnita vEj, el vector vE
syms vEj real
vE=[0 vEj 0];
```

\- Para ${\vec{v} }_D$:

 $ {\vec{v} }_D ={\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4D} $ 
```matlab
% El vector w4 ya es conocido, y rO4D es dato: 
rO4D=rO4D*[cosd(alpha+beta) sind(alpha+beta) 0];
vD=cross(w4,rO4D);
```

\- Para ${\vec{v} }_{E/D}$:

 $ {\vec{v} }_{E/D} ={\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} $ 
```matlab
% definir la incógnita w5k, el vector w5, rDE y finalmente experesar vE/D
syms w5k real
w5=[0 0 w5k];
rDE=r5*[cosd(72.6) sind(72.6) 0];
vE_D=cross(w5,rDE);
```

Ahora sí resolvemos la ecuación:

```matlab
sol_v2 = solve(vE==vD+vE_D,w5k, vEj);
w5k = subs(sol_v2.w5k);
vEj = subs(sol_v2.vEj);
```
### Mostramos resultados:
```matlab
fprintf('vAi=%3.2f vAj=%3.2f (m/s)\n', vA(1)/100,vA(2)/100)
```

```matlabTextOutput
vAi=-0.98 vAj=1.33 (m/s)
```

```matlab
vB=double(subs(vB));
fprintf('vBi=%3.2f vBj=%3.2f (m/s)\n', vB(1)/100,vB(2)/100)
```

```matlabTextOutput
vBi=-0.26 vBj=1.40 (m/s)
```

```matlab
fprintf('vEj=%3.2f (m/s)\n', vEj/100)
```

```matlabTextOutput
vEj=1.33 (m/s)
```

```matlab
fprintf('w3k=%3.2f (rad/s)\n', double(subs(w3k)))
```

```matlabTextOutput
w3k=-1.74 (rad/s)
```

```matlab
fprintf('w4k=%3.2f (rad/s)\n', double(subs(w4k)))
```

```matlabTextOutput
w4k=3.20 (rad/s)
```

```matlab
fprintf('w5k=%3.2f (rad/s)\n', double(subs(w5k)))
```

```matlabTextOutput
w5k=-2.23 (rad/s)
```

### Apartado 3: Cinema de velocidades

Resolvemos gráficamente las ecuaciones de velocidades relativas:

 $ {\vec{v} }_B ={\vec{v} }_A +{\vec{v} }_{A/B} $ 

 $ {\vec{v} }_{E/D} ={\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} $ 

partiendo del dato conocido $|v_A |=|\omega_2 |\cdot \bar{O_2 A}$, que es perpendicular a $\bar{O_2 A}$ y en sentido acorde a ${\vec{\omega} }_2$, y sabiendo que podemos conocer ${\vec{\omega} }_4$ a partir de ${\vec{v} }_B$ para proceder a calcular ${\vec{v} }_D$:


![image_1.png](./figs/example2_6_media/image_1.png)

### Apartado 4: Cálculo de aceleraciones

Este apartado se puede resolver fácilmente de forma gráfica aplicando correctamente la escala proporcionada. Además, se verifica que los resultados coinciden con los obtenidos aplicando las siguientes ecuaciones.

#### Aceleraciones de los puntos A,B, C y D

Para el problema de aceleraciones procedemos de la misma forma, primero entre los puntos A y B:

 $ {\vec{a} }_B ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{A/B} $ 

que descomponiendo, nos da:

 $ {\vec{a} }_B^n +{\vec{a} }_B^t ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{A/B}^n +{\vec{a} }_{A/B}^t $ 

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.


\- Para ${\vec{a} }_B^n$:

 $ {\vec{a} }_B^n ={\vec{\omega} }_4 \times ({\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} ) $ 
```matlab
% Expresar aBn
aBn=cross(w4,cross(w4,rO4B));
```

\- Para ${\vec{a} }_B^t$:

 $ {\vec{a} }_B^t ={\vec{\alpha} }_4 \times {\vec{r} }_{O4B} $ 
```matlab
% definir la incógnita af4k, el vector af4, experesar aBt
syms af4k real
af4=[0 0 af4k];
aBt=cross(af4,rO4B);
```

\- Para ${\vec{a} }_A$:

 $ {\vec{a} }_A ={\vec{a} }_A^n ={\vec{\omega} }_2 \times ({\vec{\omega} }_2 \times {\vec{r} }_{O2A} ) $ 
```matlab
% Expresar aA
aA=cross(w2,cross(w2,rO2A));
```

\- Para ${\vec{a} }_{B/A}^n$:

 $ {\vec{a} }_{B/A}^n ={\vec{\omega} }_3 \times ({\vec{\omega} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} ) $ 
```matlab
% Expresar aB_An
aB_An=cross(w3,cross(w3,rAB));
```

\- Para ${\vec{a} }_{B/A}^t$:

 $ {\vec{a} }_{B/A}^t ={\vec{\alpha} }_3 \times {\vec{r} }_{AB} $ 
```matlab
% definir la incógnita af3k, el vector af3, experesar aB_At
syms af3k real
af3=[0 0 af3k];
aB_At=cross(af3,rAB);
```

Ahora sí resolvemos la ecuación:

```matlab
sol_ac1 = solve(aBn+aBt==aA+aB_An+aB_At,af3k, af4k);
% Display the solutions:
af3k = subs(sol_ac1.af3k);
af4k = subs(sol_ac1.af4k);
```

Ahora pasamos a analizar la barra 5 y planteamos la ecuación de aceleraciones relativas entre los puntos D y E:

 $ {\vec{a} }_E ={\vec{a} }_D +{\vec{a} }_{E/D} $ 

descomponiendo:

 $ {\vec{a} }_E ={\vec{a} }_D^n +{\vec{a} }_D^t +{\vec{a} }_{E/D}^n +{\vec{a} }_{E/D}^t $ 

vemos qué términos nos hacen falta y operamos.


\- Para ${\vec{a} }_E$:

 $ {\vec{a} }_E =a_E \hat{j} $ 
```matlab
syms aEj real
aE=[0 aEj 0];
```

\- Para ${\vec{a} }_D^n$:

 $ {\vec{a} }_D^n ={\vec{\omega} }_4 \times ({\vec{\omega} }_4 \times {\vec{r} }_{O4D} ) $ 
```matlab
aDn=cross(w4,cross(w4,rO4D));
```

\- Para ${\vec{a} }_D^t$:

 $ {\vec{a} }_D^t ={\vec{\alpha} }_4 \times {\vec{r} }_{O4D} $ 
```matlab
aDt=cross(af4,rO4D);
```

\- Para ${\vec{a} }_{E/D}^n$:

 $ {\vec{a} }_{E/D}^n ={\vec{\omega} }_5 \times ({\vec{\omega} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} ) $ 
```matlab
aE_Dn=cross(w5,cross(w5,rDE));
```

\- Para ${\vec{a} }_{E/D}^t$:

 $ {\vec{a} }_{E/D}^t ={\vec{\alpha} }_5 \times {\vec{r} }_{DE} $ 
```matlab
syms af5k real
af5=[0 0 af5k];
aE_Dt=cross(af5,rDE);
```

Ahora sí resolvemos la ecuación:

```matlab
sol_ac2 = solve(aE==aDn+aDt+aE_Dn+aE_Dt,aEj, af5k);
aEj = subs(sol_ac2.aEj);
af5k = subs(sol_ac2.af5k);
```
#### Soluciones:
```matlab
fprintf('aEj=%3.2f (m/s2)\n', aEj/100)
```

```matlabTextOutput
aEj=-12.82 (m/s2)
```


![image_2.png](./figs/example2_6_media/image_2.png)


Para el método gráfico:

```matlab
% Print results:
fprintf('aA=%3.4f\n', norm(aA)/100)
```

```matlabTextOutput
aA=10.3828
```

```matlab
fprintf('aBAn=%3.4f\n', norm(double(subs(aB_An)))/100)
```

```matlabTextOutput
aBAn=1.2620
```

```matlab
fprintf('aBAn=%3.4f\n', norm(double(subs(aB_An)))/100)
```

```matlabTextOutput
aBAn=1.2620
```

```matlab
fprintf('aBn=%3.4f\n', norm(double(subs(aBn)))/100)
```

```matlabTextOutput
aBn=4.5526
```

```matlab
fprintf('aDn=%3.4f\n', norm(double(subs(aDn)))/100)
```

```matlabTextOutput
aDn=6.0361
```

```matlab
fprintf('aDt=%3.4f\n', norm(double(subs(aDt)))/100)
```

```matlabTextOutput
aDt=8.2479
```

```matlab
fprintf('aBt=%3.4f\n', norm(double(subs(aBt)))/100)
```

```matlabTextOutput
aBt=6.2209
```

```matlab
fprintf('aEDn=%3.4f\n', norm(double(subs(aE_Dn)))/100)
```

```matlabTextOutput
aEDn=2.2222
```

```matlab
fprintf('aEDt=%3.4f\n', norm(double(subs(aE_Dt)))/100)
```

```matlabTextOutput
aEDt=1.7970
```

```matlab
fprintf('a3=%3.4f\n', double(af3k))
```

```matlabTextOutput
a3=-11.8173
```

```matlab
fprintf('a4=%3.4f\n', double(af4k))
```

```matlabTextOutput
a4=-13.9795
```

```matlab
fprintf('a5=%3.4f\n', double(af5k))
```

```matlabTextOutput
a5=-4.0111
```

### Apartado 5: Cálculo de Las fuerzas de inercia

A partir del principio de D'Alembert, podemos calculas las fuerzas de inercia como ${\vec{F} }_{in} =m\cdot (-{\vec{a} }_G )$ . Por tanto, antes que nada, necesitamos calcular las aceleraciones de los c.d.g. algo que podemos realizar gráficamente a partir del cinema de aceleraciones del apartado anterior, o mediante las siguientes expresiones:

#### Aceleraciones de los c.d.g.

\- Para ${\vec{a} }_{G2} ={\vec{a} }_{G2}^n$ necesitamos ${\vec{r} }_{O2G2}$:

```matlab
rO2G2=rO2A/2;
aG2=cross(w2,cross(w2,rO2G2))/100;
```

\- Para ${\vec{a} }_{G3} ={\vec{a} }_A +{\vec{a} }_{G3/A}^n +{\vec{a} }_{G3/A}^t$ necesitamos ${\vec{r} }_{AG3}$:

```matlab
rAG3=rAB/2;
aG3=double(subs(aA+cross(w3,cross(w3,rAG3))+cross(af3,rAG3)))/100;
```

\- Para ${\vec{a} }_{G4} ={\vec{a} }_{G4}^n +{\vec{a} }_{G4}^t$ necesitamos ${\vec{r} }_{O4G4}$:

```matlab
rO4G4=[31.58 12.67 0]; % Graficamente (cm)
aG4=double(subs(cross(w4,cross(w4,rO4G4))+cross(af4,rO4G4)))/100;
```

\- Para ${\vec{a} }_{G5} ={\vec{a} }_C^n +{\vec{a} }_C^t +{\vec{a} }_{G5/C}^n +{\vec{a} }_{G5/C}^t$ necesitamos ${\vec{r} }_{CG5}$:

```matlab
rCG5=rDE/2;
aG5=double(subs(aDn+aDt+cross(w5,cross(w5,rCG5))+cross(af5,rCG5)))/100;
```

\- Para ${\vec{a} }_{G6} ={\vec{a} }_E$ basta con evaluar ${\vec{a} }_E$:

```matlab
aG6=double(subs(aE))/100;
```
### Fuerzas de inercia:

Aplicamos la ecuación anterior a cada sólido:

```matlab
Fin2=-aG2*m2;
Fin3=-aG3*m3;
Fin4=-aG4*m4;
Fin5=-aG5*m5;
Fin6=-aG6*m6;
```

Y mostramos los resultados:

```matlab
fprintf('Fin2i=%3.2f Fin2j=%3.2f (N)\n', Fin2(1), Fin2(2))
```

```matlabTextOutput
Fin2i=8.35 Fin2j=6.18 (N)
```

```matlab
fprintf('Fin3i=%3.2f Fin3j=%3.2f (N)\n', Fin3(1), Fin3(2))
```

```matlabTextOutput
Fin3i=35.03 Fin3j=39.38 (N)
```

```matlab
fprintf('Fin4i=%3.2f Fin4j=%3.2f (N)\n', Fin4(1), Fin4(2))
```

```matlabTextOutput
Fin4i=21.89 Fin4j=85.66 (N)
```

```matlab
fprintf('Fin5i=%3.2f Fin5j=%3.2f (N)\n', Fin5(1), Fin5(2))
```

```matlabTextOutput
Fin5i=3.94 Fin5j=86.22 (N)
```

```matlab
fprintf('Fin6i=%3.2f Fin6j=%3.2f (N)\n', Fin6(1), Fin6(2))
```

```matlabTextOutput
Fin6i=-0.00 Fin6j=128.24 (N)
```

### Apartado 6: Nueva posición del mecanismo

Este apartado se resuelve fácilmente de manera gráfica:

![image_3.png](./figs/example2_6_media/image_3.png)