## Determinación del número de Grados de Libertad (GDL)

### **Fórmula de Grübler para Mecanismos Planos**

Es un método sistemático para hallar el número de GDL.

:::{card} Fórmula

$$G=3(N-1) -2 p_{I} - p_{II}$$

Con:
- $G$: Grados de Libertad totales.
- $N$: Número de eslabones, incluyendo la bancada.
- $p_{I}, p_{II}$: Número de juntas de grado I y II.
:::

**Discusión de la fórmula:**
- Cada cuerpo plano libre tiene 3 GDL, por tanto, los $N-1$ eslabones móviles tienen $3(N-1)$ GDL.
- Cada junta de grado I (como R o P) que conecta dos eslabones, restringe 2 GDL.
- Cada junta de grado II (como una leva) que conecta dos eslabones, restringe 1 GDL.


### **Fórmula General de Kutzbach**
La fórmula de Grübler es un caso particular de la fórmula de Kutzbach, que es más general y se aplica tanto a mecanismos planos como espaciales.

**Para mecanismos planos:** Es idéntica a la de Grübler.
$G = 3(N-1) - 2p_I - p_{II}$

**Para mecanismos espaciales (3D):**
$G = 6(N-1) - \sum_{i=1}^{5} (6-i)p_i = 6(N-1) - 5p_1 - 4p_2 - 3p_3 - 2p_4 - 1p_5$
Donde un cuerpo libre en el espacio tiene 6 GDL, y $p_i$ es el número de juntas que permiten $i$ grados de libertad. Por ejemplo, una junta de revolución ($p_1$) restringe 5 GDL.

### **Aplicación práctica de la fórmula**

:::{card} Sigue estos pasos
- **Numera todos los eslabones:** La bancada es la #1, etc.
- **Identifica los pares cinemáticos:** Distingue entre grado I y grado II.
- **Aplica la fórmula:** $G=3(N-1) -2 p_{I} - p_{II}$
:::

### **Opciones de numeración**

Es habitual encontrar más de una forma de numerar eslabones y juntas, pero ambas acaban siendo equivalentes. Por ejemplo:

::::{grid} 2
![gruebler](figs/gruebler_corredera_1.png)

La corredera se modela como un eslabón adicional, con dos juntas de grado I.
:::
![gruebler](figs/gruebler_corredera_2.png)

No se cuenta el bloque como eslabón, pero sí una junta de grado II.
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### **Juntas con más de dos eslabones**

Una articulación que une $k$ eslabones cuenta como $k-1$ juntas simples. Cuando en una misma junta concurren más de dos barras, hay que analizar cómo se mueven entre sí. Por ejemplo:

::::{grid} 2
![gruebler](figs/gruebler_3barras_1.png)

Articulación con tres barras.
:::
![gruebler](figs/gruebler_3barras_2.png)

Existen dos juntas de revolución (grado I).
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### **Excepciones y Casos Problemáticos**

La fórmula de Grübler/Kutzbach puede fallar en ciertos casos:
* **Ligaduras redundantes:** A veces, un mecanismo tiene más restricciones de las necesarias para producir un movimiento determinado. La fórmula puede predecir 0 o menos GDL, pero el mecanismo se mueve debido a una geometría muy específica (por ejemplo, un mecanismo de paralelogramo con 5 barras). Estas restricciones extra no son independientes.
* **Grados de libertad pasivos o locales:** Algunos mecanismos pueden tener movimientos locales (como una bola que rueda en una pista) que no afectan al movimiento global del mecanismo. La fórmula puede contar estos GDL, llevando a un resultado incorrecto para la movilidad principal.

### **Criterio de métodos numéricos**
En formulaciones de [sistemas multicuerpo](https://en.wikipedia.org/wiki/Multibody_system) para el análisis de máquinas y mecanismos, existe una alternativa más avanzada al método de Grübler:
- Se basa en la matriz Jacobiana de las restricciones.
- Funciona para mecanismos 2D y 3D.
- Detecta configuraciones singulares (¡Grübler falla!).
Este método no se estudiará en este curso introductorio.