## Ejemplo 2.4 Análisis cinemático de un mecanismo biela-manivela invertido

### Análisis de posición 

La figura muestra un mecanismo de biela-manivela invertido. En el instante en que la manivela forma un ángulo $\theta_2 = 60^{\circ}$ con la horizontal, calcule la posición de la corredera con respecto al punto A, los ángulos que los eslabones 3 y 4 forman con la horizontal, y las coordenadas del punto C.

![fig_IN.jpg](./figs/fig_IN.jpg)

Datos:

Longitudes de los eslabones, en metros: $\overline{O_2 A} = 0.45;\, \overline{AC} = 1.7;\, \overline{O_4B} = 0.7855, \overline{O_2O_4} = L_1 = 1.30 \text{ m};$
el ángulo $\gamma$ que forman los eslabones 3 y 4 es de $90^\circ$.

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### Análisis de Posición (Método Gráfico)

El objetivo es construir el mecanismo a escala para medir las incógnitas: la distancia de la corredera al punto A ($\overline{AB}$), los ángulos $\theta_3$ y $\theta_4$, y las coordenadas del punto C.

### Datos de Construcción:

*   **Eslabón 1 (Bastidor):** Distancia $\overline{O_2O_4} = L_1 = 1.30 \text{ m}$
*   **Eslabón 2 (Manivela):** $L_2 = \overline{O_2A} = 0.45 \text{ m}$.
*   **Eslabón 3 (Acoplador):** El punto C está a una distancia $\overline{AC} = 1.7 \text{ m}$ de A.
*   **Eslabón 4 (Balancín):** La distancia perpendicular desde $O_4$ a la ranura es $h = \overline{O_4B} = 0.7855 \text{ m}$.
*   **Ángulo de Entrada:** $\theta_2 = 60^\circ$.
*   **Restricción Geométrica:** El ángulo entre la línea $AC$ (eslabón 3) y la línea $O_4B$ (eslabón 4) es de $90^\circ$.

#### Procedimiento de Construcción:

1.  **Establecer el bastidor:** Localizar el pivote $O_2$ en el origen (0,0) y el pivote $O_4$ en $(L_1, 0)$.
2.  **Posicionar la manivela:** Dibujar el eslabón 2 desde $O_2$ con longitud $L_2=0.45$ y ángulo $\theta_2=60^\circ$ para encontrar el punto A.
3.  **Dibujar la ranura (Eslabón 3):**
    *   Dibujar una circunferencia con centro $O_4$ y radio $h = 0.7855$.
    *   Dibujar una línea recta que parta de A y sea tangente a esta circunferencia. Esto define la dirección del eslabón 3 y su ángulo $\theta_3$. Hay dos tangentes posibles, elegir la que corresponde a la figura.
4.  **Localizar el punto B:** El punto B es el punto de tangencia entre la línea y la circunferencia.
5.  **Localizar el punto C:** Sobre la línea que pasa por A y B, medir una distancia $\overline{AC} = 1.7$ desde A para encontrar C.
6.  **Determinar el eslabón 4:** Dibujar la línea que conecta $O_4$ y B. Su ángulo es $\theta_4$.
7.  **Medición de resultados:** Medir del dibujo la distancia $\overline{AB}$, los ángulos $\theta_3$ y $\theta_4$, y las coordenadas de C.

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### Análisis de Posición (Método Analítico)

#### Formulación del Lazo Vectorial

Consideramos el triángulo formado por los puntos $O_2, O_4, A$. La distancia entre $O_4$ y A, $d_{O_4A}$, se puede calcular con la ley de los cosenos:
$ d_{O_4A}^2 = L_1^2 + L_2^2 - 2L_1L_2\cos\theta_2 $
En el triángulo rectángulo $O_4BA$, tenemos:
$ d_{O_4A}^2 = (\overline{O_4B})^2 + (\overline{AB})^2 = h^2 + (\overline{AB})^2 $
Igualando ambas expresiones, podemos despejar la distancia $\overline{AB}$ (posición de la corredera con respecto a A):
$ \overline{AB} = \sqrt{L_1^2 + L_2^2 - 2L_1L_2\cos\theta_2 - h^2} $

#### Resolviendo para $\theta_3$ y $\theta_4$

1.  **Calcular el ángulo $\alpha = \angle AO_4O_2$:** Usando la ley de los senos en el triángulo $O_2O_4A$:
    $ \frac{\sin\alpha}{L_2} = \frac{\sin\theta_2}{d_{O_4A}} \implies \alpha = \arcsin\left(\frac{L_2\sin\theta_2}{d_{O_4A}}\right) $
2.  **Calcular el ángulo $\beta = \angle AO_4B$:** Usando el triángulo rectángulo $O_4BA$:
    $ \cos\beta = \frac{\overline{O_4B}}{d_{O_4A}} = \frac{h}{d_{O_4A}} \implies \beta = \arccos\left(\frac{h}{d_{O_4A}}\right) $
3.  **Calcular $\theta_3$ y $\theta_4$:**
    Observando la geometría del mecanismo:
    $ \theta_3 = 180^\circ - (\alpha + \beta) $
    Como $\vec{O_4B}$ es perpendicular a la línea AC (eslabón 3):
    $ \theta_4 = \theta_3 - 90^\circ $

#### Cálculo de las Coordenadas del Punto C

$ \vec{R}_C = \vec{R}_A + \vec{R}_{AC} $
*   $x_C = L_2\cos\theta_2 + \overline{AC}\cos\theta_3$
*   $y_C = L_2\sin\theta_2 + \overline{AC}\sin\theta_3$

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Cálculo Numérico:

*   **Datos Iniciales:**
    *   $L_1 = 1.3 \text{ m}$
    *   $L_2 = 0.45 \text{ m}$
    *   $\overline{AC} = 1.7 \text{ m}$
    *   $h = \overline{O_4B} = 0.7855 \text{ m}$
    *   $\theta_2 = 60^\circ$

*   **1. Calcular la distancia $d_{O_4A}$ y la posición de la corredera $\overline{AB}$:**
    $ d_{O_4A}^2 = 1.3^2 + 0.45^2 - 2(1.3)(0.45)\cos(60^\circ) = 1.69 + 0.2025 - 0.585 = 1.3075 $
    $ d_{O_4A} = \sqrt{1.3075} \approx 1.143 \text{ m} $
    $ \overline{AB} = \sqrt{d_{O_4A}^2 - h^2} = \sqrt{1.3075 - 0.7855^2} = \sqrt{0.6904} \approx 0.831 \text{ m} $

*   **2. Calcular el ángulo del vector $\vec{R}_{O_4A}$ ($\phi$) y el ángulo $\beta$:**
    El ángulo $\phi$ es el del vector que va de $O_4$ a A.
    $ \phi = \arctan\left(\frac{y_A - y_{O_4}}{x_A - x_{O_4}}\right) = \arctan\left(\frac{L_2\sin\theta_2}{L_2\cos\theta_2 - L_1}\right) = \arctan\left(\frac{0.45\sin(60^\circ)}{0.45\cos(60^\circ) - 1.3}\right) $
    $ \phi = \arctan\left(\frac{0.3897}{-1.075}\right) \approx 160.05^\circ $
    El ángulo $\beta$ es del triángulo rectángulo $O_4BA$.
    $ \beta = \arccos\left(\frac{h}{d_{O_4A}}\right) = \arccos\left(\frac{0.7855}{1.143}\right) \approx 46.59^\circ $

*   **3. Calcular $\theta_3$ y $\theta_4$:**
    De la geometría, se observa que el ángulo del eslabón 4, $\theta_4$, es la suma de los ángulos $\phi$ y $\beta$ (considerando el cuadrante). La configuración de la figura corresponde a:
    $ \theta_4 = \phi - \beta = 160.05^\circ - 46.59^\circ = 113.46^\circ $
    Y el ángulo del eslabón 3 (la ranura) es perpendicular al eslabón 4:
    $ \theta_3 = \theta_4 - 90^\circ = 113.46^\circ - 90^\circ = 23.46^\circ $

*   **4. Calcular las Coordenadas del Punto C:**
    $ x_C = L_2\cos\theta_2 + \overline{AC}\cos\theta_3 = 0.45\cos(60^\circ) + 1.7\cos(23.46^\circ) = 0.225 + 1.559 = 1.784 \text{ m} $
    $ y_C = L_2\sin\theta_2 + \overline{AC}\sin\theta_3 = 0.45\sin(60^\circ) + 1.7\sin(23.46^\circ) = 0.3897 + 0.677 = 1.067 \text{ m} $

*   **Resultados Finales de Posición:**
    *   Posición de la corredera: $\mathbf{\overline{AB} = 0.831 \text{ m}}$
    *   Ángulo del eslabón 3: $\mathbf{\theta_3 = 23.46^\circ}$
    *   Ángulo del eslabón 4: $\mathbf{\theta_4 = 113.46^\circ}$
    *   Coordenadas de C: **(1.784, 1.067) m**