Ejemplo 3.3: Vehículo acelerando en llano

Un vehículo de masa \(m\) acelera en llano con una aceleración \(a\). Su centro de masas \(C\) está a una altura \(h\) sobre el suelo, a una distancia \(a_1\) del eje delantero y \(a_2\) del trasero (batalla \(L = a_1 + a_2\)). ¿Cuál es la fuerza de reacción vertical en cada rueda? Aplicarlo a \(m = 1500\) kg, \(a = 3\) m/s², \(a_1 = 1.2\) m, \(a_2 = 1.5\) m y \(h = 0.55\) m.

Se supone que el vehículo es simétrico, de forma que las dos ruedas de cada eje soportan la misma carga: \(2F_{z1}\) en el eje delantero y \(2F_{z2}\) en el trasero.

Solución

Estudiamos el vehículo completo como un único sólido rígido (las ruedas giran, pero su masa es pequeña frente a la del resto, y no tenemos en cuenta su inercia de rotación).

Esfuerzos de inercia. El vehículo se traslada con aceleración \(a\) hacia delante (\(+x\)): por el principio de D’Alembert, añadimos una fuerza de inercia \(-m a\) hacia atrás, aplicada en el centro de masas \(C\).

Equilibrio. Las fuerzas sobre el vehículo son: el peso \(mg\) en \(C\), las reacciones verticales \(2F_{z1}\) y \(2F_{z2}\) y las horizontales \(2F_{x1}\) y \(2F_{x2}\) en los contactos de las ruedas, y la fuerza de inercia. Las ecuaciones son:

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum F_x = 0: &\quad 2F_{x1} + 2F_{x2} - m a = 0 \\ \sum F_z = 0: &\quad 2F_{z1} + 2F_{z2} - m g = 0 \\ \sum M_{\text{rueda trasera}} = 0: &\quad 2F_{z1}\, (a_1 + a_2) - m g\, a_2 + m a\, h = 0 \end{aligned} \end{split}\]

En la ecuación de momentos, tomados respecto al punto de contacto de la rueda trasera (sentido antihorario positivo), no aparecen las fuerzas de las ruedas traseras ni ninguna fuerza horizontal en el suelo; la fuerza de inercia, de brazo \(h\), sí da momento. De la tercera y la segunda ecuación:

\[ F_{z1} = \frac{mg}{2}\frac{a_2}{L} - \frac{ma}{2}\frac{h}{L}, \qquad F_{z2} = \frac{mg}{2}\frac{a_1}{L} + \frac{ma}{2}\frac{h}{L} \]

El primer término es el reparto estático del peso; el segundo es la transferencia de carga debida a la aceleración: al acelerar, el eje delantero se descarga y el trasero se carga (al frenar ocurre lo contrario).

Aplicación numérica. Con \(L = 2.7\) m:

\[\begin{split} \begin{aligned} F_{z1} &= \frac{1500 \cdot 9.81}{2}\frac{1.5}{2.7} - \frac{1500 \cdot 3}{2}\frac{0.55}{2.7} = 4087.5 - 458.3 = 3629~\text{N} \\ F_{z2} &= \frac{1500 \cdot 9.81}{2}\frac{1.2}{2.7} + \frac{1500 \cdot 3}{2}\frac{0.55}{2.7} = 3270.0 + 458.3 = 3728~\text{N} \end{aligned} \end{split}\]

Las ruedas delanteras se levantarían (\(F_{z1} = 0\)) con una aceleración \(a = g\,a_2/h = 26.8\) m/s², muy por encima de lo que puede conseguir un turismo. En una motocicleta, con \(h\) grande y \(L\) pequeña, esta condición sí se alcanza («caballito»).

Fuerzas horizontales. Sólo sabemos que \(2F_{x1} + 2F_{x2} = m a\): el reparto entre los ejes queda indeterminado con las ecuaciones de la estática (problema hiperestático). Depende del modelo de tracción del vehículo: en un vehículo de tracción delantera, \(F_{x2} \approx 0\) (salvo la resistencia a la rodadura), y en uno de tracción trasera, \(F_{x1} \approx 0\).