Ejemplo 2.11: Varilla basculante con clavija en una ranura giratoria

La clavija \(A\) de la varilla basculante \(AO_3\) está limitada a moverse en la ranura giratoria de la varilla \(O_2D\) (examen de febrero de 2016). La velocidad angular de esta es \(\omega_2 = 2~rad/s\) en sentido horario, y se mantiene constante en el instante de interés. Para la posición mostrada en la figura (con \(AO_3\) horizontal), se pide:

1. Hallar, por el método analítico, la velocidad absoluta de la clavija \(A\) y su velocidad relativa a la ranura giratoria de \(O_2D\).

2. Hallar la aceleración angular de \(AO_3\) y la aceleración de \(A\) relativa a la ranura del brazo giratorio \(O_2D\).

Solución

De la figura, tomando ejes con \(\hat{i}\) hacia la derecha y \(\hat{j}\) hacia arriba (en mm):

\[ \vec{r}_{O_3A} = 225\,\hat{i}, \qquad \vec{r}_{O_2A} = -225\,\hat{i} - 225\,\hat{j}, \qquad \vec{\omega}_2 = -2\,\hat{k}~(rad/s) \]

1. Velocidad absoluta de \(A\) y velocidad relativa respecto a \(O_2D\)

Para el punto \(A_3\), perteneciente al cuerpo 3, planteamos la ecuación del sólido rígido:

\[ \vec{v}_{A_3} = (\omega_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} = 225\,\omega_3\,\hat{j}~(mm/s) \]

Por otro lado, el mismo punto \(A_3\) se puede considerar como un punto con movimiento relativo respecto al cuerpo 2, con velocidad relativa \((\vec{v}_{A_3})_2\):

\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{v}_{A_3} &= \vec{v}_{O_2} + \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O_2A} + (\vec{v}_{A_3})_2 \\ &= (-2\,\hat{k}) \times (-225\,\hat{i} - 225\,\hat{j}) + (v_{A_3})_2 \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{j}\right) \end{aligned} \end{split}\]

donde \(\vec{v}_{O_2}=0\) y se ha descompuesto la velocidad relativa en un módulo desconocido, \((v_{A_3})_2\), y una dirección conocida: la de la ranura en el instante estudiado. Se ha tomado, arbitrariamente, el vector unitario a \(45^\circ\) (apuntando desde \(A\) hacia \(O_2\)), de modo que el signo de \((v_{A_3})_2\) determinará el sentido.

Igualando ambas expresiones:

\[ 225\,\omega_3\,\hat{j} = \left(-450 + \tfrac{(v_{A_3})_2}{\sqrt{2}}\right)\hat{i} + \left(450 + \tfrac{(v_{A_3})_2}{\sqrt{2}}\right)\hat{j} \]

De la componente \(\hat{i}\) se obtiene \((v_{A_3})_2\), y de la \(\hat{j}\), \(\omega_3\):

\[ (v_{A_3})_2 = 450\sqrt{2} = 636.4~mm/s, \qquad \omega_3 = 4~rad/s~(\circlearrowleft) \]

El signo positivo de la velocidad relativa indica que la clavija \(A\) se aproxima a \(O_2\) en su movimiento relativo a la ranura, mientras que la varilla 3 gira en sentido antihorario. La velocidad absoluta de \(A\) es:

\[ \vec{v}_{A_3} = (\omega_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} = 900\,\hat{j}~(mm/s)~(\uparrow) \]

2. Aceleración angular de \(AO_3\) y aceleración relativa de \(A\) sobre la ranura

Planteamos las ecuaciones de aceleración correspondientes a las dos expresiones de velocidad anteriores. En la segunda aparece el término de Coriolis, al moverse \(A\) respecto a un cuerpo (el 2) que gira:

\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{a}_{A_3} &= \vec{a}_{O_3} + (\alpha_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} + \vec{\omega}_3 \times (\vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{O_3A}) \\ \vec{a}_{A_3} &= \vec{a}_{O_2} + (\vec{a}_{A_3})_2 + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{O_2A} + \vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{O_2A}) + 2\,\vec{\omega}_2 \times (\vec{v}_{A_3})_2 \end{aligned} \end{split}\]

Eliminando los términos nulos (\(\vec{a}_{O_3}=\vec{a}_{O_2}=0\) y \(\vec{\alpha}_2=0\), ya que \(\omega_2\) es constante) y usando que \(\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = -\omega^2\,\vec{r}\) cuando \(\vec{\omega} \perp \vec{r}\), igualamos ambas:

\[ (\alpha_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} - \omega_3^2\,\vec{r}_{O_3A} = (\vec{a}_{A_3})_2 - \omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A} + 2\,\vec{\omega}_2 \times (\vec{v}_{A_3})_2 \]

que es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: \(\alpha_3\) y el módulo \((a_{A_3})_2\) de la aceleración relativa, cuya dirección es de nuevo la de la ranura. Evaluamos cada término:

\[\begin{split} \begin{aligned} (\alpha_3\,\hat{k}) \times \vec{r}_{O_3A} - \omega_3^2\,\vec{r}_{O_3A} &= 225\,\alpha_3\,\hat{j} - 3600\,\hat{i} \\ -\omega_2^2\,\vec{r}_{O_2A} &= 900\,\hat{i} + 900\,\hat{j} \\ 2\,\vec{\omega}_2 \times (\vec{v}_{A_3})_2 &= 2\,(-2\,\hat{k}) \times (450\,\hat{i} + 450\,\hat{j}) = 1800\,\hat{i} - 1800\,\hat{j} \\ (\vec{a}_{A_3})_2 &= (a_{A_3})_2 \left(\tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{i} + \tfrac{1}{\sqrt{2}}\,\hat{j}\right) \end{aligned} \end{split}\]

Igualando componentes:

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} \hat{i}:&\quad -3600 = 2700 + \tfrac{(a_{A_3})_2}{\sqrt{2}} \\ \hat{j}:&\quad 225\,\alpha_3 = -900 + \tfrac{(a_{A_3})_2}{\sqrt{2}} \end{aligned} \right. \quad\rightarrow\quad (a_{A_3})_2 = -6300\sqrt{2} = -8910~mm/s^2, \qquad \alpha_3 = -32~rad/s^2~(\circlearrowright) \end{split}\]

El signo negativo de \((a_{A_3})_2\) indica que la aceleración relativa apunta desde \(O_2\) hacia \(D\), es decir, en sentido contrario a la velocidad relativa: la clavija se está frenando en su movimiento hacia \(O_2\) a lo largo de la ranura. Como comprobación, la aceleración absoluta de \(A\) resulta \(\vec{a}_{A_3} = -3600\,\hat{i} - 7200\,\hat{j}~(mm/s^2)\) por ambos caminos.