Método analítico de las fuerzas#
El método analítico (o vectorial) consiste en plantear las ecuaciones de equilibrio dinámico de todos los eslabones a la vez y resolver el sistema de ecuaciones resultante. Es sistemático y es el método ideal para resolver con ordenador. Lo aplicamos al problema dinámico inverso: el movimiento es conocido y buscamos las fuerzas.
Prerrequisito: análisis cinemático completo#
Antes de empezar hay que haber resuelto la cinemática en la posición de estudio. Se necesitan, para cada eslabón móvil:
La aceleración de su centro de masas, \(\vec{a}_{G_i}\).
Su aceleración angular, \(\vec{\alpha}_i\).
Se obtienen con los métodos de análisis de aceleraciones del tema 2 (ecuaciones vectoriales de velocidades y aceleraciones relativas, polígonos…).
Diagramas de sólido libre#
Despiece: se separa el mecanismo en cada uno de sus eslabones, incluida la bancada si interesan las fuerzas sobre ella.
Dibujo de fuerzas: en cada eslabón se dibujan todas las fuerzas y pares que actúan sobre él:
Fuerzas exteriores: peso \(m_i\vec{g}\), fuerzas de actuadores, cargas útiles o resistentes.
Par motor \(\vec{M}_0\) (o fuerza motriz), sobre el eslabón de entrada.
Fuerzas de reacción en cada par cinemático: las fuerzas que un eslabón ejerce sobre otro.
Esfuerzos de inercia: \(-m_i\vec{a}_{G_i}\) y \(-I_{G_i}\vec{\alpha}_i\) (si el análisis no es cuasiestático).
Notación de las fuerzas de reacción#
Para evitar errores, somos estrictos con la notación:
\(\vec{F}_{ij}\) = fuerza que el eslabón \(i\) ejerce sobre el eslabón \(j\).
Por la tercera ley de Newton (acción y reacción), la fuerza que \(j\) ejerce sobre \(i\) es la opuesta:
\(\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}\)
Esta regla «conecta» los diagramas de sólido libre entre sí: si en el del eslabón 2 aparece \(\vec{F}_{12}\) (fuerza de la bancada 1 sobre el eslabón 2), en el de la bancada aparece \(\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}\). Así, cada par cinemático aporta un único conjunto de incógnitas.
Las componentes de las fuerzas desconocidas se dibujan y se escriben todas como positivas (\(\vec{F}_{12} = F_{12x}\hat{i} + F_{12y}\hat{j}\)): el signo del resultado indica su sentido real.
Incógnitas que introduce cada par (caso plano, sin rozamiento)#
Par cinemático |
Reacción |
Incógnitas |
|---|---|---|
Rotación (articulación) |
Fuerza de dirección desconocida que pasa por el eje |
2 (\(F_x\), \(F_y\)) |
Prismático (corredera) |
Fuerza perpendicular a la guía y par (o fuerza normal de posición desconocida) |
2 |
Leva o contacto puntual con deslizamiento |
Fuerza según la normal común |
1 |
Rodadura sin deslizamiento |
Fuerza de dirección desconocida en el punto de contacto |
2 |
Si la corredera es pequeña frente al resto del mecanismo y todas las fuerzas pasan por su centro, el par de la guía es nulo y basta con la fuerza normal (1 incógnita), como en los ejemplos de este tema.
Ecuaciones de equilibrio dinámico#
Para cada eslabón móvil planteamos las tres ecuaciones del plano:
donde \(P\) es un punto conveniente (habitualmente \(G\), o una articulación para eliminar sus incógnitas). Tomando momentos respecto a \(G\), el término \(\vec{r}_{PG}\times\vec{F}_{in}\) desaparece y se obtienen directamente las ecuaciones de Newton-Euler:
con \(\vec{r}_{Gj}\) el vector desde \(G\) hasta el punto de aplicación de cada fuerza \(\vec{F}_j\). En el plano, el producto vectorial de \(\vec{r} = (r_x, r_y)\) por \(\vec{F} = (F_x, F_y)\) tiene sólo componente \(z\):
Balance de ecuaciones e incógnitas#
Un mecanismo plano con \(n\) eslabones móviles proporciona \(3n\) ecuaciones. Las incógnitas son las componentes de las reacciones en los pares y los esfuerzos motores (un par o fuerza motriz por cada grado de libertad). Por la fórmula de Grübler, en un mecanismo de \(g\) grados de libertad sin redundancias ambos números coinciden: el problema dinámico inverso está determinado.
Si hay más incógnitas que ecuaciones, el problema es hiperestático (estáticamente indeterminado): hace falta considerar la deformación de los eslabones. Un ejemplo sencillo es el reparto de las fuerzas horizontales entre las ruedas de un vehículo (Ejemplo 3.3: Vehículo acelerando en llano).
Resolución: sistema lineal#
Las ecuaciones son lineales en las incógnitas (las fuerzas). Agrupando todas las incógnitas en un vector \(\mathbf{x}\), el sistema se escribe:
donde la matriz \(\mathbf{A}\) sólo depende de la geometría (la posición del mecanismo) y el vector \(\mathbf{b}\) contiene los términos conocidos: masas por aceleraciones, momentos de inercia por aceleraciones angulares y cargas exteriores. Aunque el sistema sea grande (14 ecuaciones en el mecanismo de 6 barras de Ejemplo 3.7: Mecanismo de transferencia (análisis completo)), es algebraicamente simple y se resuelve con cualquier herramienta de cálculo:
% Opción 1: cálculo simbólico, con las ecuaciones escritas tal cual
syms F12x F12y F32x F32y M0k real
sol = solve([eq1, eq2, eq3, ...], [F12x, F12y, F32x, F32y, M0k]);
% Opción 2: forma matricial, A*x = b (más eficiente)
x = A \ b;
Ambas opciones se desarrollan en el ejemplo Ejemplo 3.7: Mecanismo de transferencia (análisis completo). La forma matricial es la base de los programas de simulación dinámica de sistemas multicuerpo.
Resumen del método#
Resolver la cinemática: \(\vec{a}_{G_i}\), \(\vec{\alpha}_i\) de todos los eslabones.
Calcular los esfuerzos de inercia de cada eslabón.
Dibujar los diagramas de sólido libre con la notación \(\vec{F}_{ij}\), usando \(\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}\).
Plantear las 3 ecuaciones de cada eslabón móvil (Newton-Euler, o equilibrio con D’Alembert).
Resolver el sistema lineal y comprobar los resultados (signos, órdenes de magnitud, potencia).
Truco
Una comprobación sencilla del par motor \(M_0\) es el balance de potencias (tema 4): la potencia del par motor más la de todas las fuerzas exteriores y de inercia es nula, \(M_0\,\omega_2 + \sum_i \left( \vec{F}_i\cdot\vec{v}_i \right) + \sum_i \left( -m_i\vec{a}_{G_i}\cdot\vec{v}_{G_i} - I_{G_i}\alpha_i\,\omega_i \right) = 0\). Permite calcular \(M_0\) sin conocer las reacciones.