# Método analítico de las fuerzas

El método analítico (o vectorial) consiste en plantear las ecuaciones de equilibrio dinámico de **todos** los eslabones a la vez y resolver el sistema de ecuaciones resultante. Es sistemático y es el método ideal para resolver con ordenador. Lo aplicamos al problema dinámico inverso: el movimiento es conocido y buscamos las fuerzas.

## Prerrequisito: análisis cinemático completo

Antes de empezar hay que haber resuelto la cinemática en la posición de estudio. Se necesitan, para **cada eslabón móvil**:

- La aceleración de su centro de masas, $\vec{a}_{G_i}$.
- Su aceleración angular, $\vec{\alpha}_i$.

Se obtienen con los métodos de análisis de aceleraciones del tema 2 (ecuaciones vectoriales de velocidades y aceleraciones relativas, polígonos...).

## Diagramas de sólido libre

1. **Despiece:** se separa el mecanismo en cada uno de sus eslabones, incluida la bancada si interesan las fuerzas sobre ella.
2. **Dibujo de fuerzas:** en cada eslabón se dibujan **todas** las fuerzas y pares que actúan sobre él:
   - Fuerzas exteriores: peso $m_i\vec{g}$, fuerzas de actuadores, cargas útiles o resistentes.
   - Par motor $\vec{M}_0$ (o fuerza motriz), sobre el eslabón de entrada.
   - **Fuerzas de reacción** en cada par cinemático: las fuerzas que un eslabón ejerce sobre otro.
   - Esfuerzos de inercia: $-m_i\vec{a}_{G_i}$ y $-I_{G_i}\vec{\alpha}_i$ (si el análisis no es cuasiestático).

### Notación de las fuerzas de reacción

Para evitar errores, somos estrictos con la notación:

> $\vec{F}_{ij}$ = fuerza que el eslabón $i$ ejerce **sobre** el eslabón $j$.

Por la tercera ley de Newton (acción y reacción), la fuerza que $j$ ejerce sobre $i$ es la opuesta:

> $\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}$

Esta regla «conecta» los diagramas de sólido libre entre sí: si en el del eslabón 2 aparece $\vec{F}_{12}$ (fuerza de la bancada 1 sobre el eslabón 2), en el de la bancada aparece $\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}$. Así, cada par cinemático aporta **un único** conjunto de incógnitas.

Las componentes de las fuerzas desconocidas se dibujan y se escriben **todas como positivas** ($\vec{F}_{12} = F_{12x}\hat{i} + F_{12y}\hat{j}$): el signo del resultado indica su sentido real.

### Incógnitas que introduce cada par (caso plano, sin rozamiento)

| Par cinemático | Reacción | Incógnitas |
|---|---|---|
| Rotación (articulación) | Fuerza de dirección desconocida que pasa por el eje | 2 ($F_x$, $F_y$) |
| Prismático (corredera) | Fuerza perpendicular a la guía y par (o fuerza normal de posición desconocida) | 2 |
| Leva o contacto puntual con deslizamiento | Fuerza según la normal común | 1 |
| Rodadura sin deslizamiento | Fuerza de dirección desconocida en el punto de contacto | 2 |

Si la corredera es pequeña frente al resto del mecanismo y todas las fuerzas pasan por su centro, el par de la guía es nulo y basta con la fuerza normal (1 incógnita), como en los ejemplos de este tema.

## Ecuaciones de equilibrio dinámico

Para cada eslabón móvil planteamos las tres ecuaciones del plano:

$$
\left\{
\begin{aligned}
\sum \vec{F} + \vec{F}_{in} &= \vec{0} \quad (2 \text{ ecuaciones}) \\
\sum M_P + \left( \vec{r}_{PG} \times \vec{F}_{in} \right)_z + M_{in} &= 0 \quad (1 \text{ ecuación})
\end{aligned}
\right.
$$

donde $P$ es un punto conveniente (habitualmente $G$, o una articulación para eliminar sus incógnitas). Tomando momentos respecto a $G$, el término $\vec{r}_{PG}\times\vec{F}_{in}$ desaparece y se obtienen directamente las ecuaciones de Newton-Euler:

$$
\sum \vec{F}_{j} = m\,\vec{a}_G, \qquad \sum_j \left( \vec{r}_{Gj} \times \vec{F}_j \right) + \sum M_j = I_G\, \alpha
$$

con $\vec{r}_{Gj}$ el vector desde $G$ hasta el punto de aplicación de cada fuerza $\vec{F}_j$. En el plano, el producto vectorial de $\vec{r} = (r_x, r_y)$ por $\vec{F} = (F_x, F_y)$ tiene sólo componente $z$:

$$ \left( \vec{r} \times \vec{F} \right)_z = r_x F_y - r_y F_x $$

## Balance de ecuaciones e incógnitas

Un mecanismo plano con $n$ eslabones móviles proporciona $3n$ ecuaciones. Las incógnitas son las componentes de las reacciones en los pares y los esfuerzos motores (un par o fuerza motriz por cada grado de libertad). Por la fórmula de Grübler, en un mecanismo de $g$ grados de libertad sin redundancias ambos números coinciden: el problema dinámico inverso está **determinado**.

Si hay más incógnitas que ecuaciones, el problema es **hiperestático** (estáticamente indeterminado): hace falta considerar la deformación de los eslabones. Un ejemplo sencillo es el reparto de las fuerzas horizontales entre las ruedas de un vehículo ({doc}`L03_12_example3`).

## Resolución: sistema lineal

Las ecuaciones son **lineales** en las incógnitas (las fuerzas). Agrupando todas las incógnitas en un vector $\mathbf{x}$, el sistema se escribe:

$$ \mathbf{A}\, \mathbf{x} = \mathbf{b} $$

donde la matriz $\mathbf{A}$ sólo depende de la geometría (la posición del mecanismo) y el vector $\mathbf{b}$ contiene los términos conocidos: masas por aceleraciones, momentos de inercia por aceleraciones angulares y cargas exteriores. Aunque el sistema sea grande (14 ecuaciones en el mecanismo de 6 barras de {doc}`L03_16_example7`), es algebraicamente simple y se resuelve con cualquier herramienta de cálculo:

```matlab
% Opción 1: cálculo simbólico, con las ecuaciones escritas tal cual
syms F12x F12y F32x F32y M0k real
sol = solve([eq1, eq2, eq3, ...], [F12x, F12y, F32x, F32y, M0k]);

% Opción 2: forma matricial, A*x = b (más eficiente)
x = A \ b;
```

Ambas opciones se desarrollan en el ejemplo {doc}`L03_16_example7`. La forma matricial es la base de los programas de simulación dinámica de sistemas multicuerpo.

## Resumen del método

1. Resolver la cinemática: $\vec{a}_{G_i}$, $\vec{\alpha}_i$ de todos los eslabones.
2. Calcular los esfuerzos de inercia de cada eslabón.
3. Dibujar los diagramas de sólido libre con la notación $\vec{F}_{ij}$, usando $\vec{F}_{ji} = -\vec{F}_{ij}$.
4. Plantear las 3 ecuaciones de cada eslabón móvil (Newton-Euler, o equilibrio con D'Alembert).
5. Resolver el sistema lineal y comprobar los resultados (signos, órdenes de magnitud, potencia).

:::{tip}
Una comprobación sencilla del par motor $M_0$ es el **balance de potencias** (tema 4): la potencia del par motor más la de todas las fuerzas exteriores y de inercia es nula, $M_0\,\omega_2 + \sum_i \left( \vec{F}_i\cdot\vec{v}_i \right) + \sum_i \left( -m_i\vec{a}_{G_i}\cdot\vec{v}_{G_i} - I_{G_i}\alpha_i\,\omega_i \right) = 0$. Permite calcular $M_0$ sin conocer las reacciones.
:::