Ejemplo 3.1: Garra robótica (análisis cuasiestático)

Ejemplo 3.1: Garra robótica (análisis cuasiestático)#

La figura muestra el mecanismo de una garra robótica, con las dimensiones en cm. Se desea una fuerza de apriete \(F_g = 25\) N en cada dedo. Sin considerar la acción de la gravedad, ¿cuál debe ser la fuerza \(F_a\) del actuador? Para poder diseñar la estructura de soporte de la garra, se pide además calcular la reacción en la articulación \(O_2\).

Garra robótica

El dedo superior (eslabón 2) gira alrededor de \(O_2\) y forma \(15^\circ\) con la horizontal; la barra \(AB\) (eslabón 3) forma \(45^\circ\); el actuador mueve horizontalmente el bloque \(B\) (eslabón 4). El mecanismo se mueve lentamente, así que el análisis es cuasiestático: los esfuerzos de inercia son despreciables.

Solución gráfica (equilibrio de cada eslabón)

Por simetría, basta con estudiar el dedo superior. La barra \(AB\) no tiene cargas ni masa: es un elemento de dos fuerzas, y la fuerza \(F_{AB}\) que transmite tiene la dirección de la barra, a \(45^\circ\).

Eslabón 2. Tomando momentos respecto a \(O_2\) (sentido antihorario positivo), la reacción en \(O_2\) no aparece:

Dedo superior
\[ F_{AB} \cos 45^\circ \cdot 1.5 \sin 15^\circ + F_{AB} \sin 45^\circ \cdot 1.5 \cos 15^\circ - 25 \cdot 4 \cos 15^\circ = 0 \]

de donde \(F_{AB} = 74.4\) N.

Eslabón 4. El bloque \(B\) recibe la fuerza de las dos barras (la del dedo superior y la del inferior, simétricas) y la del actuador:

Bloque del actuador

Las componentes verticales se anulan por simetría, y las horizontales se suman:

\[ F_a = 2\, F_{AB} \cos 45^\circ = 105.15~\text{N} \]

Reacción en \(O_2\). Se obtiene cerrando el polígono de fuerzas del eslabón 2, \(\vec{F}_g + \vec{F}_{AB} + \vec{F}_{12} = \vec{0}\):

Polígono de fuerzas
\[ \vec{F}_{12} = 52.6\,\hat{i} - 77.6\,\hat{j}~\text{N} \]
Solución analítica (sistema de ecuaciones)

El procedimiento sistemático consiste en plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos de todos los sólidos y resolverlas simultáneamente. Seguimos estudiando la mitad superior; la fuerza del actuador que le corresponde es \(F_a/2\).

Vectores de posición (en cm), con \(\hat{i}\) hacia la derecha y \(\hat{j}\) hacia arriba:

\[ \vec{r}_{O_2A} = 1.5\,(\cos 15^\circ, \sin 15^\circ), \quad \vec{r}_{O_2C} = -4\,(\cos 15^\circ, \sin 15^\circ), \quad \vec{r}_{AB} = 2.5\,(\cos 45^\circ, -\sin 45^\circ) \]

Sólido 2. A partir del diagrama de sólido libre:

DSL sólido 2
\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{F}_{32} + \vec{F}_{12} + \vec{F}_g &= \vec{0} \\ \vec{r}_{O_2A} \times \vec{F}_{32} + \vec{r}_{O_2C} \times \vec{F}_g &= \vec{0} \end{aligned} \end{split}\]

con \(\vec{F}_g = 25\,\hat{j}\) N. Todas las componentes desconocidas se escriben como positivas; el signo del resultado indicará su sentido.

Sólido 3.

DSL sólido 3
\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{F}_{43} - \vec{F}_{32} &= \vec{0} \\ \vec{r}_{AB} \times \vec{F}_{43} &= \vec{0} \end{aligned} \end{split}\]

Se usa \(\vec{F}_{23} = -\vec{F}_{32}\) para no duplicar incógnitas.

Sólido 4 (mitad del bloque, fuerza del actuador \(-F\,\hat{i}\), guía horizontal):

DSL sólido 4
\[ F_{14y}\,\hat{j} - \vec{F}_{43} - F\,\hat{i} = \vec{0} \]

Resolución. Son 8 ecuaciones escalares con 8 incógnitas (\(F_{12x}\), \(F_{12y}\), \(F_{32x}\), \(F_{32y}\), \(F_{43x}\), \(F_{43y}\), \(F_{14y}\), \(F\)). En MATLAB:

syms F12x F12y F32x F32y F43x F43y F14y F real
rO2A = 1.5*[cosd(15) sind(15) 0];
rO2C = -4*[cosd(15) sind(15) 0];
rAB  = 2.5*[cosd(45) -sind(45) 0];
Fg = [0 25 0];
F12 = [F12x F12y 0]; F32 = [F32x F32y 0]; F43 = [F43x F43y 0];
eq1_2 = F32 + F12 + Fg == 0;
eq3   = cross(rO2A, F32) + cross(rO2C, Fg) == 0;
eq4_5 = F43 - F32 == 0;
eq6   = cross(rAB, F43) == 0;
eq7_8 = [0 F14y 0] - F43 - [F 0 0] == 0;
sol = solve([eq1_2(1:2), eq3(3), eq4_5(1:2), eq6(3), eq7_8(1:2)], ...
    [F12x, F12y, F32x, F32y, F43x, F43y, F14y, F]);
structfun(@double, sol)

Resultado: \(\vec{F}_{32} = \vec{F}_{43} = -52.58\,\hat{i} + 52.58\,\hat{j}\) N (la barra trabaja a compresión con \(74.4\) N), \(\vec{F}_{12} = 52.58\,\hat{i} - 77.58\,\hat{j}\) N, \(F = 52.58\) N, y por tanto \(F_a = 2F = 105.15\) N, como en la solución gráfica. La reacción \(F_{14y} = 52.58\) N de la mitad superior se anula con la de la mitad inferior, así que la guía del actuador no soporta carga.