Ejemplo 3.4: Biela-manivela con la masa en la corredera

En el mecanismo biela-manivela de la figura, la manivela \(OA\) (de longitud \(L\)) gira con velocidad angular \(\omega\) constante en sentido antihorario, accionada por un par motor \(\tau\) desconocido. La biela \(AB\) mide \(2L\). Sabiendo que la manivela y la biela tienen masa despreciable y que la masa de la corredera es \(M\), calcular el par \(\tau\) instantáneo cuando la manivela forma un ángulo de \(45^\circ\) con la horizontal. Despreciar el peso y el rozamiento.

(Ejemplo resuelto en [AI14].) Seguiremos los tres pasos del principio de D’Alembert: cinemática, esfuerzos de inercia y equilibrio estático.

Paso 1: cinemática

Posición. Con \(O\) en el origen y \(\theta = 45^\circ\):

\[ \vec{r}_{OA} = L\,(\cos 45^\circ, \sin 45^\circ) = (0.7071, 0.7071)\,L \]

La corredera está en la horizontal de \(O\): \(x_B = L\cos 45^\circ + \sqrt{(2L)^2 - (L \sin 45^\circ)^2} = 2.5779\,L\), y por tanto:

\[ \vec{r}_{AB} = (1.8708, -0.7071)\,L, \qquad \sin\beta = \frac{L\sin 45^\circ}{2L} \rightarrow \beta = 20.70^\circ \]

con \(\beta\) el ángulo que forma la biela con la horizontal (por debajo).

Velocidades. \(\vec{v}_A = \vec{\omega}\times\vec{r}_{OA} = \omega L\,(-0.7071, 0.7071)\), y \(\vec{v}_B = v_B\,\hat{i} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}\). Igualando componentes:

\[\begin{split} \begin{aligned} v_B &= -0.7071\,\omega L + 0.7071\,\omega_3 L \\ 0 &= 0.7071\,\omega L + 1.8708\,\omega_3 L \end{aligned} \quad\rightarrow\quad \omega_3 = -0.3780\,\omega, \qquad v_B = -0.9744\,\omega L \end{split}\]

Aceleraciones. Con \(\omega\) constante, \(\vec{a}_A = -\omega^2\vec{r}_{OA} = \omega^2 L\,(-0.7071, -0.7071)\), y:

\[ a_B\,\hat{i} = \vec{a}_A - \omega_3^2\, \vec{r}_{AB} + \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AB} \]

\[\begin{split} \begin{aligned} a_B &= -0.7071\,\omega^2 L - 0.1429 \cdot 1.8708\,\omega^2 L + 0.7071\,\alpha_3 L \\ 0 &= -0.7071\,\omega^2 L + 0.1429 \cdot 0.7071\,\omega^2 L + 1.8708\,\alpha_3 L \end{aligned} \quad\rightarrow\quad \alpha_3 = 0.3240\,\omega^2, \qquad a_B = -0.7453\,\omega^2 L \end{split}\]

La corredera se mueve hacia la izquierda (\(v_B < 0\)) cada vez más rápido (\(a_B < 0\), del mismo signo).

Paso 2: esfuerzos de inercia

Sólo la corredera tiene masa, y se traslada: tiene fuerza de inercia, pero no par de inercia. La fuerza de inercia es opuesta a su aceleración:

\[ \vec{J}_4 = -M\,\vec{a}_B = 0.7453\, M\omega^2 L\;\hat{i} \]

aplicada en \(B\).

Paso 3: equilibrio (solución analítica)

Biela (eslabón 3). No tiene masa ni cargas: es un elemento de dos fuerzas, y transmite una fuerza en la dirección \(AB\). Llamamos \(\vec{u} = \vec{r}_{AB}/|\vec{r}_{AB}| = (\cos\beta, -\sin\beta)\) y \(\vec{F}_{34} = F_{34}\,\vec{u}\) a la fuerza que la biela ejerce sobre la corredera (\(F_{34} > 0\) si empuja, compresión).

Corredera (eslabón 4). Recibe \(\vec{J}_4\), \(\vec{F}_{34}\) y la reacción de la guía \(\vec{F}_{14} = N\,\hat{j}\):

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum F_x = 0: &\quad 0.7453\,M\omega^2 L + F_{34} \cos\beta = 0 \quad\rightarrow\quad F_{34} = -0.7967\, M\omega^2 L \\ \sum F_y = 0: &\quad N - F_{34} \sin\beta = 0 \quad\rightarrow\quad N = -0.2817\, M\omega^2 L \end{aligned} \end{split}\]

El signo negativo de \(F_{34}\) indica que la biela tira de la corredera (tracción), y el de \(N\), que la guía empuja hacia abajo.

Manivela (eslabón 2). La biela ejerce sobre ella \(\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{34}\) en \(A\). Tomando momentos respecto a \(O\):

\[ \tau + \left( \vec{r}_{OA} \times \vec{F}_{32} \right)_z = 0 \quad\rightarrow\quad \tau = \left( \vec{r}_{OA} \times \vec{F}_{34} \right)_z = F_{34}\, L \left( -0.7071 \sin\beta - 0.7071 \cos\beta \right) \]

\[ \boxed{\tau = 0.7262\, M\omega^2 L^2} \quad (\text{antihorario}) \]

Comprobación por potencias. La potencia del par motor más la de la fuerza de inercia es nula: \(\tau\,\omega + \vec{J}_4\cdot\vec{v}_B = 0\), de donde \(\tau = -J_4\, v_B / \omega = 0.7453 \cdot 0.9744\, M\omega^2L^2 = 0.7262\, M\omega^2L^2\). ✓

Paso 3: equilibrio (solución gráfica)

Con la biela como elemento de dos fuerzas, la corredera es un elemento de tres fuerzas: \(\vec{J}_4\) (conocida), \(\vec{F}_{34}\) (dirección \(AB\)) y \(\vec{F}_{14}\) (perpendicular a la guía). Las tres pasan por \(B\), así que basta con cerrar el triángulo de fuerzas, que da los módulos y sentidos de \(\vec{F}_{34}\) y \(\vec{F}_{14}\). Después, la fuerza que la biela transmite a la manivela tiene un brazo \(d\) respecto a \(O\), que se mide en el dibujo (\(d = 0.9114\,L\)), y \(\tau = |\vec{F}_{32}|\, d = 0.7967 \cdot 0.9114\, M\omega^2L^2 = 0.7262\, M\omega^2L^2\).

Construcción interactiva

Recorre la construcción paso a paso. Arrastrando la manivela se ve la solución en cualquier otra posición (las magnitudes se dan en unidades de \(M\omega^2L\) y \(M\omega^2L^2\)):

Par a lo largo de una vuelta

Repitiendo el cálculo en todas las posiciones se obtiene la curva del par necesario para mantener \(\omega\) constante. El par cambia de signo: en unas zonas el motor tiene que acelerar la corredera, y en otras debe frenarla. Su valor medio en una vuelta es nulo, porque la energía cinética del mecanismo es la misma al principio y al final de la vuelta (tema 4). Este par variable es el que se suaviza con un volante de inercia.