Ejemplo 3.5: Análisis estático gráfico de un cuadrilátero#
En el cuadrilátero articulado de la figura actúa una fuerza horizontal \(\vec{P}\) de \(100\) N, hacia la izquierda, en el punto \(C\) del balancín. Calcular, por métodos gráficos, las reacciones en las cuatro articulaciones y el par \(M_2\) que hay que aplicar a la manivela para mantener el mecanismo en equilibrio en esta posición. Se desprecian las masas de los eslabones y el rozamiento.
Datos: \(\overline{O_2A} = 0.20\) m, \(\overline{AB} = 0.50\) m, \(\overline{O_4B} = 0.35\) m, \(\overline{O_2O_4} = 0.45\) m (horizontal), \(\overline{O_4C} = 0.25\) m, \(\theta_2 = 45^\circ\).
Solución
Posición. Del análisis de posición (por ejemplo, dibujando a escala con regla y compás): \(A = (0.1414, 0.1414)\) m, \(B = (0.6121, 0.3102)\) m, y \(C\), a \(0.25\) m de \(O_4\) sobre \(O_4B\), en \((0.5658, 0.2216)\) m. La biela forma \(19.7^\circ\) con la horizontal.
Eslabón 3 (biela). Sólo recibe fuerzas en sus dos articulaciones: es un elemento de dos fuerzas, así que \(\vec{F}_{34}\) (fuerza de la biela sobre el balancín) tiene la dirección de \(AB\).
Eslabón 4 (balancín). Es un elemento de tres fuerzas: \(\vec{P}\), conocida; \(\vec{F}_{34}\), de dirección \(AB\); y \(\vec{F}_{14}\), que pasa por \(O_4\) con dirección desconocida. Las tres deben cortarse en un punto:
Se prolongan la recta de acción de \(\vec{P}\) (horizontal por \(C\)) y la recta \(AB\). Se cortan en \(Q = (0.3649, 0.2216)\) m.
\(\vec{F}_{14}\) debe pasar por \(O_4\) y por \(Q\): ya conocemos su dirección (\(-69.0^\circ\)).
Se dibuja a escala \(\vec{P}\) y, desde sus extremos, paralelas a \(AB\) y a \(O_4Q\). El triángulo cerrado \(\vec{P} + \vec{F}_{34} + \vec{F}_{14} = \vec{0}\) da los módulos y los sentidos:
\(\vec{F}_{34}\) apunta de \(A\) hacia \(B\): la biela empuja al balancín, trabaja a compresión.
Eslabón 2 (manivela). La biela ejerce sobre la manivela \(\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{34} = 93.4~\text{N}\angle{-160.3^\circ}\), aplicada en \(A\). Para el equilibrio de fuerzas, \(\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{32} = 93.4~\text{N}\angle 19.7^\circ\). Las dos fuerzas son paralelas y opuestas, y forman un par de valor \(|\vec{F}_{32}|\, d_2\), donde \(d_2 = 0.0854\) m es la distancia de \(O_2\) a la recta \(AB\) (medida en el dibujo). El par \(M_2\) debe equilibrarlo:
El sentido se obtiene observando que \(\vec{F}_{32}\), aplicada en \(A\) y dirigida hacia abajo y a la izquierda, tiende a girar la manivela en sentido antihorario respecto a \(O_2\); el par motor debe ser horario.
Bancada. Recibe \(\vec{F}_{21} = -\vec{F}_{12}\) en \(O_2\) y \(\vec{F}_{41} = -\vec{F}_{14}\) en \(O_4\). Su resultante es igual a \(\vec{P}\) (la carga exterior se transmite a la bancada), y el momento que forman, junto con \(M_2\), es el par que deben soportar los anclajes.
Comprobación analítica. Por el principio de las potencias virtuales (tema 4), \(M_2\,\omega_2 + \vec{P}\cdot\vec{v}_C = 0\) para cualquier velocidad compatible. Con \(\omega_2 = 1\) rad/s, el análisis de velocidades da \(\omega_4 = 0.360\) rad/s y \(\vec{v}_C = \vec{\omega}_4\times\vec{r}_{O_4C} = (-0.0797, 0.0416)\) m/s, de donde \(M_2 = -\vec{P}\cdot\vec{v}_C/\omega_2 = -7.97\) N·m (horario). ✓