Ejemplo 2.8: Dos barras con doble deslizadera

Para el mecanismo de la figura (problema adaptado de [AI14]), hallar la velocidad y la aceleración instantáneas del punto 2.

Datos: \(L=1~m\); velocidades \(\vec{v}_1 = 1\,\hat{j}~(m/s)\), \(\vec{v}_3 = 1\,\hat{i}~(m/s)\); aceleraciones \(\vec{a}_1 = 1\,\hat{j}~(m/s^2)\), \(\vec{a}_3 = 1\,\hat{i}~(m/s^2)\).

Solución

Debemos buscar ecuaciones de movimiento que liguen las variables conocidas (el estado de los puntos 1 y 3) con las desconocidas (las del punto 2). De la figura, el punto 2 está a una distancia \(L=1\) a la derecha de 1 y, al formar la barra 32 un ángulo de \(45^\circ\), también a una altura \(1\) sobre el punto 3:

\[ \vec{r}_{12} = 1\,\hat{i}, \qquad \vec{r}_{32} = 1\,\hat{i} + 1\,\hat{j} \quad (m) \]

Existen dos relaciones claras:

• Sólido rígido 12: el punto 2 pertenece a la barra 12, así que tomamos el punto 1 como referencia: \(\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \vec{\omega}_{12} \times \vec{r}_{12}\).

• Sólido rígido 32: igualmente, el punto 2 pertenece a la barra 32: \(\vec{v}_2 = \vec{v}_3 + \vec{\omega}_{32} \times \vec{r}_{32}\).

El orden de los términos es importante, aunque se pueden intercambiar los papeles de los dos puntos siempre que también se invierta el vector que los une. Por ejemplo, la primera ecuación también sería correcta como \(\vec{v}_1 = \vec{v}_2 + \vec{\omega}_{12} \times \vec{r}_{21}\).

Velocidades

Juntando ambas ecuaciones obtenemos un sistema de 4 ecuaciones escalares (cada ecuación vectorial en el plano cuenta como dos) con cuatro incógnitas: \(v_{2x}\), \(v_{2y}\), \(\omega_{12}\) y \(\omega_{32}\). Desarrollando los productos vectoriales:

\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{v}_2 &= 1\,\hat{j} + (\omega_{12}\,\hat{k}) \times (1\,\hat{i}) = 0\,\hat{i} + (1 + \omega_{12})\,\hat{j} \\ \vec{v}_2 &= 1\,\hat{i} + (\omega_{32}\,\hat{k}) \times (1\,\hat{i} + 1\,\hat{j}) = (1 - \omega_{32})\,\hat{i} + \omega_{32}\,\hat{j} \end{aligned} \end{split}\]

Igualando las componentes \(\hat{i}\): \(0 = 1 - \omega_{32}\), luego \(\omega_{32} = 1~rad/s\). Igualando las componentes \(\hat{j}\): \(1 + \omega_{12} = \omega_{32} = 1\), luego \(\omega_{12} = 0\). Por tanto:

\[ \vec{v}_2 = 1\,\hat{j}~(m/s), \qquad \omega_{12} = 0~(rad/s), \qquad \omega_{32} = 1~(rad/s) \]

Aceleraciones

Del mismo modo, planteamos las ecuaciones de aceleración del punto 2 como perteneciente a los sólidos rígidos 12 y 32 (con \(\vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r}) = -\omega^2\,\vec{r}\) en el plano):

\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{a}_2 &= \vec{a}_1 + \vec{\alpha}_{12} \times \vec{r}_{12} - \omega_{12}^2\,\vec{r}_{12} = 0\,\hat{i} + (1 + \alpha_{12})\,\hat{j} \\ \vec{a}_2 &= \vec{a}_3 + \vec{\alpha}_{32} \times \vec{r}_{32} - \omega_{32}^2\,\vec{r}_{32} = (1 - \alpha_{32} - 1)\,\hat{i} + (\alpha_{32} - 1)\,\hat{j} \end{aligned} \end{split}\]

De nuevo, cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas (\(a_{2x}\), \(a_{2y}\), \(\alpha_{12}\) y \(\alpha_{32}\)). Igualando componentes: \(0 = -\alpha_{32}\) y \(1 + \alpha_{12} = \alpha_{32} - 1\), de donde:

\[ \vec{a}_2 = -1\,\hat{j}~(m/s^2), \qquad \alpha_{12} = -2~(rad/s^2), \qquad \alpha_{32} = 0~(rad/s^2) \]