Dinámica del sólido rígido

Al pasar de partículas a cuerpos con extensión aparecen nuevas magnitudes: la orientación, la velocidad angular y la aceleración angular. Necesitamos extender las ecuaciones de la partícula a sólidos con área o volumen:

• Movimiento lineal (\(\vec{p}\)) \(\rightarrow\) ecuaciones de Newton.

• Movimiento angular (\(\vec{L}\)) \(\rightarrow\) ecuaciones de Euler.

Consideramos un sólido dividido en elementos infinitesimales de masa \(dm\), con centro de masas (o de gravedad) \(G\), sometido a un conjunto de fuerzas exteriores puntuales \(\vec{F}_j^{ext}\). Llamamos \(\vec{r}\) a la posición de cada \(dm\) desde el origen \(O\) y \(\vec{r}\,'\) a su posición relativa a \(G\).

Ecuación de Newton

Aplicando la segunda ley de Newton a cada elemento \(dm\) y sumando (integrando) para todo el sólido, aparecen las fuerzas exteriores y las fuerzas interiores \(d\vec{F}^i\) que se ejercen entre los elementos:

\[ \int_V d\vec{F}^i + \sum_j \vec{F}_j^{ext} = \int_V \vec{a}\, dm \]

Por la tercera ley de Newton (acción y reacción), las fuerzas interiores se anulan dos a dos, y su integral es nula. Llamando \(\vec{F}^{ext}\) a la resultante de las fuerzas exteriores:

\[ \vec{F}^{ext} = \int_V \vec{a}\, dm = \int_V \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\, dm = \frac{d^2}{dt^2} \underbrace{\int_V \vec{r}\, dm}_{m\,\vec{r}_G} = m \ddot{\vec{r}}_G \]

donde se ha usado la definición del centro de masas, \(\vec{r}_G = \frac{1}{m}\int_V \vec{r}\,dm\).

Ecuación de Newton del sólido rígido

\[ \sum_j \vec{F}_j^{ext} = m\, \vec{a}_G \]

Son 2 ecuaciones escalares en el plano y 3 en el espacio. El sólido se comporta, en cuanto a la traslación, como una partícula con toda su masa concentrada en \(G\).

Ecuación de Euler

Tomamos ahora momentos respecto al centro de masas \(G\), usando los vectores \(\vec{r}\,'\):

\[ \int_V \vec{r}\,' \times d\vec{F}^i + \sum_j \vec{r}_j\,' \times \vec{F}_j^{ext} = \int_V \vec{r}\,' \times \vec{a}\, dm \]

De nuevo, los momentos de las fuerzas interiores se anulan dos a dos. Llamando \(\vec{M}^{ext}_G\) al momento resultante de las fuerzas (y pares) exteriores respecto a \(G\):

\[ \vec{M}^{ext}_G = \int_V \vec{r}\,' \times \vec{a}\, dm \]

Esta integral es más complicada que la de la ecuación de Newton. Usando el campo de velocidades del sólido rígido respecto a \(G\), \(\vec{v} = \vec{v}_G + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'\), y las reglas de derivación de vectores, se llega a:

\[ \sum_j \vec{M}_j^{ext} = \frac{d}{dt} \left[ \underbrace{ \int_V \left\{ |\vec{r}\,'|^2\, \mathbf{I}_3 - \vec{r}\,'\vec{r}\,'^\top \right\} dm }_{\mathbf{I}_G} \vec{\omega} \right] \]

donde aparece un concepto nuevo: el tensor (o matriz) de inercia \(\mathbf{I}_G\) respecto a \(G\), que mide la resistencia del cuerpo a cambiar su estado de rotación. El término entre corchetes es el momento angular del sólido respecto a \(G\), \(\vec{L}_G = \mathbf{I}_G \vec{\omega}\).

Tensor de inercia

Con \(\vec{r}\,' = (x', y', z')\):

\[\begin{split} \begin{aligned} \mathbf{I}_G &= \int_V |\vec{r}\,'|^2 \mathbf{I}_3 - \vec{r}\,'\vec{r}\,'^\top dm = \int_V \left( x'^2+y'^2+z'^2 \right) \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' & y' & z' \end{bmatrix} dm \\ &= \int_V \begin{bmatrix} y'^2+z'^2 & -x'y' & -x'z' \\ -x'y' & x'^2+z'^2 & -y'z' \\ -x'z' & -y'z' & x'^2+y'^2 \end{bmatrix} dm = \begin{bmatrix} I_x & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_y & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_z \end{bmatrix} \end{aligned} \end{split}\]

Los términos de la diagonal son los momentos de inercia y los de fuera de la diagonal, los productos de inercia. Dependen de la forma del cuerpo y de su distribución de masa: se calculan o se toman de tablas (ver Cálculo de inercias en 2D).

Ecuación de Euler en 3D

Derivando el producto:

\[ \sum_j \vec{M}_j^{ext} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{I}_G \vec{\omega} \right) = \mathbf{I}_G \dot{\vec{\omega}} + \dot{\mathbf{I}}_G \vec{\omega} \]

\(\mathbf{I}_G\) es constante si se expresa en ejes solidarios al cuerpo; al expresarlo en ejes fijos, su derivada da lugar a un término giroscópico, y resulta:

Ecuaciones de Euler del sólido rígido (3D)

\[ \underbrace{\sum_j \vec{M}_j^{ext}}_{3\times 1} = \underbrace{\mathbf{I}_G}_{3\times 3}\, \underbrace{\vec{\alpha}}_{3\times 1} + \underbrace{\vec{\omega}}_{3\times 1} \times \underbrace{\mathbf{I}_G \vec{\omega}}_{3\times 1} \]

Relacionan los momentos aplicados con la variación de la velocidad angular.

Ecuación de Euler en el plano (2D)

En un mecanismo plano, \(\vec{\omega} = \omega\,\hat{k}\) y \(\vec{\alpha} = \alpha\,\hat{k}\), y si el plano del movimiento es un plano de simetría del eslabón, \(I_{xz} = I_{yz} = 0\):

\[\begin{split} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ M^{ext}_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I_x & -I_{xy} & 0 \\ -I_{yx} & I_y & 0 \\ 0 & 0 & I_z \end{bmatrix}_G \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \alpha \end{bmatrix} + \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_z \omega \end{bmatrix}}_{=\vec{0}} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_{z,G}\, \alpha \end{bmatrix} \end{split}\]

Queda una única ecuación escalar:

Ecuación de Euler del sólido plano

\[ \sum_j M^{ext}_{j,z} = I_{z,G}\, \alpha \]

con \(I_{z,G}\) el único momento de inercia relevante:

\[ I_{z,G} = \int_{\text{área}} \left( x'^2 + y'^2 \right) dm \]

Ecuaciones de Newton-Euler

Para un sólido rígido general se cumplen dos conjuntos de ecuaciones:

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum_j \vec{F}_j^{ext} &= m\, \vec{a}_G & &\text{(Newton: posición de } G\text{)} \\ \sum_j \vec{M}_{j,G}^{ext} &= \mathbf{I}_G \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \mathbf{I}_G \vec{\omega} & &\text{(Euler: orientación)} \end{aligned} \end{split}\]

\(\vec{a}_G = \ddot{\vec{r}}_G\) describe la evolución de la posición del centro de masas. Para integrar la orientación hay que elegir cómo parametrizarla, por ejemplo con ángulos de Euler \(\vec{\psi} = (\psi_1, \psi_2, \psi_3)\) (guiñada, cabeceo y alabeo). La velocidad angular no es la derivada de esos ángulos, sino una combinación lineal de ellas, \(\vec{\omega} = \mathbf{B}(\vec{\psi})\,\dot{\vec{\psi}}\), con:

\[\begin{split} \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 0 & -\sin\psi_1 & \cos\psi_1\cos\psi_2 \\ 0 & \cos\psi_1 & \sin\psi_1\cos\psi_2 \\ 1 & 0 & -\sin\psi_2 \end{bmatrix}, \qquad \dot{\vec{\omega}} = \mathbf{B}\ddot{\vec{\psi}} + \dot{\mathbf{B}}\dot{\vec{\psi}} \end{split}\]

Sustituyendo, se llega a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias integrable numéricamente, que permite simular cualquier sistema de sólidos libres en 3D conocidas las fuerzas y las inercias:

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum_j \vec{F}_j^{ext} &= m \ddot{\vec{r}}_G \\ \sum_j \vec{M}_j^{ext} &= \mathbf{I}_G \mathbf{B} \ddot{\vec{\psi}} + \mathbf{I}_G \dot{\mathbf{B}} \dot{\vec{\psi}} + (\mathbf{B}\dot{\vec{\psi}}) \times \mathbf{I}_G (\mathbf{B}\dot{\vec{\psi}}) \end{aligned} \qquad\rightarrow\qquad \left\{ \begin{aligned} \ddot{\vec{r}}_G &= \vec{f}_N(\vec{r}_G, \dot{\vec{r}}_G, \vec{\psi}, \dot{\vec{\psi}}) \\ \ddot{\vec{\psi}} &= \vec{f}_E(\vec{r}_G, \dot{\vec{r}}_G, \vec{\psi}, \dot{\vec{\psi}}) \end{aligned} \right. \end{split}\]

En el caso plano, llamando \(\theta(t)\) a la orientación del eslabón (giro alrededor de \(z\)), los términos con \(\dot{\mathbf{B}}\) y el producto vectorial se anulan y quedan tres ecuaciones escalares por eslabón:

Ecuaciones de Newton-Euler en el plano

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} \sum_j F^{ext}_{j,x} &= m\, a_{G,x} \\ \sum_j F^{ext}_{j,y} &= m\, a_{G,y} \\ \sum_j M^{ext}_{j,z} &= I_{z,G}\, \ddot{\theta} = I_{z,G}\, \alpha \end{aligned} \right. \end{split}\]

¡Atención! La ecuación de momentos se plantea respecto al centro de masas \(G\). Si se toman momentos respecto a otro punto \(P\), hay que añadir el momento de \(m\vec{a}_G\) respecto a \(P\) (o, de forma equivalente, usar el principio de D’Alembert, ver Principio de D’Alembert).

Ejemplo: cuerpos rodando por una rampa. Cuatro cuerpos de igual masa y radio ruedan sin deslizar por una rampa. Sus momentos de inercia, en proporción a \(k = mR^2\), son (de atrás adelante): \(0.66\,k\) (esfera hueca), \(0.4\,k\) (esfera maciza), \(1.0\,k\) (cilindro hueco) y \(0.5\,k\) (cilindro macizo). Cuanto menor es la inercia, mayor es la aceleración, y antes llega el cuerpo abajo.

(Créditos: Lucas V. Barbosa, dominio público.)

Momento angular, estabilidad y equilibrado

Si el momento resultante de las fuerzas exteriores es nulo, se conserva el momento angular del sólido:

\[ \vec{M}_G = \dot{\vec{L}}_G = \vec{0} \quad\rightarrow\quad \vec{L}_G = \mathbf{I}_G \vec{\omega} = \text{cte.} \]

¡Ojo! Esto no significa que la velocidad angular \(\vec{\omega}\) sea constante: en general, la dirección de \(\vec{L}_G\) no coincide con la de \(\vec{\omega}\). El llamado «teorema de la raqueta» (o efecto Dzhanibekov) es un caso muy visual: la rotación alrededor del eje de inercia intermedio es inestable, y el cuerpo da volteretas periódicas a pesar de conservar su momento angular.

Este mismo término giroscópico causa problemas en ejes, rotores y ruedas cuyo eje de giro no coincide con un eje principal del tensor de inercia: aparecen momentos que producen vibraciones y dañan los cojinetes. Se estudia en el tema de equilibrado (tema 5).