Ejemplo 2.10: Disco con corredera

Ejemplo 2.10: Disco con corredera#

Dado el mecanismo de la figura (examen de febrero de 2014), y sabiendo que el disco gira a velocidad constante de 90 rpm en sentido horario, calcular por el método analítico la velocidad del extremo de la barra (punto 2).

Datos: todas las cotas están en milímetros.

Disco con corredera
Solución

Usaremos un sistema de coordenadas \(XY\) con origen en el centro del disco (\(O_2\)).

Como conocemos la velocidad angular del disco, podemos calcular la velocidad lineal de cualquiera de sus puntos. Debemos por tanto encontrar un punto de enlace entre el disco y la barra \(O_4 2\) para obtener la velocidad angular de esta alrededor de \(O_4\), que evidentemente será distinta de la del disco.

La conexión es el punto \(1\), sobre el que distinguimos tres puntos físicos diferentes: \(1_D\) (punto 1 sobre el disco), \(1_B\) (punto 1 sobre la barra) y \(1_C\) (punto 1 sobre el casquillo). Analizando la forma en que el casquillo desliza sobre la barra mientras pivota sobre el disco, se ve que \(1_D\) y \(1_C\) siempre estarán uno sobre el otro (tendrán las mismas coordenadas, velocidades y aceleraciones), mientras que \(1_B\) solo puede moverse respecto a ellos en la dirección de la barra.

Con este análisis podemos calcular la velocidad del punto \(1_B\) por dos caminos:

  • Como punto del sólido rígido \(O_4 2\):

\[ \vec{v}_{1B} = \vec{v}_{O_4} + \omega_{4}\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4 1}, \qquad \vec{v}_{O_4} = 0 \]

  • Como punto con velocidad relativa al disco de módulo desconocido y dirección conocida (la de la barra, a \(15^\circ\)):

\[ \vec{v}_{1B} = \vec{v}_{O_2} + \vec{\omega}_{disco} \times \vec{r}_{O_2 1} + v_{rel} \left(\cos 15^\circ\,\hat{i} + \sin 15^\circ\,\hat{j}\right), \qquad \vec{v}_{O_2} = 0 \]

De la figura, \(\vec{r}_{O_2 1} = 45 \left(\cos 74.6^\circ\,\hat{i} + \sin 74.6^\circ\,\hat{j}\right) = 11.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}\) y \(\vec{r}_{O_4 1} = \vec{r}_{O_4 O_2} + \vec{r}_{O_2 1} = 161.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}\) (mm). La velocidad angular del disco es \(\vec{\omega}_{disco} = -90 \cdot \frac{2\pi}{60}\,\hat{k} = -9.42\,\hat{k}~(rad/s)\).

Igualando ambas expresiones, ya que se trata del mismo punto físico, obtenemos una ecuación vectorial en el plano, equivalente a dos ecuaciones escalares con dos incógnitas (\(\omega_4\) y \(v_{rel}\)):

\[ \omega_{4}\,\hat{k} \times (161.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}) = (-9.42\,\hat{k}) \times (11.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}) + v_{rel} (0.966\,\hat{i} + 0.2588\,\hat{j}) \]

Despejando:

\[ \omega_{4} = -1.28~rad/s = -73.34~{}^\circ/s~(\circlearrowright), \qquad v_{rel} = -365.8~mm/s \]

Con lo que la velocidad del punto \(2\) se obtiene con la ecuación de un punto perteneciente a un sólido rígido:

\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{v}_2 &= \vec{v}_{O_4} + \omega_{4}\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4 2} = -1.28\,\hat{k} \times (250 \cos 15^\circ\,\hat{i} + 250 \sin 15^\circ\,\hat{j}) \\ &= 82.8\,\hat{i} - 309.1\,\hat{j}~(mm/s) = 320~(mm/s)~\angle -75^\circ \end{aligned} \end{split}\]