Ejemplo 3.8: Sargento (bloqueo por rozamiento)

En la figura se muestra el mecanismo, basado en el rozamiento, por el que un sargento asegura su bloqueo e impide el deslizamiento del brazo sobre su guía. Se asume que existe rozamiento seco en los dos puntos de contacto y que la fuerza normal \(N\) es idéntica en ambos.

Se pide determinar el ancho máximo \(e\) que puede tener el brazo para asegurar el apriete sin deslizamiento, para un coeficiente de rozamiento \(\mu = 0.20\) entre la guía y el brazo. Datos: \(l = 80\) mm, \(b = 20\) mm.

Nota: se recomienda hallar el valor máximo de \(e\) partiendo del equilibrio de fuerzas en el caso de que la fuerza de rozamiento valga exactamente su máximo valor posible.

(Examen de enero de 2023.)

Solución

Planteamos el equilibrio del brazo móvil del sargento. Al apretar, la pieza ejerce sobre el brazo una fuerza \(F\) horizontal (hacia la derecha en la figura), a una distancia \(l\) por encima de la guía. El brazo, ligeramente inclinado, contacta con la guía en dos puntos: \(A\), en la cara superior de la guía, y \(B\), en la inferior. En cada uno aparecen una fuerza normal \(N\) y una fuerza de rozamiento \(R\), que se opone al deslizamiento que provocaría \(F\):

Como buscamos el caso límite, en lugar de la desigualdad de Coulomb \(R \le \mu N\) usamos su valor máximo, \(R = \mu N\). Las ecuaciones de la estática son:

\[\begin{split} \begin{aligned} \sum F_x = 0: &\quad F - 2R = 0 \quad\rightarrow\quad R = \frac{F}{2} \quad\rightarrow\quad \mu N = \frac{F}{2} \quad\rightarrow\quad N = \frac{F}{2\mu} \\ \sum F_y = 0: &\quad N - N = 0 \quad \text{(no aporta nada)} \\ \sum M_{A} = 0: &\quad -l F + e N - R\, b = 0 \end{aligned} \end{split}\]

Sustituyendo \(R = F/2\) y \(N = F/(2\mu)\) en la ecuación de momentos:

\[ -l F + e\, \frac{F}{2\mu} - \frac{F}{2}\, b = 0 \quad\rightarrow\quad -l + \frac{e}{2\mu} - \frac{b}{2} = 0 \quad\rightarrow\quad \boxed{e = 2\mu \left( l + \frac{b}{2} \right)} \]

La fuerza \(F\) se simplifica: el resultado no depende de lo fuerte que se apriete. Es un mecanismo autobloqueante: si el brazo es lo bastante estrecho, no desliza nunca, por grande que sea \(F\). Numéricamente:

\[ e_{max} = 2 \cdot 0.20 \cdot \left( 80 + \frac{20}{2} \right) = 36~\text{mm} \]

Para \(e < 36\) mm, el par que crea \(F\) obliga a \(N\) a crecer lo bastante como para que el rozamiento máximo \(2\mu N\) supere a \(F\), y el brazo no desliza.

Comprobación tomando momentos en \(B\). El resultado no depende del punto elegido:

\[ \sum M_{B} = 0: \quad -(l+b) F + e N + R\, b = 0 \quad\rightarrow\quad -(l+b) + \frac{e}{2\mu} + \frac{b}{2} = 0 \quad\rightarrow\quad e = 2\mu \left( l + b - \frac{b}{2} \right) = 2\mu \left( l + \frac{b}{2} \right) \;✓ \]