Ejemplo 2.7: Barra con doble corredera

Ejemplo 2.7: Barra con doble corredera#

Se tiene el mecanismo de la figura, donde la deslizadera \(A\) tiene una velocidad y una aceleración instantáneas de \(10~m/s\) y \(5~m/s^2\) respectivamente, ambas hacia abajo. Si la distancia \(AB\) es de \(15~m\), se pide:

  1. Velocidad lineal de \(B\) y velocidad angular de la barra \(AB\).

  2. Aceleración lineal de \(B\) y aceleración angular de la barra \(AB\).

Barra con doble corredera
Solución

En este caso solo es necesario estudiar un sólido rígido, la barra \(AB\) (sólido 2), ya que contiene a los dos puntos de interés \(A\) y \(B\). Al no existir correderas que deslicen sobre cuerpos que roten, solo necesitaremos las ecuaciones del sólido rígido (no aparece aceleración de Coriolis).

Del enunciado sabemos que \(\vec{v}_A=-10\,\hat{j}\) y \(\vec{a}_A=-5\,\hat{j}\), y de las restricciones del mecanismo se ve que \(\vec{v}_B = v_B\,\hat{i}\) y \(\vec{a}_B = a_B\,\hat{i}\). Por ser un mecanismo plano, además, \(\vec{\omega}_2 = \omega_2\,\hat{k}\) y \(\vec{\alpha}_2 = \alpha_2\,\hat{k}\). El ángulo desde \(A\) hacia \(B\) es de \(35^\circ\) en sentido horario (negativo), luego:

\[ \vec{r}_{AB} = 15 \cos(-35^\circ)\,\hat{i} + 15 \sin(-35^\circ)\,\hat{j} = 15 \cos 35^\circ\,\hat{i} - 15 \sin 35^\circ\,\hat{j} \]

1. Velocidades

Escribimos la ecuación de velocidades de los puntos \(A\) y \(B\) del sólido rígido 2:

\[ \vec{v}_B = \vec{v}_A + \vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{AB} \quad\rightarrow\quad v_B\,\hat{i} = -10\,\hat{j} + (\omega_2\,\hat{k}) \times \left(15 \cos 35^\circ\,\hat{i} - 15 \sin 35^\circ\,\hat{j}\right) \]

Desarrollando los productos vectoriales (\(\hat{k}\times\hat{i}=\hat{j}\), \(\hat{k}\times\hat{j}=-\hat{i}\)):

\[ v_B\,\hat{i} + 0\,\hat{j} = \left(15\,\omega_2 \sin 35^\circ\right)\hat{i} + \left(-10 + 15\,\omega_2 \cos 35^\circ\right)\hat{j} \]

Igualando componentes obtenemos un sistema de dos ecuaciones escalares con dos incógnitas:

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} v_B &= 15\,\omega_2 \sin 35^\circ \\ 0 &= -10 + 15\,\omega_2 \cos 35^\circ \end{aligned} \right. \quad\rightarrow\quad \omega_2 = 0.8138~\text{rad/s}~(\circlearrowleft), \qquad v_B = 7.002~\text{m/s}~(\rightarrow) \end{split}\]

2. Aceleraciones

Conocidas todas las velocidades, planteamos la ecuación de aceleraciones del sólido rígido. Como \(\vec{\omega}_2 \perp \vec{r}_{AB}\), el término normal se simplifica a \(\vec{\omega}_2 \times (\vec{\omega}_2 \times \vec{r}_{AB}) = -\omega_2^2\,\vec{r}_{AB}\):

\[ \vec{a}_B = \vec{a}_A + \vec{\alpha}_2 \times \vec{r}_{AB} - \omega_2^2\,\vec{r}_{AB} \]
\[ a_B\,\hat{i} = -5\,\hat{j} + (\alpha_2\,\hat{k}) \times \left(15 \cos 35^\circ\,\hat{i} - 15 \sin 35^\circ\,\hat{j}\right) - \omega_2^2 \left(15 \cos 35^\circ\,\hat{i} - 15 \sin 35^\circ\,\hat{j}\right) \]
\[ a_B\,\hat{i} + 0\,\hat{j} = \left(15\,\alpha_2 \sin 35^\circ - 15\,\omega_2^2 \cos 35^\circ\right)\hat{i} + \left(-5 + 15\,\alpha_2 \cos 35^\circ + 15\,\omega_2^2 \sin 35^\circ\right)\hat{j} \]

Igualando componentes y despejando las dos incógnitas de aceleración:

\[ \alpha_2 = -0.05686~\text{rad/s}^2~(\circlearrowright), \qquad a_B = -8.628~\text{m/s}^2~(\leftarrow) \]