Ejemplo 3.9: Dos bloques unidos por una barra, con rozamiento

En el mecanismo de la figura, dos bloques idénticos de masa \(m\) están unidos por una barra de masa despreciable, articulada en sus centros \(G_1\) y \(G_2\). El bloque 1 desliza sobre una superficie horizontal y el bloque 2 sobre una pared vertical. En los contactos de los bloques existe rozamiento seco, con coeficiente \(\mu\); el rozamiento en las articulaciones es despreciable. La barra forma un ángulo \(\varphi\) con la horizontal. Se pide:

1. La fuerza horizontal \(F\) necesaria para iniciar el movimiento partiendo del reposo, en cada sentido.

2. Su valor numérico para \(\varphi = 45^\circ\) y \(\mu = 0.2\).

(Adaptado del problema 7-1 de [CFCC01].)

Solución

Barra. Sin masa y articulada en sus extremos: es un elemento de dos fuerzas. Llamamos \(T\) a la fuerza que transmite, positiva si trabaja a tracción. Sobre el bloque 1 tira de él hacia \(G_2\), con dirección \((\cos\varphi, -\sin\varphi)\), y sobre el bloque 2 tira hacia \(G_1\), con dirección \((-\cos\varphi, \sin\varphi)\).

Bloque 2. Recibe su peso \(mg\), la fuerza de la barra, la normal de la pared \(N_2\) (horizontal, hacia la derecha, pues la pared está a su izquierda) y el rozamiento \(\mu N_2\) (vertical, opuesto al movimiento). Del equilibrio horizontal:

\[ N_2 - T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad N_2 = T \cos\varphi \]

Bloque 1. Recibe su peso, la fuerza de la barra, la normal del suelo \(N_1\), el rozamiento \(\mu N_1\) (horizontal, opuesto al movimiento) y la fuerza \(F\). Del equilibrio vertical:

\[ N_1 - mg - T\sin\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad N_1 = mg + T \sin\varphi \]

En el límite del inicio del movimiento, el rozamiento en ambos contactos vale \(\mu N\), con el sentido opuesto al movimiento que va a producirse. Hay dos casos.

Caso (a): \(F\) hacia la izquierda; el bloque 1 se mueve a la izquierda y el bloque 2 sube. El rozamiento sobre el bloque 2 es hacia abajo y el del bloque 1, hacia la derecha:

\[\begin{split} \begin{aligned} \text{Bloque 2, vertical:} &\quad T\sin\varphi - mg - \mu T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad T = \frac{mg}{\sin\varphi - \mu\cos\varphi} \\ \text{Bloque 1, horizontal:} &\quad -F + \mu N_1 + T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad F = \mu mg + T\left( \cos\varphi + \mu\sin\varphi \right) \end{aligned} \end{split}\]

Sustituyendo \(T\) y dividiendo por \(\cos\varphi\):

\[ F_{\leftarrow} = mg \left[ \mu + \frac{1 + \mu\tan\varphi}{\tan\varphi - \mu} \right] = mg\, \frac{1 - \mu^2 + 2\mu\tan\varphi}{\tan\varphi - \mu} \]

Este resultado sólo tiene sentido si \(\tan\varphi > \mu\). Si \(\tan\varphi \le \mu\) (\(\varphi \le \arctan\mu = 11.3^\circ\) para \(\mu = 0.2\)), la fuerza de la barra sobre el bloque 2 cae dentro de su cono de rozamiento: el mecanismo se bloquea y no hay fuerza \(F\), por grande que sea, capaz de subir el bloque 2.

Caso (b): el bloque 1 se mueve a la derecha y el bloque 2 baja. Ahora los rozamientos cambian de sentido:

\[\begin{split} \begin{aligned} \text{Bloque 2, vertical:} &\quad T\sin\varphi - mg + \mu T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad T = \frac{mg}{\sin\varphi + \mu\cos\varphi} \\ \text{Bloque 1, horizontal:} &\quad F_x - \mu N_1 + T\cos\varphi = 0 \end{aligned} \end{split}\]

con \(F_x\) la fuerza aplicada, positiva hacia la derecha. Operando del mismo modo:

\[ F_x = -mg\, \frac{1 - \mu^2 - 2\mu\tan\varphi}{\tan\varphi + \mu} \]

Si \(F_x < 0\), el peso del bloque 2 basta para poner el sistema en movimiento por sí solo: para mantenerlo en reposo hay que sujetarlo con una fuerza hacia la izquierda de módulo al menos \(|F_x|\).

Valores numéricos (\(\varphi = 45^\circ\), \(\mu = 0.2\), \(\tan\varphi = 1\)):

\[ F_{\leftarrow} = mg\,\frac{1 - 0.04 + 0.4}{1 - 0.2} = 1.70\, mg, \qquad F_x = -mg\,\frac{1 - 0.04 - 0.4}{1 + 0.2} = -0.467\, mg \]

Es decir, sin fuerza aplicada el bloque 2 cae. El sistema permanece en reposo si se le aplica una fuerza hacia la izquierda \(F\) comprendida entre \(0.467\,mg\) y \(1.70\,mg\); por encima de ese intervalo, el bloque 2 sube, y por debajo, baja. Sin rozamiento (\(\mu = 0\)), ambos límites coincidirían en \(F = mg/\tan\varphi = mg\): el rozamiento crea una banda de equilibrio en lugar de un único valor.