# Ejemplo 3.9: Dos bloques unidos por una barra, con rozamiento

En el mecanismo de la figura, dos bloques idénticos de masa $m$ están unidos por una barra de masa despreciable, articulada en sus centros $G_1$ y $G_2$. El bloque 1 desliza sobre una superficie horizontal y el bloque 2 sobre una pared vertical. En los contactos de los bloques existe rozamiento seco, con coeficiente $\mu$; el rozamiento en las articulaciones es despreciable. La barra forma un ángulo $\varphi$ con la horizontal. Se pide:

1. La fuerza horizontal $F$ necesaria para iniciar el movimiento partiendo del reposo, en cada sentido.
2. Su valor numérico para $\varphi = 45^\circ$ y $\mu = 0.2$.

<img src="figs/L03_blocks.png" alt="Dos bloques unidos por una barra" width="440px">

(Adaptado del problema 7-1 de {cite:p}`cardona2001teoria`.)

:::{dropdown} Solución
**Barra.** Sin masa y articulada en sus extremos: es un elemento de dos fuerzas. Llamamos $T$ a la fuerza que transmite, positiva si trabaja a **tracción**. Sobre el bloque 1 tira de él hacia $G_2$, con dirección $(\cos\varphi, -\sin\varphi)$, y sobre el bloque 2 tira hacia $G_1$, con dirección $(-\cos\varphi, \sin\varphi)$.

**Bloque 2.** Recibe su peso $mg$, la fuerza de la barra, la normal de la pared $N_2$ (horizontal, hacia la derecha, pues la pared está a su izquierda) y el rozamiento $\mu N_2$ (vertical, opuesto al movimiento). Del equilibrio horizontal:

$$ N_2 - T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad N_2 = T \cos\varphi $$

**Bloque 1.** Recibe su peso, la fuerza de la barra, la normal del suelo $N_1$, el rozamiento $\mu N_1$ (horizontal, opuesto al movimiento) y la fuerza $F$. Del equilibrio vertical:

$$ N_1 - mg - T\sin\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad N_1 = mg + T \sin\varphi $$

En el límite del inicio del movimiento, el rozamiento en ambos contactos vale $\mu N$, con el sentido opuesto al movimiento que va a producirse. Hay dos casos.

**Caso (a): $F$ hacia la izquierda; el bloque 1 se mueve a la izquierda y el bloque 2 sube.** El rozamiento sobre el bloque 2 es hacia abajo y el del bloque 1, hacia la derecha:

$$
\begin{aligned}
\text{Bloque 2, vertical:} &\quad T\sin\varphi - mg - \mu T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad T = \frac{mg}{\sin\varphi - \mu\cos\varphi} \\
\text{Bloque 1, horizontal:} &\quad -F + \mu N_1 + T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad F = \mu mg + T\left( \cos\varphi + \mu\sin\varphi \right)
\end{aligned}
$$

Sustituyendo $T$ y dividiendo por $\cos\varphi$:

$$ F_{\leftarrow} = mg \left[ \mu + \frac{1 + \mu\tan\varphi}{\tan\varphi - \mu} \right] = mg\, \frac{1 - \mu^2 + 2\mu\tan\varphi}{\tan\varphi - \mu} $$

Este resultado sólo tiene sentido si $\tan\varphi > \mu$. Si $\tan\varphi \le \mu$ ($\varphi \le \arctan\mu = 11.3^\circ$ para $\mu = 0.2$), la fuerza de la barra sobre el bloque 2 cae dentro de su cono de rozamiento: el mecanismo **se bloquea** y no hay fuerza $F$, por grande que sea, capaz de subir el bloque 2.

**Caso (b): el bloque 1 se mueve a la derecha y el bloque 2 baja.** Ahora los rozamientos cambian de sentido:

$$
\begin{aligned}
\text{Bloque 2, vertical:} &\quad T\sin\varphi - mg + \mu T\cos\varphi = 0 \quad\rightarrow\quad T = \frac{mg}{\sin\varphi + \mu\cos\varphi} \\
\text{Bloque 1, horizontal:} &\quad F_x - \mu N_1 + T\cos\varphi = 0
\end{aligned}
$$

con $F_x$ la fuerza aplicada, positiva hacia la derecha. Operando del mismo modo:

$$ F_x = -mg\, \frac{1 - \mu^2 - 2\mu\tan\varphi}{\tan\varphi + \mu} $$

Si $F_x < 0$, el peso del bloque 2 basta para poner el sistema en movimiento por sí solo: para mantenerlo en reposo hay que **sujetarlo** con una fuerza hacia la izquierda de módulo al menos $|F_x|$.

**Valores numéricos** ($\varphi = 45^\circ$, $\mu = 0.2$, $\tan\varphi = 1$):

$$
F_{\leftarrow} = mg\,\frac{1 - 0.04 + 0.4}{1 - 0.2} = 1.70\, mg, \qquad
F_x = -mg\,\frac{1 - 0.04 - 0.4}{1 + 0.2} = -0.467\, mg
$$

Es decir, sin fuerza aplicada el bloque 2 cae. El sistema permanece en reposo si se le aplica una fuerza hacia la izquierda $F$ comprendida entre $0.467\,mg$ y $1.70\,mg$; por encima de ese intervalo, el bloque 2 sube, y por debajo, baja. Sin rozamiento ($\mu = 0$), ambos límites coincidirían en $F = mg/\tan\varphi = mg$: el rozamiento crea una **banda de equilibrio** en lugar de un único valor.
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