Dinámica de la partícula

Antes de pasar al sólido rígido repasamos los conceptos básicos de la dinámica de una partícula (un punto con masa \(m\), sin dimensiones).

Momento lineal

Definición

La cantidad de movimiento o momento lineal de una partícula es la magnitud vectorial, referida a un sistema de referencia inercial:

\[\vec{p} = m \vec{v}\]

Segunda ley de Newton

\[ \vec{F} = \dot{\vec{p}} \]

Teorema de conservación del momento lineal

\[ \vec{F} = \vec{0} \quad \rightarrow \quad \vec{p} = \text{cte.} \]

Momento angular

Definición

El momento cinético o momento angular de una partícula respecto a un punto \(O\) es:

\[ \vec{L}_O = \vec{r} \times \vec{p} \]

donde \(\vec{r}\) es el vector de posición de la partícula desde \(O\).

Multiplicando vectorialmente la segunda ley de Newton por \(\vec{r}\):

\[ \underbrace{\vec{r} \times \vec{F}}_{\vec{M}_O} = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} \]

Por otro lado, derivando el momento angular respecto al tiempo (con \(O\) fijo):

\[ \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \vec{r} \times m\vec{v} \right) = \underbrace{\vec{v} \times m\vec{v}}_{=\vec{0}} + \vec{r} \times \dot{\vec{p}} = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} \]

ya que el producto vectorial de un vector por sí mismo es nulo. Comparando ambas expresiones:

Variación del momento angular

\[ \vec{M}_O = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} = \dot{\vec{L}}_O \]

Teorema de conservación del momento angular

\[ \vec{M}_O = \vec{0} \quad \rightarrow \quad \vec{L}_O = \text{cte.} \]

Una aplicación clásica de este teorema es la estabilización de satélites por giro: el Telstar I (1962) giraba alrededor de su eje mayor a unas 200 rpm para mantener su orientación.

Ecuaciones del movimiento de una partícula

Para una partícula tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales:

\[\begin{split} \begin{aligned} \vec{F} &= \dot{\vec{p}} &\qquad& \text{(Newton, 1643-1727)} \\ \vec{M}_O &= \dot{\vec{L}}_O &\qquad& \text{(Euler, 1707-1783)} \end{aligned} \end{split}\]

En 3D son seis ecuaciones escalares, pero para una partícula puntual son redundantes: la segunda se obtiene de la primera, como acabamos de ver. Basta, por tanto, con la ecuación de Newton. Como \(\dot{\vec{p}} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = \frac{d}{dt}(m\dot{\vec{r}}) = m\ddot{\vec{r}}\) (con \(m\) constante):

\[ m \ddot{\vec{r}} = \vec{F} \]

que es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO):

\[\begin{split} \begin{aligned} \ddot{x}(t) &= \frac{1}{m} F_x(t) \\ \ddot{y}(t) &= \frac{1}{m} F_y(t) \\ \ddot{z}(t) &= \frac{1}{m} F_z(t) \end{aligned} \end{split}\]

Este sistema puede resolverse analíticamente en casos sencillos o, en general, con integradores numéricos (regla de Euler, trapezoidal, Runge-Kutta…).

Ejemplo: integración numérica con la regla de Euler

Para integrar \(m\ddot{x} = F(t, x, \dot{x})\) se escribe como un sistema de primer orden con el estado \((x, v)\) y se avanza con un paso de tiempo \(\Delta t\):

\[\begin{split} \begin{aligned} v_{k+1} &= v_k + \frac{\Delta t}{m} F(t_k, x_k, v_k) \\ x_{k+1} &= x_k + \Delta t\, v_k \end{aligned} \end{split}\]

Por ejemplo, para una masa con un muelle (\(F=-kx\)), en MATLAB:

m = 1; k = 10; dt = 1e-3; N = 5000;
x = zeros(1,N); v = zeros(1,N); x(1) = 0.1;
for i = 1:N-1
    v(i+1) = v(i) + dt/m * (-k*x(i));
    x(i+1) = x(i) + dt * v(i);
end
plot((0:N-1)*dt, x)

La regla de Euler es la más sencilla pero acumula error (la amplitud crece poco a poco en este ejemplo); en la práctica se usan métodos de orden superior, como ode45.