# Dinámica de la partícula

Antes de pasar al sólido rígido repasamos los conceptos básicos de la dinámica de una partícula (un punto con masa $m$, sin dimensiones).

## Momento lineal

:::{card} Definición
La **cantidad de movimiento** o **momento lineal** de una partícula es la magnitud vectorial, referida a un sistema de referencia inercial:

$$\vec{p} = m \vec{v}$$
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![Momento lineal](figs/particulaMomLineal.png)

:::{card} Segunda ley de Newton
$$ \vec{F} = \dot{\vec{p}} $$
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:::{card} Teorema de conservación del momento lineal
$$ \vec{F} = \vec{0} \quad \rightarrow \quad \vec{p} = \text{cte.} $$
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## Momento angular

:::{card} Definición
El **momento cinético** o **momento angular** de una partícula respecto a un punto $O$ es:

$$ \vec{L}_O = \vec{r} \times \vec{p} $$

donde $\vec{r}$ es el vector de posición de la partícula desde $O$.
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![Momento angular](figs/particulaMomAngular.png)

Multiplicando vectorialmente la segunda ley de Newton por $\vec{r}$:

$$ \underbrace{\vec{r} \times \vec{F}}_{\vec{M}_O} = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} $$

Por otro lado, derivando el momento angular respecto al tiempo (con $O$ fijo):

$$ \frac{d\vec{L}_O}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \vec{r} \times m\vec{v} \right) = \underbrace{\vec{v} \times m\vec{v}}_{=\vec{0}} + \vec{r} \times \dot{\vec{p}} = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} $$

ya que el producto vectorial de un vector por sí mismo es nulo. Comparando ambas expresiones:

:::{card} Variación del momento angular
$$ \vec{M}_O = \vec{r} \times \dot{\vec{p}} = \dot{\vec{L}}_O $$
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:::{card} Teorema de conservación del momento angular
$$ \vec{M}_O = \vec{0} \quad \rightarrow \quad \vec{L}_O = \text{cte.} $$
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Una aplicación clásica de este teorema es la **estabilización de satélites por giro**: el Telstar I (1962) giraba alrededor de su eje mayor a unas 200 rpm para mantener su orientación.

<img src="figs/telstar1.jpg" alt="Telstar I" width="260px">

## Ecuaciones del movimiento de una partícula

Para una partícula tenemos el sistema de ecuaciones diferenciales:

$$
\begin{aligned}
\vec{F} &= \dot{\vec{p}} &\qquad& \text{(Newton, 1643-1727)} \\
\vec{M}_O &= \dot{\vec{L}}_O &\qquad& \text{(Euler, 1707-1783)}
\end{aligned}
$$

En 3D son seis ecuaciones escalares, pero para una partícula puntual son **redundantes**: la segunda se obtiene de la primera, como acabamos de ver. Basta, por tanto, con la ecuación de Newton. Como $\dot{\vec{p}} = \frac{d}{dt}(m\vec{v}) = \frac{d}{dt}(m\dot{\vec{r}}) = m\ddot{\vec{r}}$ (con $m$ constante):

$$ m \ddot{\vec{r}} = \vec{F} $$

que es un sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO):

$$
\begin{aligned}
\ddot{x}(t) &= \frac{1}{m} F_x(t) \\
\ddot{y}(t) &= \frac{1}{m} F_y(t) \\
\ddot{z}(t) &= \frac{1}{m} F_z(t)
\end{aligned}
$$

Este sistema puede resolverse analíticamente en casos sencillos o, en general, con **integradores numéricos** (regla de Euler, trapezoidal, Runge-Kutta...).

:::{dropdown} Ejemplo: integración numérica con la regla de Euler
Para integrar $m\ddot{x} = F(t, x, \dot{x})$ se escribe como un sistema de primer orden con el estado $(x, v)$ y se avanza con un paso de tiempo $\Delta t$:

$$
\begin{aligned}
v_{k+1} &= v_k + \frac{\Delta t}{m} F(t_k, x_k, v_k) \\
x_{k+1} &= x_k + \Delta t\, v_k
\end{aligned}
$$

Por ejemplo, para una masa con un muelle ($F=-kx$), en MATLAB:

```matlab
m = 1; k = 10; dt = 1e-3; N = 5000;
x = zeros(1,N); v = zeros(1,N); x(1) = 0.1;
for i = 1:N-1
    v(i+1) = v(i) + dt/m * (-k*x(i));
    x(i+1) = x(i) + dt * v(i);
end
plot((0:N-1)*dt, x)
```

La regla de Euler es la más sencilla pero acumula error (la amplitud crece poco a poco en este ejemplo); en la práctica se usan métodos de orden superior, como `ode45`.
:::