## Ejemplo 2.10: Disco con corredera

Dado el mecanismo de la figura (examen de febrero de 2014), y sabiendo que el disco gira a velocidad constante de 90 rpm en sentido horario, calcular por el método analítico la velocidad del extremo de la barra (punto 2).

Datos: todas las cotas están en milímetros.

<img src="figs/problemas_cin_an/examen2013_p4.png" alt="Disco con corredera" width="550px">

:::{dropdown} Solución

Usaremos un sistema de coordenadas $XY$ con origen en el centro del disco ($O_2$).

Como conocemos la velocidad angular del disco, podemos calcular la velocidad lineal de cualquiera de sus puntos.
Debemos por tanto encontrar un punto de enlace entre el disco y la barra $O_4 2$ para obtener la velocidad angular de esta alrededor de $O_4$, que evidentemente será distinta de la del disco.

La conexión es el punto $1$, sobre el que distinguimos tres puntos físicos diferentes:
$1_D$ (punto 1 sobre el disco), $1_B$ (punto 1 sobre la barra) y $1_C$ (punto 1 sobre el casquillo).
Analizando la forma en que el casquillo desliza sobre la barra mientras pivota sobre el disco, se ve que $1_D$ y $1_C$ siempre estarán uno sobre el otro (tendrán las mismas coordenadas, velocidades y aceleraciones), mientras que $1_B$ solo puede moverse respecto a ellos en la dirección de la barra.

Con este análisis podemos calcular la velocidad del punto $1_B$ por dos caminos:

- Como punto del sólido rígido $O_4 2$:

$$
\vec{v}_{1B} = \vec{v}_{O_4} + \omega_{4}\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4 1}, \qquad \vec{v}_{O_4} = 0
$$

- Como punto con velocidad relativa al disco de módulo desconocido y dirección conocida (la de la barra, a $15^\circ$):

$$
\vec{v}_{1B} = \vec{v}_{O_2} + \vec{\omega}_{disco} \times \vec{r}_{O_2 1} + v_{rel} \left(\cos 15^\circ\,\hat{i} + \sin 15^\circ\,\hat{j}\right), \qquad \vec{v}_{O_2} = 0
$$

De la figura, $\vec{r}_{O_2 1} = 45 \left(\cos 74.6^\circ\,\hat{i} + \sin 74.6^\circ\,\hat{j}\right) = 11.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}$ y $\vec{r}_{O_4 1} = \vec{r}_{O_4 O_2} + \vec{r}_{O_2 1} = 161.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}$ (mm).
La velocidad angular del disco es $\vec{\omega}_{disco} = -90 \cdot \frac{2\pi}{60}\,\hat{k} = -9.42\,\hat{k}~(rad/s)$.

Igualando ambas expresiones, ya que se trata del mismo punto físico, obtenemos una ecuación vectorial en el plano, equivalente a dos ecuaciones escalares con dos incógnitas ($\omega_4$ y $v_{rel}$):

$$
\omega_{4}\,\hat{k} \times (161.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}) =
(-9.42\,\hat{k}) \times (11.95\,\hat{i} + 43.38\,\hat{j}) + v_{rel} (0.966\,\hat{i} + 0.2588\,\hat{j})
$$

Despejando:

$$
\omega_{4} = -1.28~rad/s = -73.34~{}^\circ/s~(\circlearrowright), \qquad v_{rel} = -365.8~mm/s
$$

Con lo que la velocidad del punto $2$ se obtiene con la ecuación de un punto perteneciente a un sólido rígido:

$$
\begin{aligned}
\vec{v}_2 &= \vec{v}_{O_4} + \omega_{4}\,\hat{k} \times \vec{r}_{O_4 2} = -1.28\,\hat{k} \times (250 \cos 15^\circ\,\hat{i} + 250 \sin 15^\circ\,\hat{j}) \\
&= 82.8\,\hat{i} - 309.1\,\hat{j}~(mm/s) = 320~(mm/s)~\angle -75^\circ
\end{aligned}
$$
:::