# Dinámica del sólido rígido
Al pasar de partículas a cuerpos con extensión aparecen nuevas magnitudes: la **orientación**, la **velocidad angular** y la **aceleración angular**. Necesitamos extender las ecuaciones de la partícula a sólidos con área o volumen:
- Movimiento lineal ($\vec{p}$) $\rightarrow$ **ecuaciones de Newton**.
- Movimiento angular ($\vec{L}$) $\rightarrow$ **ecuaciones de Euler**.
Consideramos un sólido dividido en elementos infinitesimales de masa $dm$, con centro de masas (o de gravedad) $G$, sometido a un conjunto de fuerzas exteriores puntuales $\vec{F}_j^{ext}$. Llamamos $\vec{r}$ a la posición de cada $dm$ desde el origen $O$ y $\vec{r}\,'$ a su posición relativa a $G$.
## Ecuación de Newton
Aplicando la segunda ley de Newton a cada elemento $dm$ y sumando (integrando) para todo el sólido, aparecen las fuerzas exteriores y las fuerzas interiores $d\vec{F}^i$ que se ejercen entre los elementos:
$$ \int_V d\vec{F}^i + \sum_j \vec{F}_j^{ext} = \int_V \vec{a}\, dm $$
Por la tercera ley de Newton (acción y reacción), las fuerzas interiores se anulan dos a dos, y su integral es nula. Llamando $\vec{F}^{ext}$ a la resultante de las fuerzas exteriores:
$$ \vec{F}^{ext} = \int_V \vec{a}\, dm = \int_V \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\, dm = \frac{d^2}{dt^2} \underbrace{\int_V \vec{r}\, dm}_{m\,\vec{r}_G} = m \ddot{\vec{r}}_G $$
donde se ha usado la definición del centro de masas, $\vec{r}_G = \frac{1}{m}\int_V \vec{r}\,dm$.
:::{card} Ecuación de Newton del sólido rígido
$$ \sum_j \vec{F}_j^{ext} = m\, \vec{a}_G $$
Son 2 ecuaciones escalares en el plano y 3 en el espacio. El sólido se comporta, en cuanto a la traslación, como una partícula con toda su masa concentrada en $G$.
:::
## Ecuación de Euler
Tomamos ahora momentos respecto al centro de masas $G$, usando los vectores $\vec{r}\,'$:
$$ \int_V \vec{r}\,' \times d\vec{F}^i + \sum_j \vec{r}_j\,' \times \vec{F}_j^{ext} = \int_V \vec{r}\,' \times \vec{a}\, dm $$
De nuevo, los momentos de las fuerzas interiores se anulan dos a dos. Llamando $\vec{M}^{ext}_G$ al momento resultante de las fuerzas (y pares) exteriores respecto a $G$:
$$ \vec{M}^{ext}_G = \int_V \vec{r}\,' \times \vec{a}\, dm $$
Esta integral es más complicada que la de la ecuación de Newton. Usando el campo de velocidades del sólido rígido respecto a $G$, $\vec{v} = \vec{v}_G + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'$, y las reglas de derivación de vectores, se llega a:
$$ \sum_j \vec{M}_j^{ext} = \frac{d}{dt} \left[ \underbrace{ \int_V \left\{ |\vec{r}\,'|^2\, \mathbf{I}_3 - \vec{r}\,'\vec{r}\,'^\top \right\} dm }_{\mathbf{I}_G} \vec{\omega} \right] $$
donde aparece un concepto nuevo: el **tensor (o matriz) de inercia** $\mathbf{I}_G$ respecto a $G$, que mide la resistencia del cuerpo a cambiar su estado de rotación. El término entre corchetes es el **momento angular** del sólido respecto a $G$, $\vec{L}_G = \mathbf{I}_G \vec{\omega}$.
### Tensor de inercia
Con $\vec{r}\,' = (x', y', z')$:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{I}_G &= \int_V |\vec{r}\,'|^2 \mathbf{I}_3 - \vec{r}\,'\vec{r}\,'^\top dm
= \int_V \left( x'^2+y'^2+z'^2 \right)
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' & y' & z' \end{bmatrix} dm \\
&= \int_V \begin{bmatrix}
y'^2+z'^2 & -x'y' & -x'z' \\
-x'y' & x'^2+z'^2 & -y'z' \\
-x'z' & -y'z' & x'^2+y'^2
\end{bmatrix} dm
= \begin{bmatrix}
I_x & -I_{xy} & -I_{xz} \\
-I_{yx} & I_y & -I_{yz} \\
-I_{zx} & -I_{zy} & I_z
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
Los términos de la diagonal son los **momentos de inercia** y los de fuera de la diagonal, los **productos de inercia**. Dependen de la forma del cuerpo y de su distribución de masa: se calculan o se toman de tablas (ver {doc}`L03_04_inertia`).
### Ecuación de Euler en 3D
Derivando el producto:
$$ \sum_j \vec{M}_j^{ext} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{I}_G \vec{\omega} \right) = \mathbf{I}_G \dot{\vec{\omega}} + \dot{\mathbf{I}}_G \vec{\omega} $$
$\mathbf{I}_G$ es constante si se expresa en ejes solidarios al cuerpo; al expresarlo en ejes fijos, su derivada da lugar a un término giroscópico, y resulta:
:::{card} Ecuaciones de Euler del sólido rígido (3D)
$$
\underbrace{\sum_j \vec{M}_j^{ext}}_{3\times 1} =
\underbrace{\mathbf{I}_G}_{3\times 3}\, \underbrace{\vec{\alpha}}_{3\times 1}
+ \underbrace{\vec{\omega}}_{3\times 1} \times \underbrace{\mathbf{I}_G \vec{\omega}}_{3\times 1}
$$
Relacionan los momentos aplicados con la variación de la velocidad angular.
:::
### Ecuación de Euler en el plano (2D)
En un mecanismo plano, $\vec{\omega} = \omega\,\hat{k}$ y $\vec{\alpha} = \alpha\,\hat{k}$, y si el plano del movimiento es un plano de simetría del eslabón, $I_{xz} = I_{yz} = 0$:
$$
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ M^{ext}_z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
I_x & -I_{xy} & 0 \\
-I_{yx} & I_y & 0 \\
0 & 0 & I_z
\end{bmatrix}_G
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \alpha \end{bmatrix}
+ \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_z \omega \end{bmatrix}}_{=\vec{0}}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_{z,G}\, \alpha \end{bmatrix}
$$
Queda una **única ecuación escalar**:
:::{card} Ecuación de Euler del sólido plano
$$ \sum_j M^{ext}_{j,z} = I_{z,G}\, \alpha $$
con $I_{z,G}$ el único momento de inercia relevante:
$$ I_{z,G} = \int_{\text{área}} \left( x'^2 + y'^2 \right) dm $$
:::
## Ecuaciones de Newton-Euler
Para un sólido rígido general se cumplen dos conjuntos de ecuaciones:
$$
\begin{aligned}
\sum_j \vec{F}_j^{ext} &= m\, \vec{a}_G & &\text{(Newton: posición de } G\text{)} \\
\sum_j \vec{M}_{j,G}^{ext} &= \mathbf{I}_G \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \mathbf{I}_G \vec{\omega} & &\text{(Euler: orientación)}
\end{aligned}
$$
$\vec{a}_G = \ddot{\vec{r}}_G$ describe la evolución de la posición del centro de masas. Para integrar la orientación hay que elegir cómo parametrizarla, por ejemplo con ángulos de Euler $\vec{\psi} = (\psi_1, \psi_2, \psi_3)$ (guiñada, cabeceo y alabeo). La velocidad angular no es la derivada de esos ángulos, sino una combinación lineal de ellas, $\vec{\omega} = \mathbf{B}(\vec{\psi})\,\dot{\vec{\psi}}$, con:
$$
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 & -\sin\psi_1 & \cos\psi_1\cos\psi_2 \\
0 & \cos\psi_1 & \sin\psi_1\cos\psi_2 \\
1 & 0 & -\sin\psi_2
\end{bmatrix},
\qquad
\dot{\vec{\omega}} = \mathbf{B}\ddot{\vec{\psi}} + \dot{\mathbf{B}}\dot{\vec{\psi}}
$$
Sustituyendo, se llega a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias integrable numéricamente, que permite simular **cualquier sistema de sólidos libres en 3D** conocidas las fuerzas y las inercias:
$$
\begin{aligned}
\sum_j \vec{F}_j^{ext} &= m \ddot{\vec{r}}_G \\
\sum_j \vec{M}_j^{ext} &= \mathbf{I}_G \mathbf{B} \ddot{\vec{\psi}} + \mathbf{I}_G \dot{\mathbf{B}} \dot{\vec{\psi}} + (\mathbf{B}\dot{\vec{\psi}}) \times \mathbf{I}_G (\mathbf{B}\dot{\vec{\psi}})
\end{aligned}
\qquad\rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\ddot{\vec{r}}_G &= \vec{f}_N(\vec{r}_G, \dot{\vec{r}}_G, \vec{\psi}, \dot{\vec{\psi}}) \\
\ddot{\vec{\psi}} &= \vec{f}_E(\vec{r}_G, \dot{\vec{r}}_G, \vec{\psi}, \dot{\vec{\psi}})
\end{aligned}
\right.
$$
En el **caso plano**, llamando $\theta(t)$ a la orientación del eslabón (giro alrededor de $z$), los términos con $\dot{\mathbf{B}}$ y el producto vectorial se anulan y quedan **tres ecuaciones escalares por eslabón**:
:::{card} Ecuaciones de Newton-Euler en el plano
$$
\left\{
\begin{aligned}
\sum_j F^{ext}_{j,x} &= m\, a_{G,x} \\
\sum_j F^{ext}_{j,y} &= m\, a_{G,y} \\
\sum_j M^{ext}_{j,z} &= I_{z,G}\, \ddot{\theta} = I_{z,G}\, \alpha
\end{aligned}
\right.
$$
¡Atención! La ecuación de momentos se plantea respecto al centro de masas $G$. Si se toman momentos respecto a otro punto $P$, hay que añadir el momento de $m\vec{a}_G$ respecto a $P$ (o, de forma equivalente, usar el principio de D'Alembert, ver {doc}`L03_05_dalembert`).
:::
**Ejemplo: cuerpos rodando por una rampa.** Cuatro cuerpos de igual masa y radio ruedan sin deslizar por una rampa. Sus momentos de inercia, en proporción a $k = mR^2$, son (de atrás adelante): $0.66\,k$ (esfera hueca), $0.4\,k$ (esfera maciza), $1.0\,k$ (cilindro hueco) y $0.5\,k$ (cilindro macizo). Cuanto menor es la inercia, mayor es la aceleración, y antes llega el cuerpo abajo.
(Créditos: Lucas V. Barbosa, dominio público.)
## Momento angular, estabilidad y equilibrado
Si el momento resultante de las fuerzas exteriores es nulo, se conserva el **momento angular** del sólido:
$$ \vec{M}_G = \dot{\vec{L}}_G = \vec{0} \quad\rightarrow\quad \vec{L}_G = \mathbf{I}_G \vec{\omega} = \text{cte.} $$
**¡Ojo!** Esto **no** significa que la velocidad angular $\vec{\omega}$ sea constante: en general, la dirección de $\vec{L}_G$ no coincide con la de $\vec{\omega}$. El llamado «teorema de la raqueta» (o efecto Dzhanibekov) es un caso muy visual: la rotación alrededor del eje de inercia intermedio es inestable, y el cuerpo da volteretas periódicas a pesar de conservar su momento angular.
Este mismo término giroscópico causa problemas en ejes, rotores y ruedas cuyo eje de giro no coincide con un eje principal del tensor de inercia: aparecen momentos que producen vibraciones y dañan los cojinetes. Se estudia en el tema de equilibrado (tema 5).
Consideramos un sólido dividido en elementos infinitesimales de masa $dm$, con centro de masas (o de gravedad) $G$, sometido a un conjunto de fuerzas exteriores puntuales $\vec{F}_j^{ext}$. Llamamos $\vec{r}$ a la posición de cada $dm$ desde el origen $O$ y $\vec{r}\,'$ a su posición relativa a $G$.
## Ecuación de Newton
Aplicando la segunda ley de Newton a cada elemento $dm$ y sumando (integrando) para todo el sólido, aparecen las fuerzas exteriores y las fuerzas interiores $d\vec{F}^i$ que se ejercen entre los elementos:
$$ \int_V d\vec{F}^i + \sum_j \vec{F}_j^{ext} = \int_V \vec{a}\, dm $$
Por la tercera ley de Newton (acción y reacción), las fuerzas interiores se anulan dos a dos, y su integral es nula. Llamando $\vec{F}^{ext}$ a la resultante de las fuerzas exteriores:
$$ \vec{F}^{ext} = \int_V \vec{a}\, dm = \int_V \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}\, dm = \frac{d^2}{dt^2} \underbrace{\int_V \vec{r}\, dm}_{m\,\vec{r}_G} = m \ddot{\vec{r}}_G $$
donde se ha usado la definición del centro de masas, $\vec{r}_G = \frac{1}{m}\int_V \vec{r}\,dm$.
:::{card} Ecuación de Newton del sólido rígido
$$ \sum_j \vec{F}_j^{ext} = m\, \vec{a}_G $$
Son 2 ecuaciones escalares en el plano y 3 en el espacio. El sólido se comporta, en cuanto a la traslación, como una partícula con toda su masa concentrada en $G$.
:::
## Ecuación de Euler
Tomamos ahora momentos respecto al centro de masas $G$, usando los vectores $\vec{r}\,'$:
$$ \int_V \vec{r}\,' \times d\vec{F}^i + \sum_j \vec{r}_j\,' \times \vec{F}_j^{ext} = \int_V \vec{r}\,' \times \vec{a}\, dm $$
De nuevo, los momentos de las fuerzas interiores se anulan dos a dos. Llamando $\vec{M}^{ext}_G$ al momento resultante de las fuerzas (y pares) exteriores respecto a $G$:
$$ \vec{M}^{ext}_G = \int_V \vec{r}\,' \times \vec{a}\, dm $$
Esta integral es más complicada que la de la ecuación de Newton. Usando el campo de velocidades del sólido rígido respecto a $G$, $\vec{v} = \vec{v}_G + \vec{\omega} \times \vec{r}\,'$, y las reglas de derivación de vectores, se llega a:
$$ \sum_j \vec{M}_j^{ext} = \frac{d}{dt} \left[ \underbrace{ \int_V \left\{ |\vec{r}\,'|^2\, \mathbf{I}_3 - \vec{r}\,'\vec{r}\,'^\top \right\} dm }_{\mathbf{I}_G} \vec{\omega} \right] $$
donde aparece un concepto nuevo: el **tensor (o matriz) de inercia** $\mathbf{I}_G$ respecto a $G$, que mide la resistencia del cuerpo a cambiar su estado de rotación. El término entre corchetes es el **momento angular** del sólido respecto a $G$, $\vec{L}_G = \mathbf{I}_G \vec{\omega}$.
### Tensor de inercia
Con $\vec{r}\,' = (x', y', z')$:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{I}_G &= \int_V |\vec{r}\,'|^2 \mathbf{I}_3 - \vec{r}\,'\vec{r}\,'^\top dm
= \int_V \left( x'^2+y'^2+z'^2 \right)
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
- \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x' & y' & z' \end{bmatrix} dm \\
&= \int_V \begin{bmatrix}
y'^2+z'^2 & -x'y' & -x'z' \\
-x'y' & x'^2+z'^2 & -y'z' \\
-x'z' & -y'z' & x'^2+y'^2
\end{bmatrix} dm
= \begin{bmatrix}
I_x & -I_{xy} & -I_{xz} \\
-I_{yx} & I_y & -I_{yz} \\
-I_{zx} & -I_{zy} & I_z
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
Los términos de la diagonal son los **momentos de inercia** y los de fuera de la diagonal, los **productos de inercia**. Dependen de la forma del cuerpo y de su distribución de masa: se calculan o se toman de tablas (ver {doc}`L03_04_inertia`).
### Ecuación de Euler en 3D
Derivando el producto:
$$ \sum_j \vec{M}_j^{ext} = \frac{d}{dt}\left( \mathbf{I}_G \vec{\omega} \right) = \mathbf{I}_G \dot{\vec{\omega}} + \dot{\mathbf{I}}_G \vec{\omega} $$
$\mathbf{I}_G$ es constante si se expresa en ejes solidarios al cuerpo; al expresarlo en ejes fijos, su derivada da lugar a un término giroscópico, y resulta:
:::{card} Ecuaciones de Euler del sólido rígido (3D)
$$
\underbrace{\sum_j \vec{M}_j^{ext}}_{3\times 1} =
\underbrace{\mathbf{I}_G}_{3\times 3}\, \underbrace{\vec{\alpha}}_{3\times 1}
+ \underbrace{\vec{\omega}}_{3\times 1} \times \underbrace{\mathbf{I}_G \vec{\omega}}_{3\times 1}
$$
Relacionan los momentos aplicados con la variación de la velocidad angular.
:::
### Ecuación de Euler en el plano (2D)
En un mecanismo plano, $\vec{\omega} = \omega\,\hat{k}$ y $\vec{\alpha} = \alpha\,\hat{k}$, y si el plano del movimiento es un plano de simetría del eslabón, $I_{xz} = I_{yz} = 0$:
$$
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ M^{ext}_z \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
I_x & -I_{xy} & 0 \\
-I_{yx} & I_y & 0 \\
0 & 0 & I_z
\end{bmatrix}_G
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \alpha \end{bmatrix}
+ \underbrace{\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_z \omega \end{bmatrix}}_{=\vec{0}}
=
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ I_{z,G}\, \alpha \end{bmatrix}
$$
Queda una **única ecuación escalar**:
:::{card} Ecuación de Euler del sólido plano
$$ \sum_j M^{ext}_{j,z} = I_{z,G}\, \alpha $$
con $I_{z,G}$ el único momento de inercia relevante:
$$ I_{z,G} = \int_{\text{área}} \left( x'^2 + y'^2 \right) dm $$
:::
## Ecuaciones de Newton-Euler
Para un sólido rígido general se cumplen dos conjuntos de ecuaciones:
$$
\begin{aligned}
\sum_j \vec{F}_j^{ext} &= m\, \vec{a}_G & &\text{(Newton: posición de } G\text{)} \\
\sum_j \vec{M}_{j,G}^{ext} &= \mathbf{I}_G \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times \mathbf{I}_G \vec{\omega} & &\text{(Euler: orientación)}
\end{aligned}
$$
$\vec{a}_G = \ddot{\vec{r}}_G$ describe la evolución de la posición del centro de masas. Para integrar la orientación hay que elegir cómo parametrizarla, por ejemplo con ángulos de Euler $\vec{\psi} = (\psi_1, \psi_2, \psi_3)$ (guiñada, cabeceo y alabeo). La velocidad angular no es la derivada de esos ángulos, sino una combinación lineal de ellas, $\vec{\omega} = \mathbf{B}(\vec{\psi})\,\dot{\vec{\psi}}$, con:
$$
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
0 & -\sin\psi_1 & \cos\psi_1\cos\psi_2 \\
0 & \cos\psi_1 & \sin\psi_1\cos\psi_2 \\
1 & 0 & -\sin\psi_2
\end{bmatrix},
\qquad
\dot{\vec{\omega}} = \mathbf{B}\ddot{\vec{\psi}} + \dot{\mathbf{B}}\dot{\vec{\psi}}
$$
Sustituyendo, se llega a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias integrable numéricamente, que permite simular **cualquier sistema de sólidos libres en 3D** conocidas las fuerzas y las inercias:
$$
\begin{aligned}
\sum_j \vec{F}_j^{ext} &= m \ddot{\vec{r}}_G \\
\sum_j \vec{M}_j^{ext} &= \mathbf{I}_G \mathbf{B} \ddot{\vec{\psi}} + \mathbf{I}_G \dot{\mathbf{B}} \dot{\vec{\psi}} + (\mathbf{B}\dot{\vec{\psi}}) \times \mathbf{I}_G (\mathbf{B}\dot{\vec{\psi}})
\end{aligned}
\qquad\rightarrow\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\ddot{\vec{r}}_G &= \vec{f}_N(\vec{r}_G, \dot{\vec{r}}_G, \vec{\psi}, \dot{\vec{\psi}}) \\
\ddot{\vec{\psi}} &= \vec{f}_E(\vec{r}_G, \dot{\vec{r}}_G, \vec{\psi}, \dot{\vec{\psi}})
\end{aligned}
\right.
$$
En el **caso plano**, llamando $\theta(t)$ a la orientación del eslabón (giro alrededor de $z$), los términos con $\dot{\mathbf{B}}$ y el producto vectorial se anulan y quedan **tres ecuaciones escalares por eslabón**:
:::{card} Ecuaciones de Newton-Euler en el plano
$$
\left\{
\begin{aligned}
\sum_j F^{ext}_{j,x} &= m\, a_{G,x} \\
\sum_j F^{ext}_{j,y} &= m\, a_{G,y} \\
\sum_j M^{ext}_{j,z} &= I_{z,G}\, \ddot{\theta} = I_{z,G}\, \alpha
\end{aligned}
\right.
$$
¡Atención! La ecuación de momentos se plantea respecto al centro de masas $G$. Si se toman momentos respecto a otro punto $P$, hay que añadir el momento de $m\vec{a}_G$ respecto a $P$ (o, de forma equivalente, usar el principio de D'Alembert, ver {doc}`L03_05_dalembert`).
:::
**Ejemplo: cuerpos rodando por una rampa.** Cuatro cuerpos de igual masa y radio ruedan sin deslizar por una rampa. Sus momentos de inercia, en proporción a $k = mR^2$, son (de atrás adelante): $0.66\,k$ (esfera hueca), $0.4\,k$ (esfera maciza), $1.0\,k$ (cilindro hueco) y $0.5\,k$ (cilindro macizo). Cuanto menor es la inercia, mayor es la aceleración, y antes llega el cuerpo abajo.
(Créditos: Lucas V. Barbosa, dominio público.)
## Momento angular, estabilidad y equilibrado
Si el momento resultante de las fuerzas exteriores es nulo, se conserva el **momento angular** del sólido:
$$ \vec{M}_G = \dot{\vec{L}}_G = \vec{0} \quad\rightarrow\quad \vec{L}_G = \mathbf{I}_G \vec{\omega} = \text{cte.} $$
**¡Ojo!** Esto **no** significa que la velocidad angular $\vec{\omega}$ sea constante: en general, la dirección de $\vec{L}_G$ no coincide con la de $\vec{\omega}$. El llamado «teorema de la raqueta» (o efecto Dzhanibekov) es un caso muy visual: la rotación alrededor del eje de inercia intermedio es inestable, y el cuerpo da volteretas periódicas a pesar de conservar su momento angular.
Este mismo término giroscópico causa problemas en ejes, rotores y ruedas cuyo eje de giro no coincide con un eje principal del tensor de inercia: aparecen momentos que producen vibraciones y dañan los cojinetes. Se estudia en el tema de equilibrado (tema 5).
