# Ejemplo 3.4: Biela-manivela con la masa en la corredera
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```
En el mecanismo biela-manivela de la figura, la manivela $OA$ (de longitud $L$) gira con velocidad angular $\omega$ constante en sentido antihorario, accionada por un par motor $\tau$ desconocido. La biela $AB$ mide $2L$. Sabiendo que la manivela y la biela tienen masa despreciable y que la masa de la corredera es $M$, calcular el par $\tau$ instantáneo cuando la manivela forma un ángulo de $45^\circ$ con la horizontal. Despreciar el peso y el rozamiento.
(Ejemplo resuelto en {cite:p}`avello2014teoria`.) Seguiremos los tres pasos del principio de D'Alembert: cinemática, esfuerzos de inercia y equilibrio estático.
:::{dropdown} Paso 1: cinemática
**Posición.** Con $O$ en el origen y $\theta = 45^\circ$:
$$ \vec{r}_{OA} = L\,(\cos 45^\circ, \sin 45^\circ) = (0.7071, 0.7071)\,L $$
La corredera está en la horizontal de $O$: $x_B = L\cos 45^\circ + \sqrt{(2L)^2 - (L \sin 45^\circ)^2} = 2.5779\,L$, y por tanto:
$$ \vec{r}_{AB} = (1.8708, -0.7071)\,L, \qquad \sin\beta = \frac{L\sin 45^\circ}{2L} \rightarrow \beta = 20.70^\circ $$
con $\beta$ el ángulo que forma la biela con la horizontal (por debajo).
**Velocidades.** $\vec{v}_A = \vec{\omega}\times\vec{r}_{OA} = \omega L\,(-0.7071, 0.7071)$, y $\vec{v}_B = v_B\,\hat{i} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}$. Igualando componentes:
$$
\begin{aligned}
v_B &= -0.7071\,\omega L + 0.7071\,\omega_3 L \\
0 &= 0.7071\,\omega L + 1.8708\,\omega_3 L
\end{aligned}
\quad\rightarrow\quad
\omega_3 = -0.3780\,\omega, \qquad v_B = -0.9744\,\omega L
$$
**Aceleraciones.** Con $\omega$ constante, $\vec{a}_A = -\omega^2\vec{r}_{OA} = \omega^2 L\,(-0.7071, -0.7071)$, y:
$$ a_B\,\hat{i} = \vec{a}_A - \omega_3^2\, \vec{r}_{AB} + \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AB} $$
$$
\begin{aligned}
a_B &= -0.7071\,\omega^2 L - 0.1429 \cdot 1.8708\,\omega^2 L + 0.7071\,\alpha_3 L \\
0 &= -0.7071\,\omega^2 L + 0.1429 \cdot 0.7071\,\omega^2 L + 1.8708\,\alpha_3 L
\end{aligned}
\quad\rightarrow\quad
\alpha_3 = 0.3240\,\omega^2, \qquad a_B = -0.7453\,\omega^2 L
$$
La corredera se mueve hacia la izquierda ($v_B < 0$) cada vez más rápido ($a_B < 0$, del mismo signo).
:::
:::{dropdown} Paso 2: esfuerzos de inercia
Sólo la corredera tiene masa, y se traslada: tiene fuerza de inercia, pero no par de inercia. La fuerza de inercia es opuesta a su aceleración:
$$ \vec{J}_4 = -M\,\vec{a}_B = 0.7453\, M\omega^2 L\;\hat{i} $$
aplicada en $B$.
:::
:::{dropdown} Paso 3: equilibrio (solución analítica)
**Biela (eslabón 3).** No tiene masa ni cargas: es un **elemento de dos fuerzas**, y transmite una fuerza en la dirección $AB$. Llamamos $\vec{u} = \vec{r}_{AB}/|\vec{r}_{AB}| = (\cos\beta, -\sin\beta)$ y $\vec{F}_{34} = F_{34}\,\vec{u}$ a la fuerza que la biela ejerce sobre la corredera ($F_{34} > 0$ si empuja, compresión).
**Corredera (eslabón 4).** Recibe $\vec{J}_4$, $\vec{F}_{34}$ y la reacción de la guía $\vec{F}_{14} = N\,\hat{j}$:
$$
\begin{aligned}
\sum F_x = 0: &\quad 0.7453\,M\omega^2 L + F_{34} \cos\beta = 0 \quad\rightarrow\quad F_{34} = -0.7967\, M\omega^2 L \\
\sum F_y = 0: &\quad N - F_{34} \sin\beta = 0 \quad\rightarrow\quad N = -0.2817\, M\omega^2 L
\end{aligned}
$$
El signo negativo de $F_{34}$ indica que la biela **tira** de la corredera (tracción), y el de $N$, que la guía empuja hacia abajo.
**Manivela (eslabón 2).** La biela ejerce sobre ella $\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{34}$ en $A$. Tomando momentos respecto a $O$:
$$ \tau + \left( \vec{r}_{OA} \times \vec{F}_{32} \right)_z = 0 \quad\rightarrow\quad \tau = \left( \vec{r}_{OA} \times \vec{F}_{34} \right)_z = F_{34}\, L \left( -0.7071 \sin\beta - 0.7071 \cos\beta \right) $$
$$ \boxed{\tau = 0.7262\, M\omega^2 L^2} \quad (\text{antihorario}) $$
**Comprobación por potencias.** La potencia del par motor más la de la fuerza de inercia es nula: $\tau\,\omega + \vec{J}_4\cdot\vec{v}_B = 0$, de donde $\tau = -J_4\, v_B / \omega = 0.7453 \cdot 0.9744\, M\omega^2L^2 = 0.7262\, M\omega^2L^2$. ✓
:::
:::{dropdown} Paso 3: equilibrio (solución gráfica)
Con la biela como elemento de dos fuerzas, la corredera es un **elemento de tres fuerzas**: $\vec{J}_4$ (conocida), $\vec{F}_{34}$ (dirección $AB$) y $\vec{F}_{14}$ (perpendicular a la guía). Las tres pasan por $B$, así que basta con cerrar el triángulo de fuerzas, que da los módulos y sentidos de $\vec{F}_{34}$ y $\vec{F}_{14}$. Después, la fuerza que la biela transmite a la manivela tiene un brazo $d$ respecto a $O$, que se mide en el dibujo ($d = 0.9114\,L$), y $\tau = |\vec{F}_{32}|\, d = 0.7967 \cdot 0.9114\, M\omega^2L^2 = 0.7262\, M\omega^2L^2$.
:::
## Construcción interactiva
Recorre la construcción paso a paso. Arrastrando la manivela se ve la solución en cualquier otra posición (las magnitudes se dan en unidades de $M\omega^2L$ y $M\omega^2L^2$):
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```
## Par a lo largo de una vuelta
Repitiendo el cálculo en todas las posiciones se obtiene la curva del par necesario para mantener $\omega$ constante. El par cambia de signo: en unas zonas el motor tiene que acelerar la corredera, y en otras debe frenarla. Su valor medio en una vuelta es nulo, porque la energía cinética del mecanismo es la misma al principio y al final de la vuelta (tema 4). Este par variable es el que se suaviza con un volante de inercia.
(Ejemplo resuelto en {cite:p}`avello2014teoria`.) Seguiremos los tres pasos del principio de D'Alembert: cinemática, esfuerzos de inercia y equilibrio estático.
:::{dropdown} Paso 1: cinemática
**Posición.** Con $O$ en el origen y $\theta = 45^\circ$:
$$ \vec{r}_{OA} = L\,(\cos 45^\circ, \sin 45^\circ) = (0.7071, 0.7071)\,L $$
La corredera está en la horizontal de $O$: $x_B = L\cos 45^\circ + \sqrt{(2L)^2 - (L \sin 45^\circ)^2} = 2.5779\,L$, y por tanto:
$$ \vec{r}_{AB} = (1.8708, -0.7071)\,L, \qquad \sin\beta = \frac{L\sin 45^\circ}{2L} \rightarrow \beta = 20.70^\circ $$
con $\beta$ el ángulo que forma la biela con la horizontal (por debajo).
**Velocidades.** $\vec{v}_A = \vec{\omega}\times\vec{r}_{OA} = \omega L\,(-0.7071, 0.7071)$, y $\vec{v}_B = v_B\,\hat{i} = \vec{v}_A + \vec{\omega}_3 \times \vec{r}_{AB}$. Igualando componentes:
$$
\begin{aligned}
v_B &= -0.7071\,\omega L + 0.7071\,\omega_3 L \\
0 &= 0.7071\,\omega L + 1.8708\,\omega_3 L
\end{aligned}
\quad\rightarrow\quad
\omega_3 = -0.3780\,\omega, \qquad v_B = -0.9744\,\omega L
$$
**Aceleraciones.** Con $\omega$ constante, $\vec{a}_A = -\omega^2\vec{r}_{OA} = \omega^2 L\,(-0.7071, -0.7071)$, y:
$$ a_B\,\hat{i} = \vec{a}_A - \omega_3^2\, \vec{r}_{AB} + \vec{\alpha}_3 \times \vec{r}_{AB} $$
$$
\begin{aligned}
a_B &= -0.7071\,\omega^2 L - 0.1429 \cdot 1.8708\,\omega^2 L + 0.7071\,\alpha_3 L \\
0 &= -0.7071\,\omega^2 L + 0.1429 \cdot 0.7071\,\omega^2 L + 1.8708\,\alpha_3 L
\end{aligned}
\quad\rightarrow\quad
\alpha_3 = 0.3240\,\omega^2, \qquad a_B = -0.7453\,\omega^2 L
$$
La corredera se mueve hacia la izquierda ($v_B < 0$) cada vez más rápido ($a_B < 0$, del mismo signo).
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:::{dropdown} Paso 2: esfuerzos de inercia
Sólo la corredera tiene masa, y se traslada: tiene fuerza de inercia, pero no par de inercia. La fuerza de inercia es opuesta a su aceleración:
$$ \vec{J}_4 = -M\,\vec{a}_B = 0.7453\, M\omega^2 L\;\hat{i} $$
aplicada en $B$.
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:::{dropdown} Paso 3: equilibrio (solución analítica)
**Biela (eslabón 3).** No tiene masa ni cargas: es un **elemento de dos fuerzas**, y transmite una fuerza en la dirección $AB$. Llamamos $\vec{u} = \vec{r}_{AB}/|\vec{r}_{AB}| = (\cos\beta, -\sin\beta)$ y $\vec{F}_{34} = F_{34}\,\vec{u}$ a la fuerza que la biela ejerce sobre la corredera ($F_{34} > 0$ si empuja, compresión).
**Corredera (eslabón 4).** Recibe $\vec{J}_4$, $\vec{F}_{34}$ y la reacción de la guía $\vec{F}_{14} = N\,\hat{j}$:
$$
\begin{aligned}
\sum F_x = 0: &\quad 0.7453\,M\omega^2 L + F_{34} \cos\beta = 0 \quad\rightarrow\quad F_{34} = -0.7967\, M\omega^2 L \\
\sum F_y = 0: &\quad N - F_{34} \sin\beta = 0 \quad\rightarrow\quad N = -0.2817\, M\omega^2 L
\end{aligned}
$$
El signo negativo de $F_{34}$ indica que la biela **tira** de la corredera (tracción), y el de $N$, que la guía empuja hacia abajo.
**Manivela (eslabón 2).** La biela ejerce sobre ella $\vec{F}_{32} = -\vec{F}_{34}$ en $A$. Tomando momentos respecto a $O$:
$$ \tau + \left( \vec{r}_{OA} \times \vec{F}_{32} \right)_z = 0 \quad\rightarrow\quad \tau = \left( \vec{r}_{OA} \times \vec{F}_{34} \right)_z = F_{34}\, L \left( -0.7071 \sin\beta - 0.7071 \cos\beta \right) $$
$$ \boxed{\tau = 0.7262\, M\omega^2 L^2} \quad (\text{antihorario}) $$
**Comprobación por potencias.** La potencia del par motor más la de la fuerza de inercia es nula: $\tau\,\omega + \vec{J}_4\cdot\vec{v}_B = 0$, de donde $\tau = -J_4\, v_B / \omega = 0.7453 \cdot 0.9744\, M\omega^2L^2 = 0.7262\, M\omega^2L^2$. ✓
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:::{dropdown} Paso 3: equilibrio (solución gráfica)
Con la biela como elemento de dos fuerzas, la corredera es un **elemento de tres fuerzas**: $\vec{J}_4$ (conocida), $\vec{F}_{34}$ (dirección $AB$) y $\vec{F}_{14}$ (perpendicular a la guía). Las tres pasan por $B$, así que basta con cerrar el triángulo de fuerzas, que da los módulos y sentidos de $\vec{F}_{34}$ y $\vec{F}_{14}$. Después, la fuerza que la biela transmite a la manivela tiene un brazo $d$ respecto a $O$, que se mide en el dibujo ($d = 0.9114\,L$), y $\tau = |\vec{F}_{32}|\, d = 0.7967 \cdot 0.9114\, M\omega^2L^2 = 0.7262\, M\omega^2L^2$.
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## Construcción interactiva
Recorre la construcción paso a paso. Arrastrando la manivela se ve la solución en cualquier otra posición (las magnitudes se dan en unidades de $M\omega^2L$ y $M\omega^2L^2$):
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## Par a lo largo de una vuelta
Repitiendo el cálculo en todas las posiciones se obtiene la curva del par necesario para mantener $\omega$ constante. El par cambia de signo: en unas zonas el motor tiene que acelerar la corredera, y en otras debe frenarla. Su valor medio en una vuelta es nulo, porque la energía cinética del mecanismo es la misma al principio y al final de la vuelta (tema 4). Este par variable es el que se suaviza con un volante de inercia.
